专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦圆周角核心知识点，系统梳理圆周角定义、定理及推论，从顶点在圆上且两边交圆的定义出发，到同弧圆周角等于圆心角一半的定理，再到同弧等弧圆周角相等、直径对直角的推论，最后延伸至圆内接四边形对角互补的性质，构建完整知识脉络。 资料通过知识梳理解读结合图示与几何语言，培养学生几何直观的数学眼光，题型精析按基础到拔高分层设计，如概念辨析到多结论综合题，提升推理能力的数学思维，同步检测含选择、填空、解答题，助力学生用数学语言表达，课中辅助教学，课后查漏补缺。

专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】圆周角的定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 2 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 3 【知识点五】圆内接四边形及其性质 3 二.题型精析（难度层层递进） 4 【题型 1】 圆周角概念辨析（基础·必会） 4 【题型 2】圆周角定理基础角度计算（基础·高频） 4 【题型 3】同弧、等弧圆周角相等应用（中档·计算+证明） 5 【题型 4】直径所对圆周角的综合应用（中档·必考） 6 【题型 5】圆内接四边形性质应用（中档·拔高） 7 【题型 6】圆周角多结论综合计算（拔高·压轴） 9 三.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识梳理解读 【知识点一】圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 定义 图示 几何语言 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角 在☉o中，是圆周角. 【要点提示】 1. 圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆相交，缺一不可； 2. 与圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上； 3. 同一条弧可以对应无数个圆周角，但只对应一个圆心角。 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 数学符号：若圆周角与圆心角同对弧，则。 定义 图示 几何语言 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】 1. 定理核心前提：同弧或等弧，不同弧对应的圆心角与圆周角无此数量关系； 2. 定理证明分三类位置：圆心在圆周角边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部，均通过作直径转化证明； 3. 可实现：弧度数、圆心角度数、圆周角度数三者相互转化计算。 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 【要点提示】 1. 无需角度计算，可直接判定圆中角相等，是圆中角度等量代换的核心依据； 2. 前提必须为同圆或等圆，不同圆中相等圆周角对应的弧不一定相等； 3. 常用于证明三角形全等、等腰三角形、角度等量推导。 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 定理推论 图示 几何语言 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径 ，; 在中，AB为的直径. 【要点提示】 1. 本推论是圆中构造直角、运用勾股定理的高频工具； 2. 看到直径优先联想直角圆周角，看到圆内直角优先判定对应弦为直径； 3. 半圆对应的弧度数为180°，对应圆周角为90°，符合圆周角定理度数关系。 【知识点五】圆内接四边形及其性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 2. 核心性质：圆内接四边形的对角互补（对角和为180°）；四边形的任意一个外角等于它的内对角。 定义 图示 几何语言 圆内接四边形的对角互补（对角和为180°） 【要点提示】 1. 对角互补是判定四点共圆的重要依据； 2. 常用结论：圆内接平行四边形是矩形、圆内接梯形是等腰梯形、圆内接菱形是正方形； 3. 外角等于内对角，可快速解决圆外角、圆内角角度推导问题。 二.题型精析（难度层层递进） 【题型 1】 圆周角概念辨析（基础·必会） 核心考点：根据定义判断圆周角，区分圆心角、圆内角、圆外角 【例题1】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 方法总结：圆周角判定两要素：顶点在圆上、两边交圆，缺一不可。 【题型 2】圆周角定理基础角度计算（基础·高频） 核心考点：利用“圆周角=对应圆心角一半”进行基础计算 【例题2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的两条弦，．求证：． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【题型 3】同弧、等弧圆周角相等应用（中档·计算+证明） 核心考点：利用同弧圆周角相等，进行角度转化、线段证明 【例题3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·云南楚雄·期末）如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【变式3】（24-25九年级上·广东韶关·期中）三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D．求证：．    【题型 4】直径所对圆周角的综合应用（中档·必考） 核心考点：直径出直角，结合勾股定理、三角形性质解题 【例题4】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． （1）求证：是的平分线； （2）求圆内接四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【变式3】（2024·安徽池州·一模）如图，内接于半圆O，为直径，的平分线交于点F，交半圆O于点D，于点E，且交于点P，连接． 求证： （1）； （2）点P是线段的中点． 【题型 5】圆内接四边形性质应用（中档·拔高） 核心考点：利用对角互补、外角等于内对角求角度、证平行 【例题5】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【变式1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． （1）若，求的度数．（2）若，求证：为等边三角形． 【题型 6】圆周角多结论综合计算（拔高·压轴） 核心考点：综合圆周角定理、圆内接四边形、直角三角形性质，多步推导 【例题6】（2025·安徽·一模）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【变式1】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是的直径，是上的一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接，． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点作于点，若，求的长． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·广西河池·期末）下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 6．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 8．（2026·河南三门峡·三模）如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 9．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，连接，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则四边形是平行四边形 D．若四边形是平行四边形，则 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 12．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________°． 16．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 17．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则 _________ ． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 20．（本小题满分8分）（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的两条直径． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若的直径为8，，求四边形的周长和面积． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． （1）若，求_____ （2）求证：； 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·宁夏固原·期中）【初步感知】如图，点均在上，若，则锐角的大小为_________； 【深入探究】 如图，小聪遇到这样一个问题：是等边的外接圆，点在弧上（点不与点重合），连接．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】圆周角的定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 2 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 3 【知识点五】圆内接四边形及其性质 3 二.题型精析（难度层层递进） 4 【题型 1】 圆周角概念辨析（基础·必会） 4 【题型 2】圆周角定理基础角度计算（基础·高频） 5 【题型 3】同弧、等弧圆周角相等应用（中档·计算+证明） 8 【题型 4】直径所对圆周角的综合应用（中档·必考） 11 【题型 5】圆内接四边形性质应用（中档·拔高） 14 【题型 6】圆周角多结论综合计算（拔高·压轴） 17 三.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.知识梳理解读 【知识点一】圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 定义 图示 几何语言 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角 在☉o中，是圆周角. 【要点提示】 1. 圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆相交，缺一不可； 2. 与圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上； 3. 同一条弧可以对应无数个圆周角，但只对应一个圆心角。 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 数学符号：若圆周角与圆心角同对弧，则。 定义 图示 几何语言 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】 1. 定理核心前提：同弧或等弧，不同弧对应的圆心角与圆周角无此数量关系； 2. 定理证明分三类位置：圆心在圆周角边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部，均通过作直径转化证明； 3. 可实现：弧度数、圆心角度数、圆周角度数三者相互转化计算。 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 【要点提示】 1. 无需角度计算，可直接判定圆中角相等，是圆中角度等量代换的核心依据； 2. 前提必须为同圆或等圆，不同圆中相等圆周角对应的弧不一定相等； 3. 常用于证明三角形全等、等腰三角形、角度等量推导。 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 定理推论 图示 几何语言 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径 ，; 在中，AB为的直径. 【要点提示】 1. 本推论是圆中构造直角、运用勾股定理的高频工具； 2. 看到直径优先联想直角圆周角，看到圆内直角优先判定对应弦为直径； 3. 半圆对应的弧度数为180°，对应圆周角为90°，符合圆周角定理度数关系。 【知识点五】圆内接四边形及其性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 2. 核心性质：圆内接四边形的对角互补（对角和为180°）；四边形的任意一个外角等于它的内对角。 定义 图示 几何语言 圆内接四边形的对角互补（对角和为180°） 【要点提示】 1. 对角互补是判定四点共圆的重要依据； 2. 常用结论：圆内接平行四边形是矩形、圆内接梯形是等腰梯形、圆内接菱形是正方形； 3. 外角等于内对角，可快速解决圆外角、圆内角角度推导问题。 二.题型精析（难度层层递进） 【题型 1】 圆周角概念辨析（基础·必会） 核心考点：根据定义判断圆周角，区分圆心角、圆内角、圆外角 【例题1】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点拨】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 方法总结：圆周角判定两要素：顶点在圆上、两边交圆，缺一不可。 【题型 2】圆周角定理基础角度计算（基础·高频） 核心考点：利用“圆周角=对应圆心角一半”进行基础计算 【例题2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的两条弦，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证． 解：证明：如图，连接， ∵， ∴． ∴． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】（1）见分析；（2）圆弧所对的圆心角的度数为． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 解：（1）证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 【题型 3】同弧、等弧圆周角相等应用（中档·计算+证明） 核心考点：利用同弧圆周角相等，进行角度转化、线段证明 【例题3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得出，，再根据全等三角形的判定和性质即可证明． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·云南楚雄·期末）如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及等腰直角三角形性质、同弧所对的圆周角相等等知识，熟记等腰直角三角形性质及同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键． 先由等腰直角三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得出，根据圆周角定理即可得答案． 解：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·广东韶关·期中）三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D．求证：．    【答案】见分析 【分析】根据内心的性质可得，根据圆周角的定义可得，再根据三角形外角的性质和角的和差可得，最后根据等角对等边的性质即可解答． 解：证明：如图，连接，    ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 【题型 4】直径所对圆周角的综合应用（中档·必考） 核心考点：直径出直角，结合勾股定理、三角形性质解题 【例题4】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． （1）求证：是的平分线； （2）求圆内接四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 【变式2】（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 【变式3】（2024·安徽池州·一模）如图，内接于半圆O，为直径，的平分线交于点F，交半圆O于点D，于点E，且交于点P，连接． 求证： （1）； （2）点P是线段的中点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据角平分线的概念得出，根据圆周角得出，再等量代换即可得证； （2）根据直径所对的圆周角为90度及垂直的定义易证，再根据等角的余角相等得出，然后根据等角对等边即可得证． 解：（1）∵平分 ∴ ∵与都是所对的圆周角 ∴ ∴ （2）∵为直径 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵，且 ∴ 即 ∴ ∴ 即点P是线段的中点． 【点拨】本题考查了圆周角、等角的余角相等、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【题型 5】圆内接四边形性质应用（中档·拔高） 核心考点：利用对角互补、外角等于内对角求角度、证平行 【例题5】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． （1）解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． （2）略 【变式1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【变式2】（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． （1）若，求的度数． （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 解：（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【题型 6】圆周角多结论综合计算（拔高·压轴） 核心考点：综合圆周角定理、圆内接四边形、直角三角形性质，多步推导 【例题6】（2025·安徽·一模）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； （2） 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 解：（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 【变式1】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【答案】/度 【分析】延长交于点，连接，由直径所对圆周角为直角得到，由同弧或等弧所对圆周角相等得到，根据直角三角形两锐角互余得到，由角的和差列式计算即可． 解：如图，延长交于点，连接， ∵是直径，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是的直径，是上的一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接，． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点作于点，若，求的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． （）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （）利用（）、（）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 解：（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·广西河池·期末）下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点拨】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 2．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用垂径定理及圆周角定理即可求解． 解：如图，连接， ， ， ． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 5．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 6．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．据此解答可得答案． 解：如图，四边形内接于，且， ∴， 即的度数是． 故选：D． 7．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 8．（2026·河南三门峡·三模）如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角和圆周角定理得出，，则为等边三角形，从而得到，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 解：，， ，． ， 为等边三角形． ，． ． ∴． 9．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，连接，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则四边形是平行四边形 D．若四边形是平行四边形，则 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行四边形的判定和性质解答即可． 解：A、由圆周角定理得，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵四边形内接于， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、时，，则， ∴， ∵与不一定相等，则不一定都等于， ∴四边形不一定是平行四边形，故本选项说法错误，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， 由圆周角定理得， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 12．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【答案】20 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可得出答案． 解：连接AB, ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴AB=10． 又∵∠AOB=90°，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点拨】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 【答案】155 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴； 故答案为155． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________°． 【答案】14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 16．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则 _________ ． 【答案】/130度 【分析】本题考查平行线的性质，圆内接四边形的性质，根据得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 解：， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为： ． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【答案】65 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径得出的度数为，根据垂直得出，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， 故答案为：65． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，首先证明，即可求解； （2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解． 解：（1）如图：连接   是的直径 ，即 又 ． （2）的度数为 又，且 ． 【点拨】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 20．（本小题满分8分）（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的两条直径． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若的直径为8，，求四边形的周长和面积． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见分析；（2）， ． 【分析】（1）由是的两条直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，则可判定四边形是矩形； （2）根据直角三角形的性质和矩形的周长和面积解答即可． 解：（1）四边形是矩形． 理由：∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是矩形． （2）∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴四边形的周长， 面积． 【点拨】此题考查了圆周角定理以及矩形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． （1）若，求_____ （2）求证：； 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、弧中点对应圆周角相等）、全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理并结合全等三角形证明是解题的关键． （1）先根据直径所对圆周角为直角得，结合求出；再利用弧中点的性质得，进而求出． （2）利用弧中点的性质得，结合，证明，从而得出． 解：（1）解：∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∴ ， 故答案为：； （2）证明：∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∵ ，，， ∴（）， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵弦过点 ∴是的直径， ∵点D平分 ∴， ∴，， ∴ 又∵ ∴ （2） 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理的应用； （1）根据垂径定理的推论可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理可得，进而即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角，以及勾股定理求得的长，进而根据中位线的性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵ ∴ 又∵是的直径，则， ∴， ∴， 由（1）可得，是的直径， ∴， 又∵， ∴ 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·宁夏固原·期中）【初步感知】如图，点均在上，若，则锐角的大小为_________； 【深入探究】 如图，小聪遇到这样一个问题：是等边的外接圆，点在弧上（点不与点重合），连接．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【答案】初步感知：；深入探究：证明见分析 【分析】初步感知：根据圆周角定理即可求解； 深入探究：延长至点，使，连接，由等边三角形的性质和圆周角定理得，，，再证明，得到，即得是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：； 深入探究：证明：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $