3.3 圆的对称性 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合创新”为梯度，覆盖圆的对称性、垂径定理及圆心角关系，通过基础题巩固核心概念，中档题强化运算推理，综合题提升模型应用与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|轴对称性、垂径定理五要素|单选题辨析垂径定理推论（如第2题半径与弦长计算），夯实概念理解| |中档应用|勾股定理结合垂径定理、圆心角与弧关系|填空题融合几何图形与方程思想（如第15题残缺车轮半径计算），培养运算能力| |综合拓展|跨知识综合、实际情境应用|解答题涉及翻折问题（第10题）、月洞门设计（第24题），发展空间观念与模型意识|

3.3圆的对称性（知识梳理+同步练习） 一、圆的对称性 1.轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2.中心对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。 二、垂径定理 1.定理内容 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.几何语言 若直径AB⊥弦CD,则AB平分CD,且平分CD所对的优弧、劣弧。 3.垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键条件：被平分的弦不能是直径，任意两条直径互相平分但不一定垂直。 三、垂径定理五要素知二推三 一条直线若满足以下任意两个条件，可推出其余三个条件： 1.经过圆心；2.垂直于弦；3.平分弦（非直径)；4.平分弦所对劣弧；5.平分弦所对优弧。 四、圆心角、弧、弦的关系（同圆或等圆中） 1.核心定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2.推论 在同圆或等圆中，若圆心角、弧、弦三组量中有一组量相等，则其余两组量对应相等。 3.重要前提 所有等量互换结论必须在同圆或等圆中，不等圆不成立。 五、圆心角与弧的度数关系 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 1°的圆心角对应1°的弧，n的圆心角对应n的弧。 六、垂径定理计算模型 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形：半径、弦心距、半弦长满足勾股定理。 -+引 r:圆半径，d:弦心距，I:弦长 同步练习 一、单选题 1.（2026重庆模拟预测)下列命题是真命题的是（) A·过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B,平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于同一条直线的两直线平行 D.垂线段最短 2·(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图，在⊙0中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8 0C=5 CD ,则的长是() D B A.3 B.2.5 C.2 D.1 3.(2025河南省直辖县级单位一模)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的 一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心交OO于点E,并且CD=4m,EM=6m.则 ⊙0 的半径为（) D 10 8 A·3m B.3 m C·4m 0.3m 4.在圆O中，圆心角∠AOB=2∠COD,则弦AB与弦CD的关系是() A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 5.(25-26八年级下·山东滨州·期末)如图1，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我 国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是 以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在 水面以下的最大深度为2m,则筒车的直径是() 水面4 B/ : 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 6,(2026九年级下.甘肃临夏.学业考试)如图，⊙0的半径是5，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB 垂足为P,若CD=8,则△ACD的面积是() A.16 B.24 C.32 D.48 7.(25-26九年级上·浙江湖州期末)已知⊙0的半径为3，弦AB的长为4，则圆心0到弦AB的距 离是() A.5 8. C.3 D.26 8.(2026四川南充中考真题)如图，AB为⊙O直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2,则OE长为 B A.1 8.6 C.2 D.5 9,(2026广西玉林三模)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=6cm 则球的半径为（) 15 A.4cm B·4cm C.7cm D·5cm 10.(24-25九年级上河北衡水期中)题目：“如图，AB是⊙O的直径，AB=2,点C在线段AB上 运动，过点C的弦DE LAB,将OO位于DE右边的部分沿DE翻折，DE交直线B于点R当DE 的长为正整数时，求B的长，对于其答案甲答：2，乙答：2-5 丙答：2+V5 则正确的是 () A·只有甲答得对 B.乙、丙答案合在一起才完整 C,甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 二、填空题 11.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在O0中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H,若 AH=CD=4 ⊙0 则的半径长为 D 12.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，且AB=8,C为⊙0上一点，过C作 CD⊥AB 交A B于点D,交O0于点E,若D为OB中点则CE的长为 、⊙0 CE ⊙ E 13.(2026湖南长沙三模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与 x轴交于0，A两点，点4的坐标为6.0)o 的半径为 V13,则点P的坐标为 P A(6,0) 14.（24-25九年级上·浙江杭州期中)如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径 的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两点，若AC=CD=2,则小圆半径是 B 0 15.(24-25九年级上河南三门峡期末)中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系.《周礼·考工 记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸…”.如图，某 学习小组酒过以下方式探究其个残缺车轮的半径：在车轮上取，⑧两点，没丽所在图的题心为0， 经测量：弦AB=120cm,过弦AB的中点C作CDL AB交圆弧于点D,且CD=30cm,则该车轮的半 径等于cm. D 16.图1是利用边长为4W5的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成-个房子造型（如图2）， 过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点AE、D、B在圆上， 点C、F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为一 B 图1 图2 17.(2026江苏扬州二模)如图在平面直角坐标系0y中，已知⊙0的半径为2，弦AB绕点O旋转 一周扫过的区域记为m若点1)在区域严内部（包含边界），弦AB长为m则m的取值范围是 B 2 18.(2026浙江金华.二模)如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB,BC分别与⊙O相 AE 交于D,E两点，连接AE·若点D为AB的中点，则AD的值为一 E B 三、解答题 19.如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=120°. (1)作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径· 20,(25-26九年级下全国课后作业)如图，AB是直径， BC=CD=DE∠B0C=40°.求∠A0E 的大小 D E B 21.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图在0中B=C,∠4CB=60.求证： ∠AOB=∠BOC=∠AOC. B 22,(2026安徽合肥三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连 接OD交AC于点E. B (1)求证：OD⊥AC: (2)若⊙0的半径为5，DE=2,求线段BD的长. 23.如图所示，⊙O的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为 E.F AC=BD .求证：四边形OEPF是正方形. C\P F 24.(2026福建漳州模拟预测)如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故 称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形 用1CB表示点O是4CB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高现在我们也可 以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图· C 已知： AB ADB 图1 图2 图3 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为AB,拱高为a,用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图 (保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AB=1m,CD=2.5m,求⊙0的半径长. 答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 D C B B C B B A 0 1.D 【详解】选项A:,当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B:,当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C:该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C 是假命题； 选项D:由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂 线段最短，D是真命题 2.C 【详解】解：~OC⊥AB,AB=8 ·∠0DA=90°，AD=)AB=4 2 .·OC=OA=5 “在Rt△ODA中， 0D=VOA2-AD2=V52-42=3 .CD=OC-OD=5-3=2 3.B 【详解】解：如图：连接OC E M D M是OO中弦CD的中点， .EM⊥CD 又CD=4 .CM-CD=2m 设圆的半径是x米，OC=x 在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2, 即：x=2+(6-,解得：x0 3 10 所以圆的半径长是3m. 故选：B. 4.C 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OE,交⊙O于点E,连接AB、CD、AE、BE 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE .:∠AOB=2∠COD .∠AOE=∠BOE=∠COD ·,在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等 .AE=BE =CD 在△ABE中，AE+BE>AB .CD+CD>AB,即AB<2CD. 5.B 【详解】解：如图，过点O作OH⊥AB,交AB于点C,交⊙O于点H, 水面4C5B 设筒车的半径为m,则OA=OH=m :0C=(-2)m :OH⊥AB .AC=BC= 4B=4m 在RIAOAC中，OC2+AC2=OA, -2+4=r,解得r=5 ∴.筒车的直径是10m 6.C 【详解】解：连接OD P B ,⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD1AB,CD=8 .PD=CD=4 2 .OP=OD2-PD2=524=3 .AP=OA+OP=5+3=8 5mcn4P-8x8=2. 