专题 3.7 扇形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学扇形专题，系统梳理弧长公式、扇形面积公式、扇环面积计算、圆锥与扇形关系及阴影面积解题方法。从基础公式推导（如弧长公式源于圆周长占比）到进阶应用（扇环面积差、圆锥侧面展开弧长=底面周长），再到综合解题方法（割补法、整体合并法），构建递进式学习支架。 资料亮点在于分层题型设计（基础入门到拔高拓展）与方法总结（如割补法转化不规则阴影），结合折扇、圆锥纸帽等实例培养数学眼光。通过逆向求值（圆锥展开图圆心角计算）发展数学思维，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 3.7 扇形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 2 【知识点三】扇环面积计算 2 【知识点四】圆锥与扇形的关系（重难点） 2 【知识点五】扇形阴影面积常用解题方法 3 二.题型精析 3 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 3 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 4 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 5 【题型 4】圆锥侧面积与全面积计算（中档·高频） 6 【题型 5】圆锥展开图逆向求值（拔高·应用） 7 【题型 6】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 8 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长计算公式： 【要点提示】 1. 公式中表示圆心角度数，无单位，为圆弧所在圆的半径； 2. 公式推导原理：整个圆周长对应圆心角，圆心角对应的弧长占圆周长的； 3. 已知弧长、圆心角、半径三个量中任意两个，可变形公式求解第三个量； 4. 半圆弧长：圆心角，弧长。 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形，叫做扇形。扇形是圆的一部分。 1. 角度式面积公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长式面积公式（已知弧长、半径）： 【要点提示】 1. 两个公式等价，已知圆心角优先用角度式，已知弧长优先用弧长式，计算更简便； 2. 扇形周长易错点：扇形周长弧长，必须包含两条半径，不可只算弧长； 3. 公式可类比三角形面积记忆：将弧长看作底，半径看作高，简化记忆； 4. 半圆面积：。 【知识点三】扇环面积计算 同一圆心、不同半径的两个扇形形成的环形扇形叫做扇环。设大圆半径为，小圆半径为，圆心角为，则扇环面积： 【要点提示】 1. 扇环面积本质为：大扇形面积减去小扇形面积； 2. 适用于所有同心扇形阴影计算，利用平方差公式可简化运算。 【知识点四】圆锥与扇形的关系（重难点） 1. 圆锥基本要素：底面为圆形，侧面为曲面；顶点到底面圆周任意一点的线段为母线（记为）；顶点到底面圆心的垂直距离为圆锥的高。 2. 侧面展开核心关系：圆锥侧面沿母线剪开铺平，展开图为扇形； 扇形半径 圆锥母线长，扇形弧长 圆锥底面圆周长。 3. 圆锥侧面积： 4. 圆锥全面积： 【要点提示】 1. 圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股定理：； 2. 圆锥计算核心等式：扇形弧长 = 底面圆周长，是求解圆心角、底面半径的关键； 3. 审题区分：侧面积仅计算曲面面积，全面积需要叠加底面圆面积。 【知识点五】扇形阴影面积常用解题方法 1. 和差法：将阴影面积转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差； 2. 割补法：通过平移、旋转、等积替换，将不规则零散阴影拼接为完整标准扇形； 3. 整体合并法：多个分散小扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解。 【要点提示】 1. 常利用三角形内角和、平行线性质、圆周角定理转化角度，简化计算； 2. 同圆中相等的弧、相等的圆心角对应扇形面积相等，可等量替换解题。 二.题型精析 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 核心考点：直接套用弧长公式，结合圆周角转化圆心角 【例题1】（2026·四川泸州·一模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，将绕点逆时针旋转90°后得到． （1）在网格中画出； （2）旋转过程中点运动的路径为，求的长． 【变式1】（24-25九年级下·山西·阶段检测）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在边长为2的等边中，以点O为圆心画弧，与边相切于点C，交于点D，交于点E，求的长． 方法总结：题目给出圆周角时，先转化为对应圆心角，再代入弧长公式计算。 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 核心考点：灵活选用扇形双公式，掌握扇环面积差计算 【例题2】（25-26六年级下·上海·期中）已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【变式2】（2025·黑龙江大庆·二模）扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______． 【变式3】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 方法总结：同心扇环面积直接用大扇形面积减小扇形面积，圆心角统一无需重复计算。 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 核心考点：等积变形，不规则图形转化为标准扇形 【例题3】（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【变式3】（2026·江苏淮安·二模）如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 方法总结：利用平行线等积替换，将不规则阴影转化为规则扇形，简化运算。 【题型 4】圆锥侧面积与全面积计算（中档·高频） 核心考点：圆锥基础面积公式的实际应用 【例题4】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） （1）求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）求该圆锥的表面积． 【变式1】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则此圆锥的全面积为___________ 【变式3】（2024·安徽亳州·二模）某几何体的三视图如图所示． （1）该几何体的名称是_______； （2）根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 方法总结：已知底面周长优先用弧长式求侧面积，全面积必须叠加底面圆面积。 【题型 5】圆锥展开图逆向求值（拔高·应用） 核心考点：利用扇形弧长与底面周长等量关系列方程 【例题5】（第二十四章投影、视图与展开图（基础过关）-2021-2022学年京改版九年级数学下册单元测试卷）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． （1）探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． （2）问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； （3）拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 方法总结：扇形围圆锥题型，核心等量关系为弧长等于底面周长，以此建立方程求解。 【题型 6】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆心角整体合并，扇形与三角形综合计算 【例题6】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F． （1）求证：平分；（2）若，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·重庆黔江·模拟预测）某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【变式3】（2026·广东广州·二模）如图所示，是等腰三角形，且，，在上取一点，使，以为圆心，为半径作圆， （1）猜想与的位置关系，并证明你的猜想； （2）已知， ①求扇形的面积（结果保留π） ②若把扇形 围成圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径长． 方法总结：分散的多个扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解单个扇形面积。 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川德阳·二模）把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 7．（2026·山西朔州·三模）如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 10．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 11．（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 12．（2024·四川广元·二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________． 13．（2026·江苏盐城·二模）已知圆锥的侧面积为，母线长为，则圆锥的底面半径是______． 14．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 15．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 18．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 19．（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 20．（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.7 扇形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 2 【知识点三】扇环面积计算 2 【知识点四】圆锥与扇形的关系（重难点） 2 【知识点五】扇形阴影面积常用解题方法 3 二.题型精析 3 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 3 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 6 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 8 【题型 4】圆锥侧面积与全面积计算（中档·高频） 12 【题型 5】圆锥展开图逆向求值（拔高·应用） 15 【题型 6】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 19 三.同步检测 24 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 24 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 29 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 33 一.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长计算公式： 【要点提示】 1. 公式中表示圆心角度数，无单位，为圆弧所在圆的半径； 2. 公式推导原理：整个圆周长对应圆心角，圆心角对应的弧长占圆周长的； 3. 已知弧长、圆心角、半径三个量中任意两个，可变形公式求解第三个量； 4. 半圆弧长：圆心角，弧长。 【知识点二】扇形定义及扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形，叫做扇形。扇形是圆的一部分。 1. 角度式面积公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长式面积公式（已知弧长、半径）： 【要点提示】 1. 两个公式等价，已知圆心角优先用角度式，已知弧长优先用弧长式，计算更简便； 2. 扇形周长易错点：扇形周长弧长，必须包含两条半径，不可只算弧长； 3. 公式可类比三角形面积记忆：将弧长看作底，半径看作高，简化记忆； 4. 半圆面积：。 【知识点三】扇环面积计算 同一圆心、不同半径的两个扇形形成的环形扇形叫做扇环。设大圆半径为，小圆半径为，圆心角为，则扇环面积： 【要点提示】 1. 扇环面积本质为：大扇形面积减去小扇形面积； 2. 适用于所有同心扇形阴影计算，利用平方差公式可简化运算。 【知识点四】圆锥与扇形的关系（重难点） 1. 圆锥基本要素：底面为圆形，侧面为曲面；顶点到底面圆周任意一点的线段为母线（记为）；顶点到底面圆心的垂直距离为圆锥的高。 2. 侧面展开核心关系：圆锥侧面沿母线剪开铺平，展开图为扇形； 扇形半径 圆锥母线长，扇形弧长 圆锥底面圆周长。 3. 圆锥侧面积： 4. 圆锥全面积： 【要点提示】 1. 圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股定理：； 2. 圆锥计算核心等式：扇形弧长 = 底面圆周长，是求解圆心角、底面半径的关键； 3. 审题区分：侧面积仅计算曲面面积，全面积需要叠加底面圆面积。 【知识点五】扇形阴影面积常用解题方法 1. 和差法：将阴影面积转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差； 2. 割补法：通过平移、旋转、等积替换，将不规则零散阴影拼接为完整标准扇形； 3. 整体合并法：多个分散小扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解。 【要点提示】 1. 常利用三角形内角和、平行线性质、圆周角定理转化角度，简化计算； 2. 同圆中相等的弧、相等的圆心角对应扇形面积相等，可等量替换解题。 二.题型精析 【题型 1】弧长公式基础计算（基础·入门） 核心考点：直接套用弧长公式，结合圆周角转化圆心角 【例题1】（2026·四川泸州·一模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，将绕点逆时针旋转90°后得到． （1）在网格中画出； （2）旋转过程中点运动的路径为，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出，再利用弧长公式计算即可． 解：（1）如图所示； （2）由勾股定理，得， ∴的长， 即的长为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，弧长的计算，掌握旋转性质及弧长计算公式是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·山西·阶段检测）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：的长． 【变式2】（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 解：∵，， ∴的长为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在边长为2的等边中，以点O为圆心画弧，与边相切于点C，交于点D，交于点E，求的长． 【答案】 【分析】如图，连接 为切线，则再结合等边三角形的性质证明再求解半径，利用弧长公式即可得到答案． 解：如图，连接 为切线，则 ∵等边 边长为2， ∴ ∴的长为： 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质，弧长的计算，求解圆的半径与弧所对的圆心角是解本题的关键． 方法总结：题目给出圆周角时，先转化为对应圆心角，再代入弧长公式计算。 【题型 2】扇形、扇环面积基础计算（基础·进阶） 核心考点：灵活选用扇形双公式，掌握扇环面积差计算 【例题2】（25-26六年级下·上海·期中）已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 【答案】 解：设，， ，， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 解：由题意可得：， ∴扇形的半径为2， 故选：A． 【点拨】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·二模）扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积也可以． 解：设扇形圆心角度数为，则， 解得， 扇形的面积为， 故答案为：． 【变式3】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 方法总结：同心扇环面积直接用大扇形面积减小扇形面积，圆心角统一无需重复计算。 【题型 3】割补法求不规则阴影面积（中档·必考） 核心考点：等积变形，不规则图形转化为标准扇形 【例题3】（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； （2） 【分析】（1）先证为等边三角形，进而得到即可证明； （2）分别求出、扇形的面积，再由求解． 解：（1）略 （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 【变式1】（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是半圆O的直径，所以，与等底等高，即面积相等，所以求阴影部分的面积转换为求扇形的面积，因为与是劣弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理得，是的邻补角，求出，即扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式，即可求出． 解：是半圆O的直径， ， 与等底等高，面积相等， ， 与是劣弧所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 【变式3】（2026·江苏淮安·二模）如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2） 【分析】（1）如图：连接，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可证明，易得，再利用切线的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过作与F，则，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到；再说明，最后根据求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵为的直径，， ∴， 如图：连接，过作与F，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 方法总结：利用平行线等积替换，将不规则阴影转化为规则扇形，简化运算。 【题型 4】圆锥侧面积与全面积计算（中档·高频） 核心考点：圆锥基础面积公式的实际应用 【例题4】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） （1）求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）求该圆锥的表面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式、圆锥的侧面积和底面积公式．解决本题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长公式、圆锥底面圆的周长公式、圆锥侧面和底面的面积公式． （1）根据圆锥侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程求出的值就是圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）由（1）可知该圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据扇形的面积公式可以求出圆锥的侧面积，根据圆锥底面圆的直径是，求出圆锥底面圆的面积，这两个面积之和就是圆锥的表面积． 解：（1）解：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径， 设扇形圆心角为，则， 解得， 该圆锥的侧面展开图的圆心角为； （2）解：圆锥的底面积为：， 圆锥的侧面积为：， ． 该圆锥的表面积为． 【变式1】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 【变式2】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则此圆锥的全面积为___________ 【答案】 【分析】先利用三角函数计算出底面半径，再利用勾股定理或三角函数计算出母线长，最后根据圆锥全面积公式求解． 解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为 由题意可知，， 在中， ， ， 圆锥的侧面积，圆锥的底面积 圆锥的全面积． 【变式3】（2024·安徽亳州·二模）某几何体的三视图如图所示． （1）该几何体的名称是_______； （2）根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 【答案】（1）圆锥；（2） 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积，正确识别图形，熟记公式是解题的关键． （1）根据几何体三视图即可得出结论； （2）代入圆锥侧面积公式即可， ． 解：（1）解：由三视图可知，原几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． （2）解：根据图中数据知，圆锥的底面半径为4，高为6， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为． 方法总结：已知底面周长优先用弧长式求侧面积，全面积必须叠加底面圆面积。 【题型 5】圆锥展开图逆向求值（拔高·应用） 核心考点：利用扇形弧长与底面周长等量关系列方程 【例题5】（第二十四章投影、视图与展开图（基础过关）-2021-2022学年京改版九年级数学下册单元测试卷）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 【答案】120° 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 解：∵圆锥的底面半径为1， ∴圆锥的底面周长为2π， ∵圆锥的高是， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得：． 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 【点拨】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．理解题意，将扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解是解题关键． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 【变式2】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】/3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． （1）探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． （2）问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； （3）拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】（1）相等；；（2）（3）解：够长，如图所示，过点作于点， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ，是中点， ， 在中，，，    在中，       的彩带够长． 【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出和之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）过点作于点，构造和，解两个直角三角形，求出和11比较大小即可． 解：（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等， 解得， 故答案为：相等，9； （2）解：底面周长，扇形的弧长， ， ； （3）略 方法总结：扇形围圆锥题型，核心等量关系为弧长等于底面周长，以此建立方程求解。 【题型 6】扇形几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆心角整体合并，扇形与三角形综合计算 【例题6】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 与相切于点D， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 平分 （2） 【分析】（1）根据圆的切线的性质可得，可进一步证明，再根据平行线的性质及等腰三角形的性质，即可证明结论； （2）设与交于M，连接，先求出，，得到，进一步求得，，即可根据求解． 解：（1）略 （2）解：设与交于M，连接， 是的直径， ， ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ，， ． 【变式1】（2026·重庆黔江·模拟预测）某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 【变式2】（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 解：∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 【变式3】（2026·广东广州·二模）如图所示，是等腰三角形，且，，在上取一点，使，以为圆心，为半径作圆， （1）猜想与的位置关系，并证明你的猜想； （2）已知， ①求扇形的面积（结果保留π） ②若把扇形 围成圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径长． 【答案】（1）解：与相切，证明如下： ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）①；② 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再结合，可求得，即可得结论； （2）①在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，进一步求解面积； ②先求解弧的弧长，再求圆锥的底面圆半径． 解：（1）略 （2）解：①在中，，， 则，， ∴，， ∴扇形的面积为； ②∵，， ∴弧的弧长为：， 设底面圆半径为：r， 则， 解得：． 方法总结：分散的多个扇形，可合并圆心角整体计算，无需单独求解单个扇形面积。 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 5．（2026·四川德阳·二模）把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 6．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 7．（2026·山西朔州·三模）如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，旋转角为，利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形面积与三角形面积的差进行求解． 解：是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ∴， 阴影部分的面积． 8．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 10．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 11．（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 12．（2024·四川广元·二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解． 解：如图所示，连接，交于点， ∵将扇形折叠，点落在弧的中点处， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 13．（2026·江苏盐城·二模）已知圆锥的侧面积为，母线长为，则圆锥的底面半径是______． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积公式，代入已知数据即可求解． 解：圆锥侧面积公式为，已知，母线长， ， 解得：． 14．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】/90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 15．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再分别求出扇形面积和扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形面积即可求得阴影部分的面积． 解：，弧长公式为，， 在扇形中有， ， ，，， ， ，， ， ． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论； （2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论． 解：（1）解：连接，，，   四边形内接于，， ， ， 的长为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 18．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ， 垂直平分 为平行四边形 是圆的半径， 为圆的切线 （2） 【分析】（1）连接并延长，交于点，根据，得出垂直平分，根据平行四边形的形状可得，即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 解：（1）略 （2）解：连接，连接， 为平行四边形 19．（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用菱形的性质得到，过点作于点，结合，通过特殊角的三角函数值求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值； （2）根据图形关系，用菱形的面积减去扇形的面积，计算得到阴影部分的面积． 解：（1）解：如图，过点作于点． 四边形是菱形， ， 在中，， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题图可得，． 20．（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明：如图：连接，    ∵O是的中点，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且是的半径， ∴是的切线． （2）2 （3） 【分析】（1）连接，根据中位线的性质可得、进而得到，然后再证，继而得到，即可证明结论； （2）先证，可得，即，可求得，进而确定圆的半径； （3）设交于点F，由（2），得，进而得到为等边三角形，接着利用勾股定理求得，然后求得，，再根据即可解答． 解：（1）略 （2）解：如图：连接， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴的半径为2． （3）解：设交于点F，由（2），得， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $