专题 2.2（2） 一元二次方程的解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的因式分解法，先回顾一元二次方程定义、提公因式与公式法等因式分解方法及“乘积为0则因式为0”原理，再系统梳理因式分解法的定义、降次转化本质、适用条件和四步解题步骤，构建从基础到方法的学习支架。 资料亮点在于分层设计题型，夯实基础涵盖提公因式、十字相乘等具体方法，综合提升结合等腰三角形周长、函数交点等真实情境，培养数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言（模型意识）。课中助力教师分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.2（2） 一元二次方程的解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】因式分解法 2 【知识点三】因式分解法解题步骤 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 2 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 4 【题型 3】先整理再因式分解解方程 5 三.题型精析（综合提升） 8 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 8 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 11 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 15 四.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 一.知识梳理与解读 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为：。 2. 常用因式分解方法 因式分解：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，是因式分解法解方程的基础，常用两种方法： （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式；完全平方公式 3. 核心数学原理 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即：若，则或。 这是因式分解法解方程的核心依据，通过该原理可将二次方程“降次”为两个一元一次方程，实现简化求解。 【知识点二】因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用“乘积为0则因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求出方程解的方法，叫做因式分解法。 本质：降次转化，将未知的二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，是解一元二次方程最简便、最快捷的方法之一。 适用条件：方程整理为一般形式后，左边多项式可快速因式分解，右边为0。 【知识点三】因式分解法解题步骤 1：移项化0 —将方程所有项移到左边，使方程右边为0，整理成标准整式方程形式。 2：因式分解—对左边的多项式进行因式分解，分解为两个一次因式相乘的形式：。 3：降次列方程—根据乘积为0的原理，转化为两个一元一次方程：或。 4：求解得根—分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 【例题1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可． 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 【变式3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 解：， ， ， ∴或， ∴． 易错提醒：切勿直接两边同时除以，会丢失这个根！ 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 【例题2】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解：（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 【变式1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）方程的解是 _____． 【答案】， 解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程 （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 解：（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 【题型 3】先整理再因式分解解方程 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3），； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 解：（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 【答案】10 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，即为长方形相邻两边的长度，再根据长方形周长公式计算即可得到结果． 解： 因式分解得 解得 即长方形相邻两边的长分别为和 长方形周长为 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力：用因式分解法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再利用平方差公式进行因式分解，从而求得方程的解． 解：（1）解：， ， ，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 【例题4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； （2）的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 解：（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根；（2） 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 解：（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 【例题5】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1），；（2）；或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，令求出点D的坐标，结合一次函数和反比例函数的性质求出时x的取值范围． 解：（1）解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为； 一次函数过点A，C，点A的坐标为，点C的坐标为， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 令， 解得：，， ， 当时，自变量x的取值范围是或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 【变式2】（2024·浙江台州·三模）如图，反比例函数与一次函数（k是常数，）的图象交于A，B两点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，先解方程组，求出，坐标，再结合图象得出结论．关键是直线与双曲线的交点，坐标． 解：联立方程组， 整理得：， 解得，， ∴，， ∴时，x的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图一次函数与反比例函数在第一象限交于两点，垂直轴于点，为坐标原点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， （1）设，则，根据一次函数的图象经过点，求得，代入可得到反比例函数的解析式； （2）联立得出，设直线与轴的交点坐标为，进而求得点的坐标为，然后根据即可求解． 解：（1）解：设，则， ，， 一次函数的图象经过点， ，解得， ， 把代入反比例函数得：， 答：反比例函数解析式为； （2）解：由，解得或， ； 设直线与轴的交点坐标为，则， 解得： 点的坐标为 答：的面积为10 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】 解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可． 解：将点代入正比例函数，得：， 代入一次函数，得，解得：， ，， ， 解得：或3， 故选：C． 【变式2】（2024·云南·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 解：， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 【变式3】（2024·山东枣庄·模拟预测）解分式方程：． 【答案】 解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 解：∵， ∴或， 解得或． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）方程的解为（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程—因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．先移项，然后利用提公因式法分解因式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·云南保山·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程得到，，则菱形的两对角线长分别为8和2，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键． 解：， ， 或， 解得，， 即菱形的两对角线长分别为8和2， 所以菱形的面积． 故选：． 5．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可． 解：根据题意得， 解得， 方程化为， 把代入得， 解得， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选D． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程，得出，然后根据象限内点的坐标特点进行判断即可． 解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴为， ∴在第二象限． 8．（2022·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 9．（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得，设，则，，利用勾股定理列方程求得，可得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，， 设，则， ∴， 在中，， 解得，（舍）， ∴，， 设，则，， 在中，， 解得， 故选：C． 【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解一元二次方程及一元一次方程，利用勾股定理列方程是解题的关键． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）方程的根是__________． 【答案】， 解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的方程的解是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分式方程的解是，__________． 【答案】2 【分析】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地求解．先变分式方程为整式方程，再求解、检验． 解：两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得，， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的解； 当时，最简公分母， 是原方程的解， 原方程的解是，， 故答案为：2． 15．（2024·江西九江·二模）若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】此题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含义先求解，再解方程即可． 解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， 解得：，； 故答案为： 16．（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）若实数k，b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过第________象限． 【答案】一 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图象，根据一元二次方程的解法求出k，b的值，由一次函数的图象即可求得． 解：∵， ∴，或者， ∵实数k，b是一元二次方程的两个根，且， ∴,， ∴一次函数表达式为， ∵一次函数中，自变量系数小于0，常数项小于0， ∴一次函数不经过第一象限． 故答案为：一． 17．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，为四边形的对角线，E是的中点，，，，连接交于点F．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是先证明，得出，，证明，设，则，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式得出，求出x的值即可． 解：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 解：（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）解方程： （1） （2）． 【答案】（1），；（2） 解：（1）解： 或 ∴，； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无实数根；（2）， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 解：（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 23．（本小题满分10分）（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值． （1）把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标； （2）作点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得． 解：（1）解：把点代入一次函数， 得， 解得， ∴， 点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的表达式, 两个函数解析式联立列方程组得， 解得或， ∴点B坐标． （2）解：作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小 则的最小值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… （1）按照你发现的规律，写出第5个等式： ． （2）若为正整数，，求的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 解：（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（2） 一元二次方程的解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】因式分解法 2 【知识点三】因式分解法解题步骤 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 2 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 3 【题型 3】先整理再因式分解解方程 3 三.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 4 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 4 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 6 四.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为：。 2. 常用因式分解方法 因式分解：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，是因式分解法解方程的基础，常用两种方法： （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式；完全平方公式 3. 核心数学原理 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即：若，则或。 这是因式分解法解方程的核心依据，通过该原理可将二次方程“降次”为两个一元一次方程，实现简化求解。 【知识点二】因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用“乘积为0则因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求出方程解的方法，叫做因式分解法。 本质：降次转化，将未知的二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，是解一元二次方程最简便、最快捷的方法之一。 适用条件：方程整理为一般形式后，左边多项式可快速因式分解，右边为0。 【知识点三】因式分解法解题步骤 1：移项化0 —将方程所有项移到左边，使方程右边为0，整理成标准整式方程形式。 2：因式分解—对左边的多项式进行因式分解，分解为两个一次因式相乘的形式：。 3：降次列方程—根据乘积为0的原理，转化为两个一元一次方程：或。 4：求解得根—分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 【例题1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）解一元二次方程：． 【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 易错提醒：切勿直接两边同时除以，会丢失这个根！ 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 【例题2】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： （1） （2） 【变式1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）方程的解是 _____． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程 （1） （2） 【题型 3】先整理再因式分解解方程 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力：用因式分解法解方程： （1）； （2）． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 【例题4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 【例题5】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【变式2】（2024·浙江台州·三模）如图，反比例函数与一次函数（k是常数，）的图象交于A，B两点，当时，x的取值范围是___________． 【变式3】（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图一次函数与反比例函数在第一象限交于两点，垂直轴于点，为坐标原点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（24-25八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 【变式2】（2024·云南·模拟预测）方程的解为________． 【变式3】（2024·山东枣庄·模拟预测）解分式方程：． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）方程的解为（    ） A． B．， C．， D．， 4．（25-26九年级上·云南保山·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 5．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（   ） A． B． C．2 D．4 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2022·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 9．（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 10．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）方程的根是__________． 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的方程的解是______________． 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知，则的值为________． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分式方程的解是，__________． 15．（2024·江西九江·二模）若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 16．（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）若实数k，b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过第________象限． 17．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，为四边形的对角线，E是的中点，，，，连接交于点F．若，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： （1）． （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）解方程： （1） （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期末）解方程： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… （1）按照你发现的规律，写出第5个等式： ． （2）若为正整数，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $