3.4 圆周角 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆周角”核心知识点，系统梳理圆周角定义、定理及推论（含直径对直角等），并延伸至圆内接四边形性质，构建从概念理解到定理应用的学习支架，助力学生逐步掌握相关知识脉络。 该资料以题型分类为特色，通过典例与变式题结合，强化圆周角定理及圆内接四边形性质的应用，如利用直径构造直角圆周角培养几何直观，多角度变式题提升推理意识，过关验收题融入实际情境增强应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

3.4 圆周角 内 容 导 航 题型1 圆周角定理 题型2 圆内接四边形的性质 考 点 演 练 题型1 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝54°，则∠CBA的大小为（　　） A．46° B．36° C．42° D．49° 【变式1】如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点．记弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β．若α+β＝180°，正确的是（　　） ①∠A+∠C＝90°； ②若β＝2α，则； ③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD； ④AB2+CD2＝4OC2． A．①② B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【变式2】如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC是（　　） A．50° B．40° C．70° D．30° 【变式3】如图，若AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠DCB＝24°，∠CDB＝40°，则∠AEC＝（　　） A．96° B．76° C．64° D．74° 题型2 圆内接四边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，则所对圆心角为（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝50°，则∠B的度数是（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【变式3】如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 过 关 验 收 1．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BCD＝（　　） A．65° B．70° C．50° D．45° 2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 3．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝57°，则∠ABC的度数为（　　） A．33° B．57° C．66° D．90° 4．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 5．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．4 6．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 7．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 8．如图，点A，B，C在⊙O中，若∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　） A．30° B．35° C．50° D．55° 9．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（　　） A．115° B．70° C．120° D．110° 10．如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点．记弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β，若α+β＝180°，下列结论：①∠A+∠C＝90°；②若β＝2α，则；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2＝4OC2．其中正确的是　 　 ．（填序号） 11．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝45°，则∠AOB＝　 　 ． 12．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD＝　 　 ． 13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC且AC＝10，点D在BC上，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． （1）求⊙O的半径； （2）点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°，求证： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直径． 16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且劣弧劣弧，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（　　） A．65° B．105° C．115° D．125° 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC等于 　 　 度． 18．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝45°，则∠D的度数为 　 　 ． 19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　 　 °． 20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　 °． 21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠ABC＝140°，则∠BEC的度数为　 　 ． 22．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 　　 　 ． 23．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝4：2：1，∠D的度数是　 　 ． 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，． （1）求∠ADB的度数． （2）若AB＝2，，求AD的长度． 25．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE．求证：AB＝AC． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE． （1）求证DB＝DE； （2）延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为 　　 °． 27．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC； （2）若点F在上，且∠F＝118°，求∠ADC的度数． 28．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD （1）求证：AB＝CD； （2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论． 29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BCD＝100°，求∠ABD的度数． 30．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，当∠E＝36°，∠F＝44°，求∠A的度数（要解题过程）． 31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度． 32．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，如果∠BOD＝118°，请求出∠DAE的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角 内 容 导 航 题型1 圆周角定理 题型2 圆内接四边形的性质 考 点 演 练 题型1 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝54°，则∠CBA的大小为（　　） A．46° B．36° C．42° D．49° 【答案】B 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝54°， ∴∠CDB＝∠A＝54°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝36°， 故选：B． 【变式1】如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点．记弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β．若α+β＝180°，正确的是（　　） ①∠A+∠C＝90°； ②若β＝2α，则； ③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD； ④AB2+CD2＝4OC2． A．①② B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC， ①∵α+β＝180°，∠COF+β＝180°， ∴∠COF＝α，即∠COF＝∠AOB， 由题意可得，OA＝OB＝OC＝OF， 在△FOC和△AOB中， ， ∴△FOC≌△AOB（SAS）， ∴∠A＝∠FCO， ∵FD为直径， ∴∠FCD＝90°，即∠FCO+∠OCD＝90°， ∴∠A+∠C＝90°，故①正确； ②∵β＝2α，α+β＝180°， ∴2α+α＝180°， ∴α＝60°， ∴△AOB是等边三角形，即△OFC是等边三角形，AB＝OF＝FC＝OD， ∴CD，故②正确； ③∵B为弧AD的中点， ∴∠AOB＝∠BOD＝α， 假设OA⊥CD， ∵△COD为等腰三角形， ∴∠COA＝∠AOD＝2α， ∵∠COF+∠COA+∠AOD＝180°，即5α＝180°， ∴α＝36°， ∴只有α＝36°时才成立，故③不一定正确； ④由上述可知， FC＝AB，OC＝OF＝OD， 在Rt△FCD中，由勾股定理得FC2+CD2＝（OF+OD）2， 即AB2+CD2＝4OC2，故④正确． 故选：D． 【变式2】如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC是（　　） A．50° B．40° C．70° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝40°， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°， 故选：B． 【变式3】如图，若AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠DCB＝24°，∠CDB＝40°，则∠AEC＝（　　） A．96° B．76° C．64° D．74° 【答案】D 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDB＝40°， ∴∠ADC＝50°， ∵∠A＝∠DCB＝24°， ∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝74°． 故选：D． 题型2 圆内接四边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，则所对圆心角为（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 【答案】D 【解答】解：如图，连接OD，OC． ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣58°＝122°， ∵∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣122°﹣40°＝18°， ∴∠DOC＝2∠CAD＝36°， 故选：D． 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】C 【解答】解：由条件可知，∠BCD+∠A＝180°， 又∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝65°， 故选：C． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝50°，则∠B的度数是（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】D 【解答】解：根据圆的内接四边形对角互补可知：∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°， 故选：D． 【变式3】如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 【答案】C 【解答】解：由圆周角定理得，∠A∠BOD150°＝75°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°， 故选：C． 过 关 验 收 1．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BCD＝（　　） A．65° B．70° C．50° D．45° 【答案】A 【解答】解：连接OE， 由题意得：∠AOE＝50°， ∴∠ACE∠AOE＝25°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACE＝65°， 故选：A． 2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 【答案】B 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣55°＝35°， ∵∠BDC+∠A＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣35°＝145°． 故选：B． 3．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝57°，则∠ABC的度数为（　　） A．33° B．57° C．66° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠CDB＝57°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝33°． 故选：A． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∠CAB+∠B＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝50°， ∠ADC＝∠B＝50°， 故选：B． 5．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∵CD＝2， ∴AC＝2CD＝4， ∴AD2． 故选：C． 6．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解：如图， 在优弧上取一点M，连接AM，CM， 则， 四边形ABCM是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AMC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠AMC＝115°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝65°． 故选：B． 7．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 8．如图，点A，B，C在⊙O中，若∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　） A．30° B．35° C．50° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝110°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO（180°﹣110°）＝35°． 故选：B． 9．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（　　） A．115° B．70° C．120° D．110° 【答案】D 【解答】解：如图2，连接AC， ∵PC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝90°， ∴∠APC+∠C＝90°， ∵∠APC＝20°， ∴∠C＝70°， ∴∠ABP＝∠C＝70°， ∴∠PBM＝180°﹣∠ABP＝110°， 故选：D． 10．如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点．记弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β，若α+β＝180°，下列结论：①∠A+∠C＝90°；②若β＝2α，则；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2＝4OC2．其中正确的是　 　 ．（填序号） 【答案】①②④． 【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC， ①∵α+β＝180°，∠COF+β＝180°， ∴∠COF＝α，即∠COF＝∠AOB， 由题意可得，OA＝OB＝OC＝OF， 在△FOC和△AOB中， ， ∴△FOC≌△AOB（SAS）， ∴∠A＝∠FCO， ∵FD为直径， ∴∠FCD＝90°，即∠FCO+∠OCD＝90°， ∴∠A+∠C＝90°，故①正确； ②∵β＝2α，α+β＝180°， ∴2α+α＝180°， ∴α＝60°， ∴△AOB是等边三角形，即△OFC是等边三角形，AB＝OF＝FC＝OD， ∴CDAB，故②正确； ③∵B为弧AD的中点， ∴∠AOB＝∠BOD＝α， 假设OA⊥CD， ∵△COD为等腰三角形， ∴∠COA＝∠AOD＝2α， ∵∠COF+∠COA+∠AOD＝180°，即5α＝180°， ∴α＝36°， ∴只有α＝36°时才成立，故③不一定正确； ④由上述可知， FC＝AB，OC＝OF＝OD， 在Rt△FCD中，由勾股定理得FC2+CD2＝（OF+OD）2， 即AB2+CD2＝4OC2，故④正确． 故答案为：①②④． 11．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝45°，则∠AOB＝　 　 ． 【答案】90°． 【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°． 故答案为：90°． 12．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD＝　 　 ． 【答案】55°． 【解答】解：连接OD， 则∠BOD＝110°， ∵∠ACB＝90°， ∴C点在⊙O上， ∴∠BCD∠BOD＝55°． 故答案为：55°． 13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC且AC＝10，点D在BC上，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为　 　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T， ∵， ∴OQ⊥PD， ∴∠QOD＝90°， ∴∠QCD∠QOD＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACT＝45°， ∵AT⊥CT， ∴∠ATC＝90°， ∵AC＝10， ∴AT5， ∵AQ≥AT， ∴AQ≥5， ∴AQ的最小值为：5， 故答案为：5． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． （1）求⊙O的半径； （2）点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）作OH⊥AB于H． 在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2BC＝2， ∵OH⊥AB， ∴AH＝HB＝1， ∴OA＝AH÷cos30°． （2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H． ∵， ∴OP⊥AB， ∴∠AHO＝90°， ∵∠OAH＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OP， ∴△AOP是等边三角形， ∵PQ⊥OA， ∴OQ＝QAOA． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°，求证： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直径． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连接BD，如图， ∵∠1＝∠ACB＝25°， 而∠ABC＝50°， ∴∠2＝50°﹣25°， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AD＝CD； （2）∵∠BAD＝65°，∠1＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣∠1﹣∠BAD＝90°， ∴AB为⊙O的直径． 16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且劣弧劣弧，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（　　） A．65° B．105° C．115° D．125° 【答案】C 【解答】解：∵劣弧劣弧，∠ABD＝65°， ∴∠A＝∠ABD＝65°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝115°． 故选：C． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC等于 　 　 度． 【答案】130 【解答】解：∵BE∥AD，∠BEC＝50°， ∴∠D＝∠BEC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 18．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝45°，则∠D的度数为 　 　 ． 【答案】135° 【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B＝45°， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：135°． 19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　 　 °． 【答案】140． 【解答】解：∵∠BOD＝80°， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝140°． 故答案为：140． 20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　 °． 【答案】130 【解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴∠A＝50°． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130． 21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠ABC＝140°，则∠BEC的度数为　 　 ． 【答案】40° 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣140°＝40°， ∵BE∥AD， ∴∠BEC＝∠D＝40°， 故答案为：40°． 22．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 　　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠A＝180°， ∵∠C＝135°， ∴∠A＝45°， 又AB⊥BD， ∴∠ADB＝∠A＝45°， ∴DB＝AB， ∵点A的坐标为（0，3）， ∴BD＝AB＝3， ∴AD3． ∵AB⊥BD， ∴线段为圆的直径， ∴圆的直径为3． 故答案为：3． 23．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝4：2：1，∠D的度数是　 　 ． 【答案】108°． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°， ∵∠A：∠B：∠C＝4：2：1， ∴，，∠B＝2×36°＝72°， ∴∠D＝180°﹣72°＝108°， 故答案为：108°． 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，． （1）求∠ADB的度数． （2）若AB＝2，，求AD的长度． 【答案】（1）45°； （2）． 【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°； （2）∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵， ∴AB＝BC＝2， ∴AC2， ∴AD． 25．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE．求证：AB＝AC． 【答案】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AD平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AD平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE． （1）求证DB＝DE； （2）延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为 　　 °． 【答案】（1）见解析； （2）38． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠C＝180°， ∵∠BED+∠AED＝180°， ∴∠BED＝∠C， ∴∠BED＝∠B， ∴DB＝DE； （2）解：如图， ∵∠BDE＝∠CDP， ∴180°﹣∠BDE＝180°﹣∠CDP， ∴∠B+∠BED＝∠DCP+∠P， ∵∠BED＝∠B，∠DCP＝180°﹣∠ACB＝180°﹣∠B，∠P＝33°， ∴2∠B＝180°﹣∠B+33°， ∴∠B＝71°， ∴∠A＝180°﹣71°﹣71°＝38°， 故答案为：38． 27．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC； （2）若点F在上，且∠F＝118°，求∠ADC的度数． 【答案】（1）∵AD平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB＝∠ACB， 由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）121°． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB＝∠ACB， 由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：∵四边形BFCD为⊙O内接四边形， ∴∠BDC＝180°﹣∠F＝180°﹣118°＝62°， ∴∠BDE＝118°， ∴， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝121°． 28．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD （1）求证：AB＝CD； （2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， 则， ∴AB＝CD； （2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H， ∵弧BD的度数为120°， ∴∠BOD＝120°， ∴∠BOH＝60°， 则BHOB＝4， ∴BD＝8， 则四边形ABCD的面积AC×BD＝96； （3）AD＝2OM， 连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2， ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE， ∵∠BOC＝2∠BAC， 而∠BOC＝2∠BOM， ∴∠BOM＝∠BAC， 同理可得∠AOE＝∠ABD， ∵BD⊥AC， ∴∠BAC+∠ABD＝90°， ∴∠BOM+∠AOE＝90°， ∵∠BOM+∠OBM＝90°， ∴∠OBM＝∠AOE， 在△BOM和△OAE中， ， ∴△BOM≌△OAE， ∴OM＝AE， ∴AD＝2OM． 29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BCD＝100°，求∠ABD的度数． 【答案】10°． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣80°＝10°． 30．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，当∠E＝36°，∠F＝44°，求∠A的度数（要解题过程）． 【答案】50°． 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠A+∠DCB＝180°， 又∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠ECD＝∠A， ∵∠ECD＝∠CEF+∠CFE， ∴∠A＝∠CEF+∠CFE， ∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°， 即∠A+∠CEF+∠CFE+∠AEB+∠AFD＝180°， ∴2∠A+36°+44°＝180°， ∴． 31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度． 【答案】（1）△ABC为等腰直角三角形，理由见解析． （2）3． 【解答】解：（1）△ABC为等腰直角三角形， 理由如下：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CAB＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形； （2）∵AB＝CB，BC＝5， ∴AB＝CB＝5， 在Rt△ABC中， AC10， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴CD3． 32．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，如果∠BOD＝118°，请求出∠DAE的度数． 【答案】59°． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BOD＝118°， ∴， 又∵∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠DAE＝∠BCD＝59°． 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