专题 3.2 确定圆的条件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理确定圆的点的个数规律（一点无数圆、两点圆心在垂直平分线上、三点不在同一直线确定唯一圆），三角形外接圆与外心（定义、外心为垂直平分线交点及位置规律），尺规作图作外接圆步骤，以及多边形外接圆条件（四边形需对角互补），构建递进式学习支架。 资料亮点在于知识梳理设“要点提示”明确易错点（如三点共线无法作圆），培养数学眼光；题型精析通过外接圆半径计算、尺规作图复原圆形等例题变式，提升数学思维中的推理与运算能力；同步检测分层设计，强化数学语言表达与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题 3.2 确定圆的条件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】确定圆的点的个数规律 1 【知识点二】三角形的外接圆与外心 1 【知识点三】作三角形外接圆（尺规作图） 2 【知识点四】多边形的外接圆与四点共圆 2 二.题型精析 2 【题型 1】概念辨析题（确定圆的个数判断） 3 【题型 2】外接圆半径计算（高频计算题） 5 【题型 3】尺规作图题（复原圆形、作外接圆） 9 【题型 4】四边形外接圆 12 三.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 一.知识梳理解读 【知识点一】确定圆的点的个数规律 1. 经过一个点：可作无数个圆，圆心可取该点外任意一点，半径为圆心到该定点的距离。 2. 经过两个点：可作无数个圆，所有圆的圆心均在这两点连线段的垂直平分线上。 3. 经过三个点：分两种情况讨论 （1）三点不在同一直线上：有且只有一个圆（唯一确定一个圆）； （2）三点在同一直线上：无法作圆（不存在同时经过三点的圆）。 【要点提示】核心易错点：① 确定唯一圆的核心条件：不在同一直线上的三个点；② 一点、两点只能确定圆的位置范围，无法确定唯一圆。 【知识点二】三角形的外接圆与外心 1. 核心定义 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆； 内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形； 外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 2. 外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 3. 外心位置规律（必考） （1）锐角三角形：外心在三角形内部； （2）直角三角形：外心在斜边的中点； （3）钝角三角形：外心在三角形外部。 【要点提示】高频考点易错警示：① 任意三角形有且只有一个外接圆；② 直角三角形外接圆半径公式：（高频考点）；③ 外心是垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高线交点。 【知识点三】作三角形外接圆（尺规作图） 1. 标准作图步骤 ① 任取三角形两条边，分别作它们的垂直平分线； ② 两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心； ③ 以点为圆心，到三角形任意顶点的距离为半径画圆，即为三角形的外接圆。 要点提示】作图技巧：只需作两条边的垂直平分线即可，第三条边的垂直平分线必过该交点，无需重复作图。 【知识点四】多边形的外接圆与四点共圆 1. 定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，多边形叫做圆的内接多边形。 2. 特殊结论：四边形有外接圆的条件是对角互补。 【要点提示】特殊图形结论：矩形、正方形、等腰梯形一定有外接圆；任意平行四边形、普通四边形不一定有外接圆。 二.题型精析 【题型 1】概念辨析题（确定圆的个数判断） 【例题1】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段． （1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （3）能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】（1）一个；（2）两个；（3）不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 解：（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 【变式1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点拨】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，． （1）证明四边形有外接圆； （2）简要说明正边形有外接圆． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 解：（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 【题型 2】外接圆半径计算（高频计算题） 【例题2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 解：（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【变式2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，确定的外接圆直径为斜边，连接，，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，且为直角， ∴， 作的外接圆如图，连接，，交于点 ，则为直径，，    ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知，． （1）求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若为，为，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）的半径为5． 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键． （1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可； （2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值． 解：（1）解：如图所示： ； （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． 【题型 3】尺规作图题（复原圆形、作外接圆） 【例题3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 解：略 【变式1】（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）作正方形的外接圆． 【答案】见分析 【分析】连接正方形的两条对角线，它们的交点就是外接圆的圆心，以交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可． 解：如图，为所作． 【题型 4】四边形外接圆 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，如图，四边形是矩形， （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【答案】（1）作图见分析；（2） 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，外接圆的圆心，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先作出的垂直平分线与相交，交点即为点，再连接，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，再以点为圆心，为半径作圆即可； （2）可得，证明四边形是矩形，则，设圆O的半径为，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可． 解：（1）解：如图，点和圆即为所求： （2）解：连接， 由（1）可知，垂直平分，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设圆O的半径为，则， ， 在中，，即， 解得， 即圆O的半径为． 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【变式2】（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则的最小值是___________． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，，得出为等腰直角三角形，由，求出，连接，过点作于点，则，利用，得出，过点作于点，求出，在中，，得出，由点为四边形内一点，为上一点，且位置不定，则，当且仅当、、共线，且时，取最小值，即可求解． 解：如图，作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 连接，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点为四边形内一点，为上一点，且位置不定， ∴，当且仅当、、共线，且时，取最小值， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：10． 【变式3】（24-25九年级下·全国·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． （2）①在损矩形内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；如果没有，请说明理由． ②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）． 【答案】（1）；（2）①在损矩形内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段的中点．②四边形是圆内接四边形；． 【分析】本题考查的是新定义的含义，圆的内接四边形的性质； （1）根据新定义的含义可得答案； （2）①如图，取的中点，连接，，证明即可，②根据圆的内接四边形可得其性质． 解：（1）解：根据定义可得： 在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段； （2）解：①如图，取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴在损矩形内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段的中点． ②性质1：四边形是圆内接四边形； 性质2：． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 解：如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 6．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 8．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 10．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点拨】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 【答案】，或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关键分三种情况讨论：． 当时，线段和差即可求解；当时，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；，根据外接圆的定义即可得到与重合． 解：①时， ； ②时，过点作于点，连接 中：， ， ∴， ， ∴； ③时，此时与重合， ∴． 综上为，或． 故答案为：，或． 13．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 解：分别作线段的垂直平分线，如图所示： ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 16．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 解：∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点拨】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 17．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 18．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解． 解：点B在平分线上移动， ， 如图，作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点N在上时，有最大值为， 的最大值为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 【答案】的半径较大，作图和验证见分析 解：的半径较大． 如图，作的垂直平分线交于点C，交于点D，再作的垂直平分线交直线于点，作的垂直平分线交直线于O点，则点为所在圆的圆心，点O为所在圆的圆心， 连接， 因为， 所以的半径较大． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． （1）直接写出圆心M的坐标：________． （2）求的半径． （3）判断点与的位置关系． 【答案】（1）；（2）；（3）在内． 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 解：（1）解：如图，圆心的坐标为， 故答案为：． （2）解：， 即的半径为． （3）解：， ， ∴点与的位置关系是点D在内． 【点拨】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心； （2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 解：（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】（1）见分析；；（2）；（3）点E在内部 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 解：（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 23．（本小题满分10分）（2026·河南·一模）如图1和图2，是等边三角形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】（1）如图1所示，即为所求 （2）证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 解：（1）略 （2）略 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·河南·期末）河南足球近年蓬勃发展，各种赛事成绩也愈发闪耀．图1是某次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点C，若，，求的半径长． 【答案】（1）点O见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理求线段长度，熟练运用圆的对称性和切线性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，在圆上取一点C，连接，作的垂直平分线，则与的交点即为圆心O； （2）根据题意作图，连接，先求线段的长度，再求的长度，设半径为r，在中，由勾股定理建立关于r的方程，解方程即可． 解：（1）解：点O如图所示： 证明如下： ∵直线垂直平分，点O在上， ∴， ∵直线垂直平分，点O在上， ∴， ∵点A，点B，点C不共线，且， ∴点O为圆心． （2）解：连接，如图， ∵，是圆的切线，A，B为切点， ∴，，，则， 在中，由勾股定理得， 设半径为r，则 在中，由勾股定理得出，即， 解得， ∴的半径长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 确定圆的条件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】确定圆的点的个数规律 1 【知识点一】三角形的外接圆与外心 1 【知识点三】作三角形外接圆（尺规作图） 2 【知识点四】多边形的外接圆与四点共圆 2 二.题型精析 2 【题型 1】概念辨析题（确定圆的个数判断） 3 【题型 2】外接圆半径计算（高频计算题） 3 【题型 3】尺规作图题（复原圆形、作外接圆） 4 【题型 4】四边形外接圆 5 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理解读 【知识点一】确定圆的点的个数规律 1. 经过一个点：可作无数个圆，圆心可取该点外任意一点，半径为圆心到该定点的距离。 2. 经过两个点：可作无数个圆，所有圆的圆心均在这两点连线段的垂直平分线上。 3. 经过三个点：分两种情况讨论 （1）三点不在同一直线上：有且只有一个圆（唯一确定一个圆）； （2）三点在同一直线上：无法作圆（不存在同时经过三点的圆）。 【要点提示】核心易错点：① 确定唯一圆的核心条件：不在同一直线上的三个点；② 一点、两点只能确定圆的位置范围，无法确定唯一圆。 【知识点二】三角形的外接圆与外心 1. 核心定义 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆； 内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形； 外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 2. 外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 3. 外心位置规律（必考） （1）锐角三角形：外心在三角形内部； （2）直角三角形：外心在斜边的中点； （3）钝角三角形：外心在三角形外部。 【要点提示】高频考点易错警示：① 任意三角形有且只有一个外接圆；② 直角三角形外接圆半径公式：（高频考点）；③ 外心是垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高线交点。 【知识点三】作三角形外接圆（尺规作图） 1. 标准作图步骤 ① 任取三角形两条边，分别作它们的垂直平分线； ② 两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心； ③ 以点为圆心，到三角形任意顶点的距离为半径画圆，即为三角形的外接圆。 要点提示】作图技巧：只需作两条边的垂直平分线即可，第三条边的垂直平分线必过该交点，无需重复作图。 【知识点四】多边形的外接圆与四点共圆 1. 定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，多边形叫做圆的内接多边形。 2. 特殊结论：四边形有外接圆的条件是对角互补。 【要点提示】特殊图形结论：矩形、正方形、等腰梯形一定有外接圆；任意平行四边形、普通四边形不一定有外接圆。 二.题型精析 【题型 1】概念辨析题（确定圆的个数判断） 【例题1】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段． （1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ （3）能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【变式1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，，． （1）证明四边形有外接圆； （2）简要说明正边形有外接圆． 【题型 2】外接圆半径计算（高频计算题） 【例题2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【变式3】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知，． （1）求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若为，为，求的半径． 【题型 3】尺规作图题（复原圆形、作外接圆） 【例题3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）作正方形的外接圆． 【题型 4】四边形外接圆 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，如图，四边形是矩形， （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2】（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则的最小值是___________． 【变式3】（24-25九年级下·全国·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． （2）①在损矩形内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；如果没有，请说明理由． ②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 2．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 5．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 6．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 8．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 10．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 13．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 16．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 17．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 18．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ____________________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． （1）直接写出圆心M的坐标：________． （2）求的半径． （3）判断点与的位置关系． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心； （2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 23．（本小题满分10分）（2026·河南·一模）如图1和图2，是等边三角形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·河南·期末）河南足球近年蓬勃发展，各种赛事成绩也愈发闪耀．图1是某次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点C，若，，求的半径长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $