1.2 一元二次方程的解法 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理配方法、因式分解法、公式法的具体步骤及根的判别式的应用。通过解法步骤分解、典例示范与变式练习，构建从基础操作到综合应用的学习支架。 资料以题型为单元，解题知识条理化呈现培养推理能力，典例与变式梯度设计提升抽象能力，根的判别式结合实际问题渗透模型意识。课中辅助教师分层教学，课后过关验收助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.2 一元二次方程的解法 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-因式分解法 题型3 解一元二次方程-公式法 题型4 根的判别式 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【答案】D 【解答】解：由题知， x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 因为该方程可化为（x+m）2＝n的形式， 所以m＝﹣3，n＝6， 则m+n＝﹣3+6＝3． 故选：D． 【变式1】用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， 移项得，x2﹣2x＝1， 配方得，x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2． 故选：B． 【变式2】用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x+m）2＝3，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1， 则x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， 又∵（x+m）2＝3， ∴m＝﹣2， 故选：B． 【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0用配方法可变形为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【答案】C 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， 所以（x﹣2）2＝5． 故选：C． 题型2 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】（1）解方程：x2﹣8x﹣9＝0； （2）用配方法）． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝9； （2）． 【解答】解：（1）x2﹣8x﹣9＝0， （x+1）（x﹣9）＝0， 则x+1＝0或x﹣9＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝9； （2）3x2+8x﹣9＝0， x2x＝3， x2x3， （x）2， 则x， 所以． 【变式1】解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣4x+3＝0 （x﹣1）（x﹣3）＝0 x﹣1＝0或x﹣3＝0 x1＝1，x2＝3． 【变式2】解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝1； （2）x1，x2． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 【变式3】解下列关于x的方程： （1）x2﹣6x+1＝0； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． 【答案】（1）； （2）x1＝2，x2＝3． 【解答】解：（1）x2﹣6x+1＝0， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， 则x﹣3， 所以； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6， x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3． 题型3 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2+3x﹣1＝0 C．3x2+x﹣2＝0 D．﹣2x2﹣x+3＝0 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴一元二次方程为2x2+3x﹣1＝0． 故选：B． 【变式1】观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【答案】B 【解答】解：x2﹣x＝1.1， x2﹣x﹣1.1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x， x1，x2， ∵2.22.4， ∴3.2＜13.4， ∴1.61.7， 即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7． 故选：B． 【变式2】用公式法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（　　） A．1，﹣4，3 B．1，4，﹣3 C．﹣1，﹣4，3 D．1，4，3 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0是一般形式， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝3． 故选：A． 【变式3】用公式法解方程2x2﹣5＝﹣7x时，得，则“□”处应填（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 【答案】A 【解答】解：先化为一元二次方程一般式：2x2+7x﹣5＝0， ∴a＝2，b＝7，c＝﹣5， ∴， 则“□”处应填﹣7， 故选：A． 题型4 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定p※q＝p2﹣pq+q，若关于x的方程x※（m﹣1）＝0（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 　 　 ． 【答案】5或1． 【解答】解：将方程x※（m﹣1）＝0转化为x2﹣x（m﹣1）+（m﹣1）＝0， 整理得x2﹣（m﹣1）x+（m﹣1）＝0， Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣1）2﹣4（m﹣1）， 由条件可知（m﹣1）2﹣4（m﹣1）＝0， 提取公因式得（m﹣1）（m﹣5）＝0， 解得m＝1或m＝5， 验证可知m＝1或m＝5均满足条件． 故答案为：1或5． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 ． 【答案】k＜4 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4k＞0， 解得k＜4． 故答案为：k＜4． 【变式2】已知整式P＝x2﹣2（2x﹣x2）+1． （1）化简P； （2）若P的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1）3x2﹣4x+1； （2）由（1）得P＝3x2﹣4x+1， 当P＝0时，则3x2﹣4x+1＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝16﹣12＝4＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：（1）P＝x2﹣2（2x﹣x2）+1 ＝3x2﹣4x+1； （2）当P＝0时，则3x2﹣4x+1＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝16﹣12＝4＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． 【变式3】已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵在方程x2+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4×1×9＝b2﹣36， 当b＞6时，b2＞36，则b2﹣36＞0，即Δ＞0， ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； （2）8． 【解答】证明：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵在方程x2+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4×1×9＝b2﹣36， 当b＞6时，b2＞36，则b2﹣36＞0，即Δ＞0， ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； 解：（2）∵等腰三角形的两条腰长是方程x2+bx+9＝0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣36＝0， 解得b＝±6， ∵方程的根是三角形的边长， ∴根的和﹣b＞0， ∴b＜0，b＝﹣6， 将b＝﹣6代入方程，得x2﹣6x+9﹣0， ∴因式分解为（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的腰长为3，底边长为2，根据三角形周长公式，周长为3+3+2＝8． 过 关 验 收 1．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0， ∴x2﹣6x＝1， 则x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10， ∴m＝﹣3，n＝10， 故选：D． 2．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　） A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 【答案】A 【解答】解：设这个数为x， 则x2﹣x+1＝x， x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0， 则x1＝x2＝1， 所以这个数为1． 故选：A． 3．将一元二次方程x2﹣4x+3＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7 【答案】A 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， x2﹣4x＝﹣3， x2﹣4x+4＝﹣3+4， （x﹣2）2＝1， 故选：A． 4．一元二次方程x2+4x﹣3＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 【答案】D 【解答】解：移项得x2+4x＝3． 将4加到等式两边得x2+4x+4＝3+4． 则（x+2）2＝7． 因此，方程配方后为选项D． 故选：D． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0时，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， ∵用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0时，将它转化为（x+a）2＝b的形式， ∴b＝2024， 故选：B． 6．把方程x2+2x﹣3＝0配方后，可变形为 　 　 ． 【答案】（x+1）2＝4． 【解答】解：x2+2x＝3， ∴x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 故答案为：（x+1）2＝4． 7．将一元二次方程x2﹣8x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k＝ 　 ． 【答案】15 【解答】解：由题知， x2﹣8x+1＝0， x2﹣8x+16＝﹣1+16， （x﹣4）2＝15， 因为一元二次方程x2﹣8x+1＝0可化成（x+h）2＝k的形式， 所以k＝15． 故答案为：15． 8．解方程：x2+4x﹣8＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2+4x﹣8＝0， 移项得：x2+4x＝8， 配方得：x2+4x+4＝12，即（x+2）2＝12， 开方得：x+2＝2或x+2＝﹣2， 解得：x1＝22，x2＝﹣22． 9．解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝1+6， （x﹣1）2＝7， x﹣1＝±， x1＝1，x2＝1． 10．方程x2＝x的根为 　 　 ． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 解得x＝0，x＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 11．一元二次方程x2＝2x的解为 　 　 ． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 12．定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　　 　 ． 【答案】1或． 【解答】解：当x≥﹣2x+1，即时， 根据新运算得：x2﹣（﹣2x+1）＝2， 解得x1＝1，x2＝﹣3（不合，舍去）； 当x＜﹣2x+1，即时， 根据新运算得：4x+（﹣2x+1）2＝2， 解得，（不合，舍去）； 综上所述，x的值为1或， 故答案为：1或． 13．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】D 【解答】解：当x≥0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2； ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③x＝2时，[x]＝2，2[x]＝x2； 当x＜0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2与x＜0矛盾； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 14．用公式法解方程2x2+3x＝1，把原方程化为一般式，则a，b，c依次是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．﹣2，3，1 D．2，﹣3，﹣1 【答案】B 【解答】解：由条件可得2x2+3x﹣1＝0， ∴a，b，c依次是2，3，﹣1， 故选：B． 15．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解答】解：若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是x2﹣2x﹣1＝0， 故选：A． 16．当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程为的两个根为，， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为﹣5， 故选：B． 17．解方程x2＝3x+2时，小海同学解答如下： 解：原方程中，a＝1，b＝3，c＝2．第一步 b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1．第二步 ，第三步 即x1＝﹣1或x2＝﹣2．第四步 所以，原方程的根是x1＝﹣1，x2＝﹣2．第五步 （1）上述解题过程从第　　 步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 【答案】（1）一； （2）x2＝3x+2， 原方程可变形为：x2﹣3x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17， ∴， ∴，． 【解答】解：（1）∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）x2＝3x+2， 原方程可变形为：x2﹣3x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17， ∴， ∴，． 18．已知关于x的方程x2﹣x+a＝0． （1）若a＝0，求方程的根； （2）若a＝﹣6，求方程的根． 【答案】（1）x1＝0，x2＝1； （2）x1＝3，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）当a＝0时，x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1； （2）当a＝﹣6时，x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2． 19．下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2+4＝0 【答案】B 【解答】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根； B、Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴该方程没有实数根； D、Δ＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0， ∴该方程没有实数根． 故选：B． 20．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 21．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝2x B．x2+x＝﹣2 C．（x﹣2）2+1＝0 D．x2﹣2＝0 【答案】D 【解答】解：根据根的判别式逐项分析判断如下： A、x2+1＝2x变形为x2﹣2x+1＝0，此时Δ＝4﹣4＝0， 此方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、x2+x＝﹣2变形为x2+x+2＝0，Δ＝1﹣8＝﹣7＜0， 此时方程无实数根，不符合题意； C、（x﹣2）2+1＝0化为（x﹣2）2＝﹣1， 此方程没有实数根，不符合题意； D、x2﹣2＝0中，Δ＝0﹣（﹣8）＝8＞0， 此方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 22．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【答案】A 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0． 故选：A． 23．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0只有一个实数根，则m等于（　　） A．1或﹣6 B．﹣6 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0只有一个实数根， ∴m﹣2≠0，且Δ＝16m2﹣4（m﹣2）（2m﹣6）＝0． ∴m≠2，且m＝﹣6或m＝1． 故选：A． 24．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解答】解：由题意，∵x2﹣x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴原方程无实数根． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 一元二次方程的解法 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-因式分解法 题型3 解一元二次方程-公式法 题型4 根的判别式 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【变式1】用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0 【变式2】用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x+m）2＝3，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0用配方法可变形为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 题型2 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】（1）解方程：x2﹣8x﹣9＝0； （2）用配方法）． 【变式1】解方程：x2﹣4x+3＝0． 【变式2】解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【变式3】解下列关于x的方程： （1）x2﹣6x+1＝0； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． 题型3 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2+3x﹣1＝0 C．3x2+x﹣2＝0 D．﹣2x2﹣x+3＝0 【变式1】观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【变式2】用公式法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，先找出a，b，c的值，则a，b，c依次为（　　） A．1，﹣4，3 B．1，4，﹣3 C．﹣1，﹣4，3 D．1，4，3 【变式3】用公式法解方程2x2﹣5＝﹣7x时，得，则“□”处应填（　　） A． ﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 题型4 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定p※q＝p2﹣pq+q，若关于x的方程x※（m﹣1）＝0（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 　 　 ． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 ． 【变式2】已知整式P＝x2﹣2（2x﹣x2）+1． （1）化简P； （2）若P的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【变式3】已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 过 关 验 收 1．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 2．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　） A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 3．将一元二次方程x2﹣4x+3＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7 4．一元二次方程x2+4x﹣3＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0时，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．把方程x2+2x﹣3＝0配方后，可变形为 　 　 ． 7．将一元二次方程x2﹣8x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k＝ 　 ． 8．解方程：x2+4x﹣8＝0． 9．解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 10．方程x2＝x的根为 　 　 ． 11．一元二次方程x2＝2x的解为 　 　 ． 12．定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　　 　 ． 13．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 14．用公式法解方程2x2+3x＝1，把原方程化为一般式，则a，b，c依次是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．﹣2，3，1 D．2，﹣3，﹣1 15．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 16．当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 17．解方程x2＝3x+2时，小海同学解答如下： 解：原方程中，a＝1，b＝3，c＝2．第一步 b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1．第二步 ，第三步 即x1＝﹣1或x2＝﹣2．第四步 所以，原方程的根是x1＝﹣1，x2＝﹣2．第五步 （1）上述解题过程从第　　 步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 18．已知关于x的方程x2﹣x+a＝0． （1）若a＝0，求方程的根； （2）若a＝﹣6，求方程的根． 19．下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2﹣x+2＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2+4＝0 20．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 21．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝2x B．x2+x＝﹣2 C．（x﹣2）2+1＝0 D．x2﹣2＝0 22．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 23．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0只有一个实数根，则m等于（　　） A．1或﹣6 B．﹣6 C．1 D．2 24．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 学科网（北京）股份有限公司 $