3.3 圆的对称性 讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“圆的对称性”核心知识点，系统梳理复杂作图（基于五种基本作图，结合几何图形性质拆解步骤）和垂径定理（及推论：垂直于弦的直径平分弦与弧等），构建从作图操作到定理应用的学习支架，助力学生逐步掌握圆的对称性相关知识。 该资料亮点在于典例与变式题结合，如复杂作图中四边形的尺规作图、垂径定理中茶杯直径测量等实际问题，培养学生几何直观与应用意识。题型分层设计，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生通过练习查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

3.3 圆的对称性 内 容 导 航 题型1 作图—复杂作图 题型2 垂径定理 考 点 演 练 题型1 作图—复杂作图 解｜题｜知｜识 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【典例1】按如下步骤作四边形ABCD： （1）画∠GBH＝90°； （2）以点B为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交BG、BH于点A、C； （3）分别以点A和点C为圆心，2个单位长度为半径画弧，两弧交于点D； （4）连接AD、DC、AC； （5）以点C为圆心，CA长为半径画弧交CH于点E． 则∠DAE的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【变式1】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，菱形ABCD的边长为，∠A＝30°，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN分别交AD，AB于E，F两点，连接CF，则CF2＝　 ． 题型2 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD．若OE＝3，CD＝8，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式2】如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，BP：AP＝1：3，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（　　） A．1 B． C． D．4 过 关 验 收 1．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 2．尺规作图：“经过直线外一点作这条直线的平行线”． 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P作直线l的平行线．（至少用两种方法） 3．如图，已知在△ABC中，∠B＝40°．请利用尺规在边BC上求作一点P，使得∠BAP＝50°．（保留作图痕迹，不写作法） 4．如图，已知矩形ABCD，AB＝m，BC＝2，点P为线段AD任一点． （1）若∠BPC＝60°，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； （2）若符合（1）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是 　 　 ． 5．如图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，⊙O的圆心O和弦AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为边画⊙O的内接正方形ABCD． （2）在图②中画圆周角∠AEB＝135°，且点E在格点上． （3）在图②中以点B为切点画⊙O的切线BF，且点F在格点上． 6．如图，点P在∠AOB中，PM∥OB交OA于点M． （1）过点P作OA的平行线交OB于点N．（利用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接OP，若∠MPO＝∠NPO，试说明OP是∠AOB的角平分线． 7．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句）． （1）如图1，已知线段AB＝a，作出到点A距离大于等于a且到点B距离小于等于a的点的集合； （2）如图2，∠ACB的顶点在直线l上，求作：直线l上所有的点P，使∠APB＝180°﹣∠ACB． 8．如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．（保留必要的作图痕迹） （1）如图1，⊙O的半径为 　 　 ； （2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）； （3）在如图2中画出的中点E． 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E． （1）用直尺和圆规作出劣弧AD的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求AD的长． 10．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，画出△ABC的外心O； （2）在图②中，画出△ABC的内心P． 11．尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （1）底边长为a，底边上的高长为b； （2）腰上的高长为a，底边上的高长为b． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 12．如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B； ②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等； （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝ 　 　　 ． 13．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（　　） A．4 B．5 C．8 D． 14．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且AB＝8，OB＝5，则CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 16．如图，将一把宽为2cm的刻度尺（单位：cm）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3cm C．cm D．cm 18．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 19．如图，在⊙O中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离OE＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 20．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．则纸杯杯底的直径为（　　） A．6cm B．5.2cm C．5cm D．4.8cm 21．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区．已知种植区的深度为4cm，弦AB的长为16cm，则圆形框架的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．16cm D．20cm 22．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的弧所对的弦相等 D．长度相等的弧是等弧 23．如图在5×5正方形网格中，一条圆弧过点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 24．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　　 m． 25．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　　 ． 26．已知P是⊙O内的一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为　 　 ． 27．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则两弦之间的距离为　 ． 28．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为C，CD＝2，则⊙O的半径长为 　　 ． 29．半径为13的⊙O中，弦AB的长为24，则圆心O到弦AB的距离为　　 ． 30．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE． 31．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，求BE的长． 32．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 圆的对称性 内 容 导 航 题型1 作图—复杂作图 题型2 垂径定理 考 点 演 练 题型1 作图—复杂作图 解｜题｜知｜识 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【典例1】按如下步骤作四边形ABCD： （1）画∠GBH＝90°； （2）以点B为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交BG、BH于点A、C； （3）分别以点A和点C为圆心，2个单位长度为半径画弧，两弧交于点D； （4）连接AD、DC、AC； （5）以点C为圆心，CA长为半径画弧交CH于点E． 则∠DAE的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【解答】解：由作图可得，AB＝BC＝CD＝AD＝2，CE＝AC，∠GBH＝90°， ∴四边形ABCD是正方形，∠CAE＝∠CEA， ∴AD∥BH，∠ACB＝45°， ∵∠ACB＝∠CAE+∠CEA＝45°， ∴∠CAE＝∠CEA＝22.5°， ∵AD∥BH， ∴∠DAE＝∠CEA＝22.5°， 故选：A． 【变式1】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为三角形的外心是三角形各边的垂直平分线的交点， 故选项B中，利用直尺可以作出三角形的外心． 故选：B． 【变式2】通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．由作图痕迹可知，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，不能平分三角形面积， 故A选项不符合题意； B．由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 根据所给条件不能得出BD＝CD， 故B选项不符合题意； C．由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线， ∴AD是△ABC的中线，能平分三角形面积， 故C选项符合题意； D．由作图痕迹可知，AD是△ABC的垂线，不能平分三角形面积， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，菱形ABCD的边长为，∠A＝30°，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN分别交AD，AB于E，F两点，连接CF，则CF2＝　 ． 【答案】． 【解答】解：延长CB交MN于点G， 根据作图可得MN垂直平分AD， ∵四边形ABCD是菱形，，∠A＝30°， ∴，AD∥BC，MN⊥BC，EF⊥AD，∠FBG＝∠A＝30°， ∴AF＝2EF，， ∴， ∴EF＝1，则AF＝2，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦， ∴AB＝2AP， ∵圆的半径为5，OP＝3， ∴AP4， ∴AB＝8， ∵过P的最长的弦是圆的直径是10， ∴8≤经过点P的弦的长≤10， ∴经过点P的弦的长度不可能是7． 故选：A． 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD．若OE＝3，CD＝8，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， ∴CECD＝4． 在Rt△OCE中，OE＝3， ∴OC5， ∴OA＝OC＝5， ∴AE＝OA+OE＝5+3＝8． 故选：C． 【变式2】如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，BP：AP＝1：3，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OC， ∵AB＝8，BP：AP＝1：3， ∴OA＝OB＝OC＝4，BP＝2， ∴OP＝OB﹣BP＝4﹣2＝2， ∵CD⊥AB， ∴△OPC为直角三角形， 在Rt△OPC中，OP2+PC2＝OC2， ∴PC2， ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵圆心到弦AB的距离OC为2， ∴OC⊥AB， ∴ACAB4＝2， ∴OA2， ∴圆O的半径长是， 故选：C． 过 关 验 收 1．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 【答案】（1）点P′和P″即为所求； （2）1或4． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″， 则点P′和P″即为所求； （2）∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠PEC＝∠DAP， ∴∠APB＝∠PEC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP′＝x，AB＝4，BC＝5， ∴P′C＝5﹣x， ∴， 解得x1＝1，x2＝4， ∴BP的长为1或4． 2．尺规作图：“经过直线外一点作这条直线的平行线”． 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P作直线l的平行线．（至少用两种方法） 【答案】 【解答】解：根据平行线的判定方法作图如下： 方法一：在直线l上任取两点C、D，作直线PC，在直线的同侧，作∠EPA＝∠PCD，然后过点P、A即可作出直线AB．如图，直线AB即为所求． 方法二：在直线l上任取一点A，连接AP并延长；以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线l和线段AP于点B，C，以点P为圆心，以AC长度为半径画弧，交线段AP于点D，以D为圆心，以BC长度为半径画弧，与上一圆弧交于点E，作直线PE，即为直线m，所以直线m即为所求． 3．如图，已知在△ABC中，∠B＝40°．请利用尺规在边BC上求作一点P，使得∠BAP＝50°．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解答． 【解答】解：点P如图所示． 4．如图，已知矩形ABCD，AB＝m，BC＝2，点P为线段AD任一点． （1）若∠BPC＝60°，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； （2）若符合（1）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是 　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）作等边△ABE，△CDF，BE交CF于O，以O为圆心OB为半径画圆交AD于P1，P2，点P1、P2即为所求； （2）当P1与A重合时，点O是矩形ABCD的中心，此时AB＝BC•tan30°， 当点P1与P2重合时，ABBC， ∴满足条件的m的值为m． 故答案为：m． 5．如图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，⊙O的圆心O和弦AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为边画⊙O的内接正方形ABCD． （2）在图②中画圆周角∠AEB＝135°，且点E在格点上． （3）在图②中以点B为切点画⊙O的切线BF，且点F在格点上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 6．如图，点P在∠AOB中，PM∥OB交OA于点M． （1）过点P作OA的平行线交OB于点N．（利用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接OP，若∠MPO＝∠NPO，试说明OP是∠AOB的角平分线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）解：如图，直线PN即为所求； （2）证明：∵PM∥OB．PN∥OA， ∴∠MPO＝∠PON，∠NPO＝∠POM， ∵∠MPO＝∠NPO， ∴∠PON＝∠POM， ∴OP是∠AOB的角平分线． 7．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句）． （1）如图1，已知线段AB＝a，作出到点A距离大于等于a且到点B距离小于等于a的点的集合； （2）如图2，∠ACB的顶点在直线l上，求作：直线l上所有的点P，使∠APB＝180°﹣∠ACB． 【答案】（1） 阴影部分即为所求（不包含边界）； （2） 点P、P'即为所求作的点． 【解答】解：（1）以点B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，为半径画弧，即可得到图中阴影部分，如图： 阴影部分即为所求（不包含边界）； （2）以A为圆心，AC为半径作弧，以B为圆心，BC为半径作弧，两弧交于点C，C'，再作△ABC'的外接圆O交直线l于P，P'，如图， 点P，P'即为所求； 理由： 由作图知，AC＝AC′，BC＝BC′，AB＝AB， ∴△ACB≌△AC′B（SSS）， ∴∠ACB＝∠AC′B， ∵四边形APBC′和四边形AP'BC′都为圆内接四边形， ∴∠APB+∠AC′B＝180°，∠AP'B+∠AC′B＝180°， ∴∠APB＝180°﹣∠AC′B＝180°﹣∠ACB，∠AP'B＝180°﹣∠AC′B＝180°﹣∠ACB， ∴点P1、P2即为所求作的点． 8．如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．（保留必要的作图痕迹） （1）如图1，⊙O的半径为 　 　 ； （2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）； （3）在如图2中画出的中点E． 【答案】（1）； （2）图见解析； （3）图见解析． 【解答】解：（1）如图1： 圆心O是弦AB和CD的垂直平分线的交点， 结合网格的特征可得⊙O的半径为， 故答案为：． （2）如图2： （3）如图3： 根据网格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，即得的中点E． 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E． （1）用直尺和圆规作出劣弧AD的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）如图所示作出AD的垂直平分线交劣弧AD于点F，点F即为所求； （2）如图所示，设AD的垂直平分线交AD于点G， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， GF经过点C，且CF垂直平分AD， ∴∠AGC＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACG∽△ABC， ∴，即， ∴． ∴． 10．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，画出△ABC的外心O； （2）在图②中，画出△ABC的内心P． 【答案】（1）如图①中，点O即为所求； （2）如图②中，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，点O即为所求； （2）如图②中，点P即为所求． 11．尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （1）底边长为a，底边上的高长为b； （2）腰上的高长为a，底边上的高长为b． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）如图，先在射线BC上截取BC＝a，再作BC的垂直平分线，垂足为D点，接着截取AD＝b， 则△ABC为所作； （2）如图所示，△ABC即为所求； 12．如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B； ②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等； （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝ 　 　　 ． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】解：（1）①⊙O即为所求； ②点M即为所求； （2）过点M作MH⊥AQ于点H， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC3， ∵∠BAC＝∠MAH，∴△BAC∽△MAN， ∴，即：， 解得：MH＝6，AH＝8， ∴OH＝AH﹣AO＝5.5， 在Rt△OHM中，OM， 故答案为：． 13．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（　　） A．4 B．5 C．8 D． 【答案】B 【解答】解：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB＝24，OC＝13，连接OA， ∴，OA＝OC＝13， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：． 故选：B． 14．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且AB＝8，OB＝5，则CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且AB＝8，OB＝5， ∴BEAB＝4， 在Rt△OBE中，OB2＝BE2+OE2，即52＝42+OE2， 解得OE＝3， ∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2． 故选：B． 15．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：连接OA，则OA＝10cm， ∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm， ∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm）， ∵OC＝10cm， ∴CD＝OC﹣OD＝4cm， 故选：C． 16．如图，将一把宽为2cm的刻度尺（单位：cm）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：如图，设刻度尺与杯口外沿的交点为A，B，切点为C，茶杯口圆心为O， 连接OA，OB，OC，OC交AB于点M， 由题可知，OA＝OB＝OC，AB＝8，CM＝2， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝4， 在Rt△AMO中，设OA＝x，则OM＝x﹣2， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴x2＝（x﹣2）2+42， 解得x＝5， 故选：D． 17．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3cm C．cm D．cm 【答案】D 【解答】解：过O作OC⊥AB于点C， 则∠OCP＝∠ACO＝90°， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AC＝BCAB8cm＝4cm， ∵BP＝2cm， ∴PC＝BC+BP＝6cm， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC3（cm）， 在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP3（cm）， 故选：D． 18．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 【答案】D 【解答】解：连接BE，如图， ∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2． 故选：D． 19．如图，在⊙O中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离OE＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：∵在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE＝6， ∴OE⊥AB于点E， ∴∠AEO＝90°，AE＝BE， ∵半径长为10， ∴OA＝10， ∴AE8， ∴AB＝2AE＝16， 故选：C． 20．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．则纸杯杯底的直径为（　　） A．6cm B．5.2cm C．5cm D．4.8cm 【答案】C 【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB， ∴MN＝3.5cm， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴CMCD4＝2（cm），BNAB3＝1.5（cm）， 设ON＝xcm， ∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm， ∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2， ∴OM2+MC2＝ON2+BN2， ∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52， ∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25， ∴7x＝14， ∴x＝2， ∴ON＝2（cm）， ∴OB2.5（cm）， ∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）． 故选：C． 21．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区．已知种植区的深度为4cm，弦AB的长为16cm，则圆形框架的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F，则EF＝4cm， ∵OE⊥AB， ∴AE＝EBAB8（cm）， ∵OA2＝AE2+OE2，OE＝AE﹣EF， ∴OA2＝82+（OA﹣4）2， ∴OA＝10， ∴圆形框架的半径为10cm， 故选：B． 22．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的弧所对的弦相等 D．长度相等的弧是等弧 【答案】C 【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A错误，不符合题意； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故B错误，不符合题意； 相等的弧所对的弦相等，故C正确，符合题意； 长度相等的弧不一定是等弧，故D错误，不符合题意； 故选：C． 23．如图在5×5正方形网格中，一条圆弧过点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 【答案】B 【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图， 它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 24．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　　 m． 【答案】9． 【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m． ∵CO⊥AB，AB＝6m， ∴AMAB＝3m， 在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM4（m）， ∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m）， ∴隧道的最大高度CM＝9m． 故答案为：9． 25．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵OC⊥AB于点C， ∴AB＝2AC＝2×3＝6， ∴OA＝AB＝6， 故答案为：6． 26．已知P是⊙O内的一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为　 　 ． 【答案】4cm． 【解答】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点P且与这条直径垂直的弦， ∴过点P的最长的弦长过点P的直径AB， ∴AB＝10cm，CD＝6cm，AB⊥CD， ∴cm，cm， 由勾股定理得：， 故答案为：4cm． 27．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则两弦之间的距离为　 ． 【答案】7或17． 【解答】解：如图，当弦AB和CD在圆心异侧时，作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵CD＝10，AB＝24， ∴，， ∵⊙O的半径为13， ∴OA＝OC＝13， ∵AO2＝OE2+AE2，CO2＝OF2+CF2 ∴，， ∴EF＝OF+OE＝12+5＝17； 如图，当弦AB和CD在圆心同侧时，作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB＝24，CD＝10， ∴，， ∵⊙O的半径为13， ∴OA＝OC＝13， ∵AO2＝OE2+AE2，CO2＝OF2+CF2， ∴，， ∴EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7； 综上所述，两弦之间的距离为7或17， 故答案为：7或17． 28．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为C，CD＝2，则⊙O的半径长为 　　 ． 【答案】5． 【解答】解：连接OA， ∵AB＝8，OD⊥AB，CD＝2， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径长为r，则OC＝r﹣2， 在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5． 故答案为：5． 29．半径为13的⊙O中，弦AB的长为24，则圆心O到弦AB的距离为　　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA， ∵OC⊥AB，AB＝24， ∴， 在Rt△OAC中，OA＝13，AC＝12， 由勾股定理得：． 故答案为：5． 30．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE． 【答案】27cm． 【解答】解：由条件可知：OF⊥AC，EF＝AB＝CD＝3cm． ∵AC＝20cm， ∴． 在Rt△AOF中，根据勾股定理得， ∴OE＝OF+EF＝24+3＝27（cm）． 31．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，求BE的长． 【答案】2． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴∠OED＝90°，， 在Rt△OED中，， ∵OB＝OD＝5， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 32．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径． 【答案】5． 【解答】解：设圆的半径是r， 连接OC， ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CECD6＝3， ∵BE＝1， ∴OE＝r﹣1， ∵OC2＝OE2+CE2， ∴r2＝（r﹣1）2+32， ∴r＝5， ∴⊙O的半径是5． 学科网（北京）股份有限公司 $