7.B 【详解】解：作OE⊥AB于E连接OA, :OE⊥AB,弦AB的长为4， B AE-BE-14B-1x ×4=2 2 2 在RtAAOC中，OA=3,AE=2 ·0E=VOA-AE2=V9-4=5 即圆心O到弦AB的距离为5 故选：B 8.B 【详解】解：AB为OO直径，CD⊥AB,OC=OB=CD=2 CCDl 在RtAOCE中，OE=V0C2-CE2=V22-下=V5 9.A 【详解】解：如图，取EF的中点M,作MN上AD于点M, M F M是EF的中点，MN⊥AD于点M, .MW经过球心O, ∴取MN上的球心O,连接OF, :四边形ABCD是矩形 .∠C=∠D=90° ,MN⊥AD ∴四边形CDMN是矩形 .MN=CD=6cm 设OF=OW=xcm ..OM=MN-ON-(6-x)em ~MF=号EF=30m 2 ·在直角三角形OMF中，0M2+MF2=0F2,即(6-x+32=x2 解得：x=15 15 六球的半径为4cm 10.D 【详解】解：·DE是OO的弦，AB是⊙0的直径， .DE≤AB AB=2, .DE≤2⊙O 的半径为1， :DE的长为正整数， DE=1或DE=2 ①当DE=1且DE在圆心O的右侧，如图，连接OD D :DE⊥AB :.DC=IDE=1 2 2 BC=0B-0C=1- 2、 由翻折的性质得， FB=2BC=2-3 ②当DE=1且DE在圆心O的左侧，如图，连接OD B 同理①可得， OC=3 2 BC=0B+0C=1+ 2, FB=2BC=2+3 由翻折的性质得， ③当DE=2时，DE为直径，如图，此时点C与圆心O重合，点F与点A重合， D A(F) ac B E 则FB=2; 综上所述 FB的长为2-5或2+5 或2； 由题意得，三人答案合在一起才完整· 故选：D 11253 5 【详解】解：如图，连接OC, B 设圆的半径为” ·CD⊥AB CH-CD-1x4=2 1 2 2 在Rt△OCH中，OC=r,OH=AH-AO=4-r, ..OC2=OH2+CH2 r2=(4-r}+22 解得r=2.5 .⊙0半径为2.5 12.4V5 【详解】解：连接OC, AB⊙O AB=8CD⊥AB 是的直径，且 ∴.OA=OB=OC=4CE=2CD .D OB 为中点 B 1 ∴.D0=5OB=2 根据勾股定理，得CD=V0C2-OD2=2√5 ∴.CE=2CD=4V5 13.(6,2) 【详解)解：过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP, -----P D A(6,0) :A(6,0)PD⊥OA ..OD 20A=3 在RtOPD中：OP=Vi3OD=3 PD=VOp2-0D2=V13-9=2 .P(3,2) 26 14.3 【详解】解：过O点作OH上AB于H点，连结OA、OC,如图，则 AH=BH,CH=DH=二CD=1 2 设0C=r,则OA=2r, 在RtACOH中，OH2=OC2-CH2=r2-12 Ria40H中，MH=AC+CH=3OH=0M-AH=42-3 .r2-12=4r2-32 解得， r=26 3或、V6 3 2V6 r= 即小圆半径是3· 故答案为：=26 3. A C D CH 0 15.75 【详解】解：连接OC,设⊙O的半径为Rcm B C为AB的中点且CD⊥AB,AB=120cm,CD=30cm, O,C,D三点共线， 六0C=OD-CD=(R-30em, 4c=c-号4B-120=60am， 在R△40C中，由勾股定理得Of=AC2+0C2,即R=60+(R-30 解得R=75 即该车轮的半径等于75cm 故答案为：75. 16.5 【详解】解：如图， G H 正方形的边长为 图1 图2 42 图1中的6H=42*2x2-2 2 小由图可得 QG=GH=2 KH=GH=2 ”过左侧的三个端点2、K、乙作回 ∴QH=LH=4 KH⊥QL 点在N上，连接0则 00 00 为半径 设半径为r,则OH=r-2 在Rt△OH0中，由勾股定理得： 0H2+QH2=002 r2=42+(-2 解得：r=5 圆的半径为 故答案为：5. 17. 2W2≤m≤4 【详解】解： 设点P坐标为L) 如图，连接OP B B' 2 根据题意，当AB为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为AB即AB的中点时，( P=m,OP=2此时g即 AB最小， 由勾股定理得P8=VOB2-0P=22-（-2 ·弦的长m的最小值为25 ∴.满足题意的m值的取值范围为 V2≤m≤4 18.6 【详解】解：设AD,CE的中点分别为M,N,连接OM,ON CNE B 不妨设OA=0C=4a,则AD=2a,AM=a, 由垂径定理可得OM⊥AD,ON⊥CE OM=VOA2-AM2 =15a 在菱形OABC中，∠OAM=LOCN 在△OAM和△OCN中， ∠OMA=∠ONC ∠OAM=∠OCN OA=OC :'.AOAM≌aOCN(AAS) :AM=CN=a OM=ON=15a EN=CN=a 过E作EH⊥OA,则四边形ONEH为长方形， :.OH=EN=a EH=ON=5a AH=0A-OH=3a :.AE=VAH2+EH=(3a)+(15a)=2V6a :4g-26@-6 AD 2a 19.(1)如图所示，⊙0即为所求的△ABC的外接圆； (2)它的外接圆半径为6cm. 【详解】(1)略： (2)解：连接AO,BO AB=AC=6cm∠BAC=120° AB-AC ∴.OA⊥BC .∠BAO=∠CAO=60° .AO=BO △ABO 是等边三角形 .AB=A0=6cm 6cm 即它的外接圆半径为 20.60° 【详解1解：~BC=CD=DE∠B0C=40 ∴.∠DOE=∠DOC=∠BOC=40° AB是直径 .∠A0E=180°-（∠D0E+∠D0C+∠B0C)=180°-(40°+40°+40°）=60° 21.证明：AB=4C 、.AB=AC. .∠ACB=60° .△ABC是等边三角形. .AB=BC=CA, .∠AOB=∠BOC=∠AOC. 22.(1)证明：BD平分∠ABC .∠CBD=∠ABD CD=AD 又OD是⊙0的半径 .OD⊥AC; (2)解：如图所示，连接AD, :⊙0的半径为5， .OD=5 DE=2, ...OE =OD-DE=3 由(1)得OD⊥AC,则∠OEA=∠DEA=90° AE=OAP-OE=4 .AD2=DE2+AE2=22+42=20: :AB是⊙O的直径， .AB=2OD=10,∠ADB=90° BD=VAB2-AD2=V102-20=4V5 23.证明：连接OA、OD,如图 D :AB⊥CDOE⊥ABOF⊥CD OEPF 四边形 是矩形， AC=BD .AC+BC=BD+BC 即AB=CD .AB=CD :OE⊥ABOF⊥CD 垂足分别为， ÷B=ABDF=cD 2 :AE=DF .OA=OD OE2=0A2-AE2 OF2=OD2-DF2 ..OE=OF “四边形 OEPF 是正方形· 24.(1)如图， 木M米 D A B 图3 (2)解：如图，连接01，设o0的半径为r,则01=0C=r,00=(2.5-r)m C ADB 由题意可知，CD垂直平分AB, .∠ODA=90°，AD=7AB=0.5m 在直角△OAD中，OA=OD+AD2, r2=(2.5-r}+0.52 解得r=1.3m 答：⊙0的半径长为1.3m.