5.2 求等可能条件下的概率 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“求等可能条件下的概率”核心知识点，先梳理概率公式（含随机事件概率、必然事件概率为1、不可能事件概率为0），再系统讲解列表法（适用于两元素）与树状图法（适用于多元素），构建从基础概念到解题方法的学习支架。 该资料特色在于结合摸球、名著选择、转盘游戏等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过题型分类与解题知识解析培养推理意识，借助列表树状图等方法发展模型意识。课中辅助教师高效授课，课后通过过关验收帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.2 求等可能条件下的概率 内 容 导 航 题型1 概率公式 题型2 列表法与树状图法 考 点 演 练 题型1 概率公式 解｜题｜知｜识 （1）随机事件A的概率P（A）． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【典例1】一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（　　） A．添加黄球2个 B．添加红球2个 C．添加红球2个，黄球4个 D．添加红球5个，黄球7个 【答案】B 【解答】解：要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数， A、添加2个黄球后，黄球数为3+2＝5，与红球数5相等，符合要求，不符合题意； B、添加2个红球后，红球数为5+2＝7，黄球数为3，7≠3，不符合要求，符合题意； C、添加2个红球、4个黄球后，红球数为5+2＝7，黄球数为3+4＝7，两者相等，符合要求，不符合题意； D、添加5个红球、7个黄球后，红球数为5+5＝10，黄球数为3+7＝10，两者相等，符合要求，不符合题意． 故选：B． 【变式1】一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，2个黄球和1个红球，共6个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率2÷6． 故选：B． 【变式2】一个不透明的口袋里有除颜色不同外其余均相同的红球、黄球和白球共20个．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是，则袋子里白球有（　　） A．10个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵一个不透明的口袋里有除颜色不同外其余均相同的红球、黄球和白球共20个，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是， ∴红球的个数为204（个），黄球的个数为2010（个）， ∴袋子里白球有：20﹣4﹣10＝6（个）， 故选：B． 【变式3】一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种， ∴摸出的球是白球的概率为． 故选：A． 题型2 列表法与树状图法 解｜题｜知｜识 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【典例1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中恰好选中《算学启蒙》的情况有6种 ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是． 故选：B． 【变式1】一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的结果数为2， 所以从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率． 故选：D． 【变式2】一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将三个座位顺次记为①②③， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中A与B不相邻而坐的结果有：CBD，DBC，共2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为． 故选：B． 【变式3】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 过 关 验 收 1．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 2．抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵抛掷一枚硬币1次有2种等可能的结果， ∴抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是． 故选：C． 3．某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． 4．如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得：随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是， 故选：C． 5．廊坊在革命历史中是一块重要的红色土地，现拥有丰富的红色文化资源．小刚和小亮相约周末一起研学，他们要从“廊坊市烈士陵园”“林峰烈士纪念馆”“胜芳张家大院”和“廊坊博物馆”中随机选一个进行研学，则选上“廊坊博物馆”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵总共有“廊坊市烈士陵园”“林峰烈士纪念馆”“胜芳张家大院”和“廊坊博物馆”4个等可能的选择，且“廊坊博物馆”是其中之一， ∴选上“廊坊博物馆”的概率为． 故选：A． 6．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， ∴若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 7．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据选中苹果的概率等于苹果的数量除以总水果的数量可得： 由题意可得：， 解得：n＝6． 经检验：n＝6是原方程的解且符合题意， 故答案为：6． 8．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 　 　 ． 【答案】0.2． 【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右， 所以，“摸出黑球”的概率为0.2， 故答案为：0.2． 9．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为　　 ． 【答案】2 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故答案为：2． 10．如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：列树状图如图： 可知共4种情况，有3种情况电流通过， ∴A，B之间的电流能够正常通过的概率为． 故答案为：． 11．一个盒子里放了2个白球和3个黑球，每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：从2个白球和3个黑球中摸出一个球，这个球是白球的概率是， 故答案为：． 12．在数轴上，有一点A在数0～6之间，那么，该点落在2～4之间的概率为　 ． 【答案】． 【解答】解：确定总区间长度点A在0～6之间，这个区间的长度为：6﹣0＝6； 确定目标区间长度目标区间是2～4之间，这个区间的长度为：4﹣2＝2； 计算概率几何概率的计算公式为：， 代入数值计算：． 故答案为：． 13．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　 ． 【答案】 【解答】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个， 从盒子里任意摸到1个红球的概率是． 故答案为：． 14．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为　 ． 【答案】． 【解答】解：从中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从中任意摸出1个球是红球的概率为， 故答案为：． 15．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是　 ． 【答案】． 【解答】解：∵一个不透明的袋子中有3个红球、2个黄球和1个白球， ∴摸出的球是黄球的概率为， 故答案为：． 16．老师将6种生活现象制成如下所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是　 ． 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 衣服晾干 牛奶变质 光合作用 【答案】． 【解答】解：随机抽取一张卡，共有6种等可能的结果，其中抽中生活现象是物理变化的有冰化成水，衣服晾干，共2种结果， ∴， 故答案为：． 17．不负韶华梦，读书正当时!某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 　 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵共有4部名著， ∴她选中《红楼梦》的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1）7个； （2）． 【解答】解：（1）设盒子中黑球的个数为x个， ∵从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 解得x＝7， 答：盒子中黑球的个数为7个； （2）任意摸出一个球是红球的概率． 19．从3名男生和2名女生中随机抽取志愿者．求下列事件的概率： （1）抽取1名，恰好是女生； （2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生． 【答案】（1）5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为 （2）由树形图可得出：共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为 【解答】解：（1）5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为 （2）由树形图可得出：共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为 20．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴． 故选：A． 21．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为50元的有2种， 所以两球上金额的和为50元的概率是． 故选：C． 22．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是　 ． 【答案】． 【解答】解：将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有：（B，C），（C，B），共2种， ∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是． 故答案为：． 23．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 　 ． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）共有文、明、自、由四张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如解图， 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种， 则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 24．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是　 ； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： C D E A （A，C） （A，D） （A，E） B （B，C） （B，D） （B，E） 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：（A，E），共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为． 25．2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率x x＝100% 90%≤x＜100% x＜90% 班数 7 m n （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为100%”是 　 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为，则m＝ 　 ，n＝ 　 ； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②5，3； （2）；． 【解答】解：（1）①事件“该班跑步量达标率为100%”是随机事件； ②事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为， ∴， ∴n＝15﹣7﹣5＝3， 故答案为：①随机；②5，3； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 26．我区某校七年级开设人数相同的1，2，3三个班级，甲、乙两位学生是该校七年级新生，开学前学校对所有七年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到1班”的概率是 　 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）“学生甲分到1班”的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由表知，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的有3种结果， 所以甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 27．将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为 　 ； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为a，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为b．请用列表或画树状图的方法求关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有实根的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） （2）树状图为： ∵有实数根的概率 ∴Δ≥0 ∴Δ＝a2﹣4b≥0 ∵共有12种等可能结果，其中满足方程x2+ax+b＝0有实数根的结果有6种， ∴P（方程x2+ax+b＝0有实数根）． 28．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别． 小夏一下子就分出：A、D是化学变化，B、C是物理变化，结果得到了老师和同学们的赞许．小冬从小夏手中接过这四张卡片，放置于暗箱中摇匀，想和小组成员们接着进行数学概率实验． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是　 ； （2）小敏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小敏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是． 故答案为：； （2）根据题意，可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据列表可知抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 29．有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾． （1）小慧选择A款式帽子的概率是　 ． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）小慧选择A款式帽子的概率是； 故答案为：； （2）用列表法表示搭配的所有可能性结果如下： 帽子围巾 A B C G AG BG CG E AE BE CE F AF BF CF 共有9种所有可能出现的结果，其中恰好选中A款式帽子和E款式围巾的有1种， 所以概率为． 30．经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是　 ； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是； 故答案为：． （2）列表或画树状图正确 直行 左拐 右拐 直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐） 左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐） 右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐） 一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐）， 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 求等可能条件下的概率 内 容 导 航 题型1 概率公式 题型2 列表法与树状图法 考 点 演 练 题型1 概率公式 解｜题｜知｜识 （1）随机事件A的概率P（A）． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【典例1】一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（　　） A．添加黄球2个 B．添加红球2个 C．添加红球2个，黄球4个 D．添加红球5个，黄球7个 【变式1】一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】一个不透明的口袋里有除颜色不同外其余均相同的红球、黄球和白球共20个．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是，则袋子里白球有（　　） A．10个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3】一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 题型2 列表法与树状图法 解｜题｜知｜识 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【典例1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 3．某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．廊坊在革命历史中是一块重要的红色土地，现拥有丰富的红色文化资源．小刚和小亮相约周末一起研学，他们要从“廊坊市烈士陵园”“林峰烈士纪念馆”“胜芳张家大院”和“廊坊博物馆”中随机选一个进行研学，则选上“廊坊博物馆”的概率为（　　） A． B． C． D． 6．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（　　） A． B． C． D． 7．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是　6　 ． 8．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 　 　 ． 9．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为　　 ． 10．如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概率为 　　 ． 11．一个盒子里放了2个白球和3个黑球，每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是　 　 ． 12．在数轴上，有一点A在数0～6之间，那么，该点落在2～4之间的概率为　 ． 13．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　 ． 14．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为　 ． 15．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是　 ． 16．老师将6种生活现象制成如下所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是　 ． 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 衣服晾干 牛奶变质 光合作用 17．不负韶华梦，读书正当时!某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 　 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是红球的概率． 19．从3名男生和2名女生中随机抽取志愿者．求下列事件的概率： （1）抽取1名，恰好是女生； （2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生． 20．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 21．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 22．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是　 ． 23．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 　 ． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 24．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是　 ； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 25．2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率x x＝100% 90%≤x＜100% x＜90% 班数 7 m n （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为100%”是 　 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为，则m＝ 　 ，n＝ 　 ； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 26．我区某校七年级开设人数相同的1，2，3三个班级，甲、乙两位学生是该校七年级新生，开学前学校对所有七年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到1班”的概率是 　 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 27．将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为 　 ； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为a，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为b．请用列表或画树状图的方法求关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有实根的概率． 28．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别． 小夏一下子就分出：A、D是化学变化，B、C是物理变化，结果得到了老师和同学们的赞许．小冬从小夏手中接过这四张卡片，放置于暗箱中摇匀，想和小组成员们接着进行数学概率实验． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是　 ； （2）小敏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小敏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 29．有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾． （1）小慧选择A款式帽子的概率是　 ． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 30．经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． （1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是　 ； （2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $