3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理 教学设计 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦切线长定理，通过旧知复习直线与圆相切的定义、性质及过圆上一点作切线的方法，自然过渡到过圆外一点作切线的尺规作图，引出切线长定义，构建知识衔接支架。 特色在于注重概念辨析（切线与切线长的区别），通过尺规作图原理探究和定理证明培养几何直观与推理意识，例题从基础计算到圆外切四边形性质综合应用，结合中考真题提升应用意识，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理 【学习目标】 1、理解并掌握过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法，理解作图原理； 2、理解切线长的定义，掌握切线长定理，并能运用切线长定理进行有关的计算与证明． 【学习重点】掌握切线长定理，并能运用切线长定理进行有关的计算与证明. 【学习难点】综合运用切线长定理解决实际问题进行有关的计算与证明. 【学习过程】 一、旧知复习： 1、什么叫作直线与圆相切？圆的切线有什么性质？怎样判定一条直线是圆的切线？ 2、如图，点P是⊙O上一点，怎样过点P作⊙O的切线？ 二、新课讲解： 1、提出问题：如果点P不在⊙O上，而是⊙O外一点，怎样过点P作⊙O的切线？ 2、概念讲解：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of the tangent）． 注意：切线是一条直线，不可度量． 切线长是圆外一点与切点间的线段的长，可度量． 3、讨论：上面尺规作图过程中的图形是轴对称图形吗？其中有哪些相等的线段？ 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B． 求证：PA＝PB． 4、得出结论： 于是，我们得到切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等． 符号语言： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ PA＝PB． 三、例题讲解： 1、讲解例5(书本第96页例5) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC． 2、讨论：在上图中，如果连接DE，BC，那么DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 3、尝试练习： (1)(书本第96页练习第1题)如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．已知 AB＝5，AC＝3．求BD的长． (2)(书本第96页练习第2题)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为 A，B，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？ 4、补讲例题： (1)(书本第100页习题第12题)如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H． AB， BC，CD，DA 之间有怎样的数量关系？为什么？ 由此我们可以得到：圆外切四边形两组对边之和 ，即：AB＋CD＝ ＋ ． (2)在的基础上，请你继续思考： ①圆的外切平行四边形是 形； ②圆的外切矩形是 形； ③若AB︰BC︰CD︰DA＝1︰3︰4︰x，且四边形ABCD的周长为20cm，则x＝ ，AD＝ ． (3)（2024秋•四平期末）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： ①△PCD的周长； ②若∠P＝50°，求∠COD的度数． 5、尝试练习：如图，AE、AD、BC、GH切⊙O于E、D、F、P点， （1）若AE＝10，则△ABC的周长等于 ； （2）若△ABC的周长等于18，则AE＝ ； （3）若AE＝a，则△ABC的周长等于 ； （4）试说明：△ABC的周长＝AG＋AH－GH. （5）若连结BO、CO，且∠BOC＝80°，则∠A＝ .（∠BOC与∠A有怎样的关系？） 四、课堂作业： 1．（2025秋•富顺县期末）如图，AB、CD分别与半圆⊙O切于点A，D，BC切⊙O 于点E．若AB＝4，CD＝9，则⊙O的半径为（　　） A．12 B． C．6 D．5 2．（2025秋•亭湖区期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP． 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理(答案) 【学习目标】 1、理解并掌握过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法，理解作图原理； 2、理解切线长的定义，掌握切线长定理，并能运用切线长定理进行有关的计算与证明． 【学习重点】掌握切线长定理，并能运用切线长定理进行有关的计算与证明. 【学习难点】综合运用切线长定理解决实际问题进行有关的计算与证明. 【学习过程】 一、旧知复习： 1、什么叫作直线与圆相切？圆的切线有什么性质？怎样判定一条直线是圆的切线？ 2、如图，点P是⊙O上一点，怎样过点P作⊙O的切线？ 二、新课讲解： 1、提出问题：如果点P不在⊙O上，而是⊙O外一点，怎样过点P作⊙O的切线？ 2、概念讲解：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of the tangent）． 注意：切线是一条直线，不可度量． 切线长是圆外一点与切点间的线段的长，可度量． 3、讨论：上面尺规作图过程中的图形是轴对称图形吗？其中有哪些相等的线段？ 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B． 求证：PA＝PB． 证明：连接 OA，OB，OP． ∵ PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴ PA⊥OA，PB⊥OB． 在Rt△POA和Rt△POB 中，∵ ，∴△POA≌△POB（HL）． ∴ PA＝PB． 4、得出结论： 于是，我们得到切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等． 符号语言： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ PA＝PB． 三、例题讲解： 1、讲解例5(书本第96页例5) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC． 证明：连接OD，OE． ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E， ∴ AD＝AE（切线长定理）， AB⊥OD，AC⊥OE． ∴ AB＝2AD，AC＝2AE． ∴ AB＝AC． 2、讨论：在上图中，如果连接DE，BC，那么DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 解：DE∥BC且DE＝BC，理由如下： 由例题可知：点D，E分别是AB，AC的中点． ∴ DE是△ABC的中位线． ∴ DE∥BC且DE＝BC ． 3、尝试练习： (1)(书本第96页练习第1题)如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．已知 AB＝5，AC＝3．求BD的长． 解：∵ AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别P，C，D，AC＝3， ∴ AP＝AC＝3，BD＝BP． ∵ AP＋BP＝AB＝5， ∴ BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2． (2)(书本第96页练习第2题)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为 A，B，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？ 解：(1)图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP． (2)图中相等的角： ∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE， ∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE． (3)图中所有的相等的线段：PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB． (4)图中所有的全等三角形：△AOP≌△BOP， △AOE≌△BOE， △AEP≌△BEP． (5)图中所有的等腰三角形：△ABP ，△AOB． 4、补讲例题： (1)(书本第100页习题第12题)如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H． AB， BC，CD，DA 之间有怎样的数量关系？为什么？ 证明：∵ AB，BC，CD，DA 与⊙O分别相切于点E，F，G，H， ∴ AE＝AH，BE＝BF，CG＝CF，DG＝DH． ∴ AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH． 即： AB＋CD＝AD＋BC． 由此我们可以得到：圆外切四边形两组对边之和相等，即：AB＋CD＝AD＋BC． (2)在的基础上，请你继续思考： ①圆的外切平行四边形是 菱 形； ②圆的外切矩形是 正方 形； ③若AB︰BC︰CD︰DA＝1︰3︰4︰x，且四边形ABCD的周长为20cm，则x＝ 2 ，AD＝ 4cm ． (3)（2024秋•四平期末）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： ①△PCD的周长； ②若∠P＝50°，求∠COD的度数． 解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC； ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12； （2）连接OE，如图所示： 由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD， ∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°， 由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB130°＝65°． 5、尝试练习：如图，AE、AD、BC、GH切⊙O于E、D、F、P点， （1）若AE＝10，则△ABC的周长等于 20 ； （2）若△ABC的周长等于18，则AE＝ 9 ； （3）若AE＝a，则△ABC的周长等于 2a ； （4）试说明：△ABC的周长＝AG＋AH－GH. （5）若连结BO、CO，且∠BOC＝80°，则∠A＝ 20° .（∠BOC与∠A有怎样的关系？） (4)证明：∵AE、AD、BC、GH切⊙O于E、D、F、P点， ∴ AE=AD，GE=GP，BE=BF，CD=CF，HD=HP， ∴ C△ABC=AB＋AC+BC=AB＋AC+BF+CF=AB＋AC+BE+CD=AE+AD=AG－GE+AH－HD. =AG+AH－GP－HP=AG+AH－GH 四、课堂作业： 1．（2025秋•富顺县期末）如图，AB、CD分别与半圆⊙O切于点A，D，BC切⊙O于点E．若AB＝4，CD＝9，则⊙O的半径为（　C　） A．12 B． C．6 D．5 解：过B作BF⊥CD于F， ∵AB、CD与半圆O切于A、D，∴∠BAD＝∠CDA＝∠BFD＝90°， ∴四边形ADFB为矩形，∴AB＝DF，BF＝AD， ∵AB＝BE＝4，CD＝CE＝9，∴BC＝BE+CE＝13， ∵AB、CD与半圆O相切，∴四边形ADFB为矩形， ∴CF＝CD﹣FD＝9﹣4＝5， 在Rt△BFC中，BF12，∴AD＝BF＝12， ∴⊙O的半径为6．故选：C． 2．（2025秋•亭湖区期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径． 求证：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP． 证明：（1）连接AO， ∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点， ∴∠APO＝∠BPO，OA⊥AP，PA＝PB， ∴∠APB＝2∠APO，∠OAP＝90°，PO⊥AB， ∴∠OAB+∠BAP＝90°，∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠OAB＝∠APB， ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OBA＝∠APO， ∴∠APB＝2∠ABC； （2）设AB交OP于F， ∵PA，PB是圆的切线，∴PA＝PB， ∵OA＝OB，∴PO垂直平分AB．∴∠OFB＝90°． ∵BC是直径，∴∠CAB＝90°． ∴∠CAB＝∠OFB．∴AC∥OP． 学科网（北京）股份有限公司 $