5.2概率的应用（讲义，2知识5题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦等可能条件下概率的应用，系统梳理抽签原理（不放回抽签公平性）、用频率估计概率（频率稳定值与总体估算）、标记重捕法及放回与不放回抽样概率计算，构建从原理到应用的递进学习支架。 资料通过“即学即练+典例精析+变式巩固”设计，结合摸球游戏、种子发芽等实例，培养学生用数学眼光观察现实，通过树状图、列表法发展推理思维，借助频率估算、标记重捕法强化数据意识与模型观念。课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第五章 等可能条件下的概率 5.2 概率的应用 知识点一 抽签原理 1. 在不放回抽签中，先后抽签的每个人中签概率相等，抽签顺序不影响公平性。 2. 解题方法：借助树状图或枚举法列出所有等可能结果，分别计算每个人的中签概率，验证公平性。 即学即练 1．（2026·安徽合肥·一模）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场,乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）实验操作比赛前需要通过抽签决定比赛课题，小李要从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，则小李抽到课题E的概率是_________． 知识点二 用频率估计概率 1. 当重复试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，可用频率估计该事件的概率。 2. 设总体总数为，已知部分个体数量、试验频率，利用列方程求解总体数量。 3. 标记重捕法（用于估算种群、物体总数）：先标记部分个体并放回，混合后再次抽样，根据带标记个体的频率，推算整体数量。 即学即练 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 2．（25-26七年级下·重庆·期中）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 (1)求表中______，______（填数值）； (2)任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； (3)若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)表中的_____________，_____________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ (4)在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.8，那么袋中放入了多少个白球？ 题型01 游戏的公平性 / （1）分别算出游戏双方获胜的概率； （2）比较概率大小：概率相等则公平，不相等则不公平； （3）若不公平，修改规则使双方获胜概率相同。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）近期电影《飞驰人生3》火热上映，现有一张《飞驰人生3》的电影票，小辰和小乐都想获得，他们想到如下方法：从印有数字1，2，3，4，5，5，6，7的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小辰得到电影票；否则，小乐得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对双方公平吗？请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，当它停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指在分界线上，则重新转动转盘）．小颖与小亮进行转盘游戏，游戏规则是：若转出的数是3的倍数则小颖获胜，若不是3的倍数则小亮获胜．请判断此游戏规则是否公平并说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 3．（2026·福建三明·二模）扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． (1)如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； (2)游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 4．（2026·甘肃平凉·三模）每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； (2)甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 5．（2026·陕西西安·三模）位于陕西延安的壶口瀑布是世界上最大的黄色瀑布，被誉为“黄河奇观”，展现黄河的磅礴气势，奔腾的河水咆哮而下，其雄浑奔腾的姿态恰如中华民族精神的象征．小明和小丽将他们去壶口瀑布游玩时拍的两张风景照从中间剪开，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．         (1)若从中随机抽取一张，小丽同学抽取的图片是左图的右半部分的概率是_____； (2)每人随机抽取两张，如果能拼成一张完整的图片，则小明获胜；否则小丽获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法计算并说明理由． 题型02 利用频率估计概率 / （1）大量重复试验下，频率稳定值近似等于概率； （2）频率 = 频数 ÷ 试验总次数； （3）估算数量：总数 × 对应概率 = 目标数量。 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州贵阳·一模）兴趣小组调查某基地猕猴桃树苗的栽种成活率，并绘制成如下统计图，由此可估计该猕猴桃树苗成活的概率约为（     ） A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 (1)完成上述表格：__________；__________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图．结合小明的试验结果，完成下列问题： (1)估计沙包落在阴影区域的概率是多少？ (2)帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种颜色的球可能是（     ） A．黑球 B．黄球 C．白球 D．红球 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 3．（2026·湖南长沙·三模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 合格的头盔数 合格头盔的频率 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为______． 4．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 (1)填空： ______； (2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1964 2949 3932 合格品频率                a      (1)求出表中_____，_____； (2)从这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率的估计值是_____（精确到）； (3)如果要出厂49000项合格的头盔，则该厂估计要生产多少项头盔？ (4)这批头盔共有红、白、蓝、黑四种颜色，小明的妈妈把这四种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 题型03 标记重捕法估算种群、物品总数 / 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期中）想了解郑州中原区常庄水库里有多少条鱼，工作人员从水库中打捞了50条鱼做上标记，然后放归水库．经过一段时间，有标记的鱼完全混合于鱼群中，他再从水库中任意打捞一条作好标记后放回，如此这般多次打捞试验后，发现打捞到有标记的鱼的频率稳定在，则水库里鱼的条数大约是______． 3．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 题型04 放回抽样概率 / （1）两次抽取相互独立，每次可选全部元素； （2）用列表/树状图列举有序等可能结果； （3） 。 典｜例｜精｜析 1．（2026·北京东城·一模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： (1)两次取出小球的标号相同； (2)两次取出小球的标号的和大于4． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（   ） A．在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率 B．甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率 C．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的 D．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关 2．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为______ 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球然后放回，表格是试验进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 200 300 400 800 1000 2000 摸到黑球的频率 0.22 0.18 0.21 0.19 0.21 0.20 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是___________．（保留1位小数）； (2)求袋中白球的个数； (3)若小明同学摸出一个球后放回，再次摸出一个球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 5．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 题型05 不放回抽样概率 / （1）第二次抽取元素数量减少，无重复结果； （2）分两类：先后抽取（有序）、一次取两个（无序）； （3）树状图/枚举组合计算有利结果。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽安庆·二模）在不透明的甲盒子中装有3个除数字外完全相同的黑球，球上标注的数字依次为1，2，4；在不透明的乙盒子中装有3个除数字外完全相同的白球，球上标注的数字依次为1，3，5．现从甲盒子中随机无放回地摸出2个黑球，将这两个球上的数字之和记为a；从乙盒子中随机无放回地摸出2个白球，将这两个球上的数字之和记为b．以a作为十位数字、b作为个位数字，组成一个两位数．，则这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是______． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． (1)用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； (2)比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·吉林四平·二模）有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 4．（2026·云南·一模）一个不透明的袋子中装有2个红球（记为红1、红2）和2个白球（记为白1、白2），这些球除颜色外都相同．先随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球． (1)用列表法或树状图法求两次摸球所有可能出现的结果总数； (2)求两次摸出的球颜色不同且标号之和为奇数的概率． 5．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 等可能条件下的概率 5.2 概率的应用 知识点一 抽签原理 1. 在不放回抽签中，先后抽签的每个人中签概率相等，抽签顺序不影响公平性。 2. 解题方法：借助树状图或枚举法列出所有等可能结果，分别计算每个人的中签概率，验证公平性。 即学即练 1．（2026·安徽合肥·一模）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场,乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，先列出所有等可能的出场顺序结果，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：列举所有等可能的出场顺序如下： (甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)， ∵共有6种等可能的结果，其中符合“甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场”的结果只有1种， ∴所求概率 ． 2．（2026·浙江台州·二模）实验操作比赛前需要通过抽签决定比赛课题，小李要从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，则小李抽到课题E的概率是_________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，以及所求事件包含的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】根据题意，小李从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，每个课题被抽到的可能性相等， 所有等可能的结果共种，抽到课题的结果有种， 根据概率公式可得：小李抽到课题 ． 知识点二 用频率估计概率 1. 当重复试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，可用频率估计该事件的概率。 2. 设总体总数为，已知部分个体数量、试验频率，利用列方程求解总体数量。 3. 标记重捕法（用于估算种群、物体总数）：先标记部分个体并放回，混合后再次抽样，根据带标记个体的频率，推算整体数量。 即学即练 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 (1)求表中______，______（填数值）； (2)任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； (3)若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据发芽频率公式计算即可得出结果； （2）观察表格数据即可得出结果； （3）根据发芽频率公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为； （3）解：（粒）， 若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，粒种子会发芽． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)表中的_____________，_____________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ (4)在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.8，那么袋中放入了多少个白球？ 【答案】(1) (2) (3)袋中除白球外还有个其他颜色的球 (4)袋中放入了个白球 【分析】首先利用频率=频数÷总数的关系计算和的值，再根据大量重复试验中频率稳定值估计概率，接下来根据概率公式求出总球数，进而得到其他颜色球的数量，最后设未知数，根据概率公式列方程求出放入白球的数量. 【详解】（1）解：根据频率计算公式得：，； （2）解：观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在附近，因此“摸到白球”的概率的估计值是； （3）解：由（2）得摸到白球的概率估计值为， 因此袋中球的总个数为：（个）， 其他颜色球的个数为：（个）， 答：袋中除白球外还有12个其它颜色的球； （4）解：设袋中放入了个白球，原来总球数为个， 根据题意得 ， 解得：， 答：袋中放入了个白球． 题型01 游戏的公平性 / （1）分别算出游戏双方获胜的概率； （2）比较概率大小：概率相等则公平，不相等则不公平； （3）若不公平，修改规则使双方获胜概率相同。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）近期电影《飞驰人生3》火热上映，现有一张《飞驰人生3》的电影票，小辰和小乐都想获得，他们想到如下方法：从印有数字1，2，3，4，5，5，6，7的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小辰得到电影票；否则，小乐得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平，理由见解析 【分析】根据概率公式分别求出两人获得电影票的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平，理由如下： ∵一共有8个小球，其中印有奇数的小球有5个，印有偶数的小球有3个， ∴小辰获得电影票的概率为，小乐获得电影票的概率为， ∵， ∴小辰获得电影票的概率比小乐获得电影票的概率大， ∴这种方式获得电影票对小辰、小乐不公平． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，当它停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指在分界线上，则重新转动转盘）．小颖与小亮进行转盘游戏，游戏规则是：若转出的数是3的倍数则小颖获胜，若不是3的倍数则小亮获胜．请判断此游戏规则是否公平并说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】不公平，转出的数字为奇数，则小颖获胜；转出的数字为偶数，则小亮获胜．（答案不唯一） 【分析】先计算各自的获胜概率，再比较解答即可； 【详解】解：游戏规则不公平，理由如下： 转盘停止后，转出的数字共有8种可能的结果：1，2，3，4，5，6，7，8，因为转盘是被平均分成8等分的，所以每种结果出现的可能性相同． 转出的数字是3的倍数的结果有2种：3，6； 转出的数字不是3的倍数的结果有6种：1，2，4，5，7，8， 所以（小颖获胜）， P（小亮获胜）， 因为，所以游戏规则不公平． 游戏规则改为：转出的数字为奇数，则小颖获胜；转出的数字为偶数，则小亮获胜．（答案不唯一） 3．（2026·福建三明·二模）扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． (1)如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； (2)游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 【答案】(1) (2)游戏公平， 说明：抽取两张牌时，画树状图如图所示， ∴共有种等可能结果，、、、、、，其中为小明赢，为小红赢， ∴小明赢的概率为，小红赢的概率为， ， ∴游戏公平． 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总共有张牌，其中“黑桃”有张，故小明再随机抽一次，抽到的是“黑桃”的概率为； （2）略 4．（2026·甘肃平凉·三模）每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； (2)甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙两队公平，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － 2 － 3 － 4 － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中满足两队赛道编号之差的绝对值为1的结果有6种，满足编号之差的绝对值大于1的结果有6种， ． 故这个游戏规则对甲、乙两队公平 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为． （2）略 5．（2026·陕西西安·三模）位于陕西延安的壶口瀑布是世界上最大的黄色瀑布，被誉为“黄河奇观”，展现黄河的磅礴气势，奔腾的河水咆哮而下，其雄浑奔腾的姿态恰如中华民族精神的象征．小明和小丽将他们去壶口瀑布游玩时拍的两张风景照从中间剪开，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．         (1)若从中随机抽取一张，小丽同学抽取的图片是左图的右半部分的概率是_____； (2)每人随机抽取两张，如果能拼成一张完整的图片，则小明获胜；否则小丽获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法计算并说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平．理由如下 设左图左、左图右、右图左和右图右分别为A、B、C、D，列表，得 小丽小明 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好能拼成一张完整的图片的结果有4种，分别是， ， ， ， 游戏不公平． 【详解】（1）解：若从中随机抽取一张，小丽同学抽取的图片是左图的右半部分的概率是， 故答案为：； （2）略 题型02 利用频率估计概率 / （1）大量重复试验下，频率稳定值近似等于概率； （2）频率 = 频数 ÷ 试验总次数； （3）估算数量：总数 × 对应概率 = 目标数量。 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州贵阳·一模）兴趣小组调查某基地猕猴桃树苗的栽种成活率，并绘制成如下统计图，由此可估计该猕猴桃树苗成活的概率约为（     ） A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 【答案】B 【详解】解：∵由图可知，成活频率在上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 240 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.6 (1)完成上述表格：__________；__________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是__________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)295，0.6 (2)0.6 (3)144度 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：， （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图．结合小明的试验结果，完成下列问题： (1)估计沙包落在阴影区域的概率是多少？ (2)帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）计算出长为，宽为的长方形面积，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据图2可得频率稳定在，则概率为； （2）解：长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种颜色的球可能是（     ） A．黑球 B．黄球 C．白球 D．红球 【答案】C 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，根据统计图可得摸到这种颜色的球的概率，再根据概率公式可求出这种颜色的球的数量，结合题意即可得到答案． 【详解】解：由题意得，随着试验次数的增加摸到该种颜色的球的频率逐步稳定在附近，即摸到该种颜色的球的概率为， ∴该种颜色的球的数量约为个， ∴则这种颜色的球可能是白球． 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值， 观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这批种子发芽的概率为． 3．（2026·湖南长沙·三模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 合格的头盔数 合格头盔的频率 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为______． 【答案】 【详解】解：头盔的合格频率稳定在附近， 抽查一个头盔，合格的概率约为． 故答案为：． 4．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，找出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 则随机摸出一个球，摸到白球的概率是， 由于口袋里总共有4只球， 则口袋中白球的个数为； （2）解：画树状图得： 则共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有6种情况 因此，两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 (1)填空： ______； (2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 【答案】(1)0.69 (2)0.69 【分析】（1）直接根据频率公式计算即可； （2）直接根据频率估计概率即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵随着转动转盘次数的增加，落在“洗手液”区域的频率稳定在0.69， ∴随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是0.69． 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1964 2949 3932 合格品频率                a      (1)求出表中_____，_____； (2)从这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率的估计值是_____（精确到）； (3)如果要出厂49000项合格的头盔，则该厂估计要生产多少项头盔？ (4)这批头盔共有红、白、蓝、黑四种颜色，小明的妈妈把这四种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)该厂估计要生产50000顶头盔 (4) 【分析】本题考查了利用树状图求概率，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在 左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为 ； （3）用样本数据估计总体即可． （4）列树状图求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在 附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是 ， 故答案为：； （3）解：， 答：如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产50000顶头盔． （4）解：如图：列出树状图 根据树状图可知，共有12种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 【答案】(1)， (2)， (3)大概有人转到“谢谢参与”． 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得和的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）用参加活动的总人数乘指针落在“谢谢参与”区域的频率，即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是． （3）解：（人） 答：大概有人转到“谢谢参与”． 题型03 标记重捕法估算种群、物品总数 / 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 【答案】2000 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设鱼塘中有鱼条，根据频率估计概率，有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，即，解方程即可估计鱼塘中鱼的数量． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故鱼塘中估计约有2000条鱼． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期中）想了解郑州中原区常庄水库里有多少条鱼，工作人员从水库中打捞了50条鱼做上标记，然后放归水库．经过一段时间，有标记的鱼完全混合于鱼群中，他再从水库中任意打捞一条作好标记后放回，如此这般多次打捞试验后，发现打捞到有标记的鱼的频率稳定在，则水库里鱼的条数大约是______． 【答案】 5000 【详解】解：打捞到有标记的鱼的频率稳定在，共有50条鱼做上标记， 水库中估计有（条）． 3．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 【答案】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【分析】本题考查了概率与统计，用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握“频率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案； 问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案； 活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可； 活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：活动一： 袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张； 故答案为：3，20； 活动二：， 表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 黑球的概率是； 总棋数是， 故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则： 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴估计鱼塘中有1500条鱼． 题型04 放回抽样概率 / （1）两次抽取相互独立，每次可选全部元素； （2）用列表/树状图列举有序等可能结果； （3） 。 典｜例｜精｜析 1．（2026·北京东城·一模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵摸出小球后放回再摸， ∴第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球也有4种等可能结果，可得总共有种等可能的结果，其中两次摸出标号相同的结果有，共4种， ∴两次摸出小球标号相同的概率为． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： (1)两次取出小球的标号相同； (2)两次取出小球的标号的和大于4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）先根据题意列表，再利用概率公式即可求解； （2）结合（1）的表格和概率公式即可求解． 【详解】（1）解：列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可得，共有16种等可能情况，两次取出的小球的标号相同有4种， 两次取出的小球的标号相同的概率为：． （2）解：由（1）表格可得，所有可能情况有16种，两次取出的小球标号的和大于4的有，，，，，，，，，，共10种情况， 两次取出的小球的标号和大于4的概率为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（   ） A．在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率 B．甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率 C．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的 D．甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关 【答案】C 【分析】本题考查了概率的计算，根据两种方式游戏规则计算甲、乙在两种方式中获得奖金的概率即可． 【详解】解：在方式一中，甲获得奖金的概率为，乙获得奖金的概率为，A选项错误； 在方式二中，甲获得奖金的概率为，乙获得奖金的概率为，B选项错误； 即甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的，C选项正确，D选项错误； 故选C． 2．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为______ 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：令红色墨水笔为，两支黑色墨水笔为、，列表得： 小红         小明 共有9种等可能出现的结果，墨水颜色相同的情况有5种， ∴小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率的定义，概率等于事件发生的次数除以总试验次数，代入数据直接计算即可． （）先根据白球与红球的数量关系列方程求出红球个数，再根据概率公式计算摸到红球的概率即可． 【详解】（1）解：由题可知一共摸球次，其中摸出红球的次数为次， ∴红球出现的概率为； （2）设红球的数量为，则白球的数量为（）， 由题知白球数量为， ∴， ∴， ∴红球有5个，球的总数为， ∴从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为． 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球然后放回，表格是试验进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 200 300 400 800 1000 2000 摸到黑球的频率 0.22 0.18 0.21 0.19 0.21 0.20 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是___________．（保留1位小数）； (2)求袋中白球的个数； (3)若小明同学摸出一个球后放回，再次摸出一个球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.2 (2)袋中白球的个数为4个 (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.2左右，即为摸出黑球的概率； （2）袋中白球的个数为个，根据概率公式得到，然后解方程即可； （3）画树状图展示所有25种等可能的结果，再找出他两次都摸出白球的结果数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.2左右， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.2． （2）解：设袋中白球的个数为，根据题意得， ， 解得， 经检验是方程的解， ∴袋中白球的个数为4个． （3）解：画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，两次都摸到白球的有16种情况， ∴两次都摸出白球的概率为． 5．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数； （2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题． 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4， ∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个． 故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 题型05 不放回抽样概率 / （1）第二次抽取元素数量减少，无重复结果； （2）分两类：先后抽取（有序）、一次取两个（无序）； （3）树状图/枚举组合计算有利结果。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽安庆·二模）在不透明的甲盒子中装有3个除数字外完全相同的黑球，球上标注的数字依次为1，2，4；在不透明的乙盒子中装有3个除数字外完全相同的白球，球上标注的数字依次为1，3，5．现从甲盒子中随机无放回地摸出2个黑球，将这两个球上的数字之和记为a；从乙盒子中随机无放回地摸出2个白球，将这两个球上的数字之和记为b．以a作为十位数字、b作为个位数字，组成一个两位数．，则这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是______． 【答案】 【分析】先分别求解a的值与b的值所有可能情况，再列表表示两位数N的情况，再由结合算术平方根的定义由概率公式计算即可． 【详解】解：∵甲盒子黑球数字为：1，2，4，无放回摸2个， ∴所有组合之和分别为：，，， ∴a的值可能为：3，5，6，共3种． ∵乙盒子白球数字为：1，3，5，无放回摸2个， ∴所有组合之和分别为：，，， ∴b的值可能为：4，6，8，共3种． 将a和b按组合，得到所有可能的两位数N列表如下： a b 4 6 8 3 34 36 38 5 54 56 58 6 64 66 68 由列表可知，共有9种等可能的结果， 其中算术平方根为有理数，即N是完全平方数的结果有2个：36，64． ∴这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． (1)用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； (2)比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，准确画出树状图是关键． （1）用画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）求出事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率，比较大小即可 【详解】（1）解：记三个球为红球1，红球2与白球，如图 （2）解： 变｜式｜巩｜固 1．（2026·吉林四平·二模）有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知可能出现的结果有12种，其中第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字有6种， ∴第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的概率为． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． (1)从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； (2)从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、轴对称图形的识别；先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：观察4张卡片，是轴对称图形的有和两张卡片， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种：，， ∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 4．（2026·云南·一模）一个不透明的袋子中装有2个红球（记为红1、红2）和2个白球（记为白1、白2），这些球除颜色外都相同．先随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球． (1)用列表法或树状图法求两次摸球所有可能出现的结果总数； (2)求两次摸出的球颜色不同且标号之和为奇数的概率． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到答案； （2）根据树状图找到两次摸出的球颜色不同且标号之和为奇数的结果总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，两次摸球所有可能出现的结果总数为12． （2）解：由（1）可知，两次摸球所有可能出现的结果总数为12，其中两次摸出的球颜色不同且标号之和为奇数的结果总数为4种， ∴两次摸出的球颜色不同且标号之和为奇数的概率． 5．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1)； (2)个； (3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、树状图法求概率，关键在于理解频率稳定值可估计概率，以及掌握概率的计算公式． （1）当试验次数足够多时，摸到黑球的频率会稳定在其概率附近，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率； （2）设白球个数为未知数，根据黑球的概率公式列方程求解，注意检验方程的解； （3）通过树状图法画出无放回摸球的所有等可能结果，再找出“一个黑球一个白球”的结果数，利用概率公式计算概率． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增多，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是； 故答案为：． （2）解：设袋中白球有个， ∵摸出黑球的概率估计为，袋中总球数为个， ∴，解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：袋中白球的个数为3个． （3）解：设黑球为，三个白球分别为、、，画树状图如下： 由树状图可以看出，共有种等可能的结果，其中摸出一个黑球一个白球的结果有种， ∴(摸出一个黑球一个白球)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $