专题10 等可能条件下的概率 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题10 等可能条件下的概率 暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆基础概念板块：划分必然事件、不可能事件、随机事件三类基本事件；掌握等可能试验的判定标准，了解试验结果的等可能性特征。 ◆概率计算板块；掌握等可能条件下的概率计算公式；熟练运用列表法、树状图法列举试验结果，求解两步、多步随机试验概率；掌握几何型等可能概率的计算方法。 ◆综合应用板块;结合生活、游戏、几何场景，利用概率大小判断事件发生的可能性，完成简单的对比分析与合理决策。 ✅本章是初中概率模块的核心基础章节，专门研究等可能条件下的概率计算。整体分为三大模块：随机事件分类、有限等可能试验概率、无限等可能（几何）概率。知识点层层递进，是概率计算、概率应用题的必考核心内容，为后续统计与概率综合应用奠定基础。 ✺学习目标 ◆基础知识 1.精准掌握必然事件、不可能事件、随机事件的教材定义，熟记三类事件对应的概率取值范围，能够快速、准确区分各类事件。 2.理解等可能试验的定义与特征，熟记课本概率计算公式，明确公式的适用条件。 3.掌握列表法、树状图法的适用场景与书写规范，能够不重不漏列举所有基本结果，熟练求解两步及简单多步试验的概率。 4.理解几何场景下的等可能概率，掌握线段、平面图形类几何概率的计算方法。 ◆能力提升 1.具备独立判定试验是否为等可能试验的能力，规范书写概率解题步骤，准确求解基础随机事件概率。 2.能根据试验步数灵活选择列举方法，熟练解决摸球、掷骰子、转盘、抽取卡片等经典概率题型。 3.能结合几何图形边长、面积等条件，准确计算几何背景下的随机事件概率，具备数形结合解题能力。 ◆综合素养 1.建立随机观念，正确认识随机事件的不确定性与规律性，区分确定现象与随机现象，培养数据分析核心素养。 2.结合生活实际场景理解概率意义，摒弃主观经验判断，养成用数据、概率分析问题的思维，提升数学应用能力。 ✺题型归纳 题型1.列举随机实验的所有可能结果 题型2.根据概率公式计算概率 题型3.根据概率作判断 题型4.已知概率求数量 题型5.几何概率 题型6.列举法求概率 题型7.列表法或树状图法求概率 题型8.游戏的公平性 题型9.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 题型11.概率在比赛中的应用 题型12.概率的其他应用 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、事件的分类 1.必然事件 定义：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件。 概率取值：P(A)=1 概率：必然事件发生的概率为1，即P(A)=1。 2.不可能事件 定义：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件。 概率取值：P(A)=0 概率：不可能事件发生的概率为0，即P(A)=0。 3.随机事件 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。 概率范围：随机事件发生的概率在0与1之间，即0<P(A)<1 ★结论：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 补充：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 知识点二、等可能性与等可能条件下的概率 1.等可能试验概念 定义：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有有限个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们就说这个试验的结果具有等可能性。 核心特征：有限性：试验所有基本结果的个数有限； 等可能性：每一个基本结果发生的概率完全相等。 ★注意：只有结果具有等可能性的试验，才能用对应公式计算概率。 2.等可能条件下的概率公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： P(A)= 公式说明:n：一次试验中所有等可能的结果总数；m：事件A所包含的等可能结果个数； 概率取值范围：0≤P(A)≤1。 知识点三：列举法求概率 通用原则：对于结果有限且具有等可能性的试验，可通过有序列举所有结果的方式计算概率，列举时需做到不重复、不遗漏。 1.列表法 适用范围：仅适用于两步独立随机试验，尤其适合结果数量较多、树状图繁琐的题型。 方法优势：表格规整、条理清晰，可直观呈现所有组合结果，有效规避重复、遗漏问题，计算便捷、正确率高。 使用要点：横向、纵向分别对应两步试验的所有可能结果，表格内为组合后的全部基本结果。 2.树状图法 适用范围：通用型列举方法，适用于两步及两步以上的随机试验，多步试验首选。 方法优势：层级分明、逻辑清晰，可清晰展示每一步试验的分支结果，适配三步及以上的复杂试验。 使用要点：按照试验步骤逐层画图，从起点依次分支，完整罗列每一步的所有可能结果。 知识点四、几何型等可能概率 1.概念与特点 定义：当试验的结果有无限多个，且每个结果出现的机会均等时，可以利用几何图形的长度、面积等比值计算事件发生的概率。 2.计算公式与常见类型 公式：P(A)= 常见类型 长度型：线段、区间类，概率=有效长度÷总长度； 面积型：平面图形、转盘类，概率=有效面积÷总面积。 ★结论：几何型概率同样满足0≤P(A)≤1，可用于求解无限结果的等可能试验概率问题。 ✺题型精讲 题型1.列举随机实验的所有可能结果 1．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 2．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 3．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 题型2.根据概率公式计算概率 1．掷两枚均匀的硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是（     ） A． B． C． D．1 2．3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀、溶液、溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是_________． 3．佛山市南海区某校组织春游活动，备选景点共四处：A．西樵山；B．千灯湖公园；C．南海影视城；D．南海湾森林生态园．若小东从这4处景点中任选两处游玩，求千灯湖公园被选中的概率． 题型3.根据概率作判断 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 2．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 3．小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 题型4.已知概率求数量 1．在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 2．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 3．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，求袋中白球的个数？ 题型5.几何概率 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 3．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 题型6.列举法求概率 1．为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 2．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 3．计算: (1)抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是 ． (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率． 题型7.列表法或树状图法求概率 1．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 2．小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 3．疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． (1)小开选择A通道测温进校的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 题型8.游戏的公平性 1．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 2．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 3．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 题型9.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 2．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 3．李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 1．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 2．2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 3．暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 题型11.概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 3．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 题型12.概率的其他应用 1．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 2．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 3．小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ ✺巩固测试 一、单选题 1．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（     ） A．1 B． C． D． 2．科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 4．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 5．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 二、填空题 6．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 7．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 8．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 9．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 10．2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 三、解答题 11．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如表所示． 理化实验操作内容 物理 化学 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验一：氧气的制取 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：探究杠杆的平衡条件 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率． (2)请你用列表或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 12．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 13．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 14．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 15．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 等可能条件下的概率 暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆基础概念板块：划分必然事件、不可能事件、随机事件三类基本事件；掌握等可能试验的判定标准，了解试验结果的等可能性特征。 ◆概率计算板块；掌握等可能条件下的概率计算公式；熟练运用列表法、树状图法列举试验结果，求解两步、多步随机试验概率；掌握几何型等可能概率的计算方法。 ◆综合应用板块;结合生活、游戏、几何场景，利用概率大小判断事件发生的可能性，完成简单的对比分析与合理决策。 ✅本章是初中概率模块的核心基础章节，专门研究等可能条件下的概率计算。整体分为三大模块：随机事件分类、有限等可能试验概率、无限等可能（几何）概率。知识点层层递进，是概率计算、概率应用题的必考核心内容，为后续统计与概率综合应用奠定基础。 ✺学习目标 ◆基础知识 1.精准掌握必然事件、不可能事件、随机事件的教材定义，熟记三类事件对应的概率取值范围，能够快速、准确区分各类事件。 2.理解等可能试验的定义与特征，熟记课本概率计算公式，明确公式的适用条件。 3.掌握列表法、树状图法的适用场景与书写规范，能够不重不漏列举所有基本结果，熟练求解两步及简单多步试验的概率。 4.理解几何场景下的等可能概率，掌握线段、平面图形类几何概率的计算方法。 ◆能力提升 1.具备独立判定试验是否为等可能试验的能力，规范书写概率解题步骤，准确求解基础随机事件概率。 2.能根据试验步数灵活选择列举方法，熟练解决摸球、掷骰子、转盘、抽取卡片等经典概率题型。 3.能结合几何图形边长、面积等条件，准确计算几何背景下的随机事件概率，具备数形结合解题能力。 ◆综合素养 1.建立随机观念，正确认识随机事件的不确定性与规律性，区分确定现象与随机现象，培养数据分析核心素养。 2.结合生活实际场景理解概率意义，摒弃主观经验判断，养成用数据、概率分析问题的思维，提升数学应用能力。 ✺题型归纳 题型1.列举随机实验的所有可能结果 题型2.根据概率公式计算概率 题型3.根据概率作判断 题型4.已知概率求数量 题型5.几何概率 题型6.列举法求概率 题型7.列表法或树状图法求概率 题型8.游戏的公平性 题型9.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 题型11.概率在比赛中的应用 题型12.概率的其他应用 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、事件的分类 1.必然事件 定义：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件。 概率取值：P(A)=1 概率：必然事件发生的概率为1，即P(A)=1。 2.不可能事件 定义：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件。 概率取值：P(A)=0 概率：不可能事件发生的概率为0，即P(A)=0。 3.随机事件 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。 概率范围：随机事件发生的概率在0与1之间，即0<P(A)<1 ★结论：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 补充：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 知识点二、等可能性与等可能条件下的概率 1.等可能试验概念 定义：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有有限个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们就说这个试验的结果具有等可能性。 核心特征：有限性：试验所有基本结果的个数有限； 等可能性：每一个基本结果发生的概率完全相等。 ★注意：只有结果具有等可能性的试验，才能用对应公式计算概率。 2.等可能条件下的概率公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： P(A)= 公式说明:n：一次试验中所有等可能的结果总数；m：事件A所包含的等可能结果个数； 概率取值范围：0≤P(A)≤1。 知识点三：列举法求概率 通用原则：对于结果有限且具有等可能性的试验，可通过有序列举所有结果的方式计算概率，列举时需做到不重复、不遗漏。 1.列表法 适用范围：仅适用于两步独立随机试验，尤其适合结果数量较多、树状图繁琐的题型。 方法优势：表格规整、条理清晰，可直观呈现所有组合结果，有效规避重复、遗漏问题，计算便捷、正确率高。 使用要点：横向、纵向分别对应两步试验的所有可能结果，表格内为组合后的全部基本结果。 2.树状图法 适用范围：通用型列举方法，适用于两步及两步以上的随机试验，多步试验首选。 方法优势：层级分明、逻辑清晰，可清晰展示每一步试验的分支结果，适配三步及以上的复杂试验。 使用要点：按照试验步骤逐层画图，从起点依次分支，完整罗列每一步的所有可能结果。 知识点四、几何型等可能概率 1.概念与特点 定义：当试验的结果有无限多个，且每个结果出现的机会均等时，可以利用几何图形的长度、面积等比值计算事件发生的概率。 2.计算公式与常见类型 公式：P(A)= 常见类型 长度型：线段、区间类，概率=有效长度÷总长度； 面积型：平面图形、转盘类，概率=有效面积÷总面积。 ★结论：几何型概率同样满足0≤P(A)≤1，可用于求解无限结果的等可能试验概率问题。 ✺题型精讲 题型1.列举随机实验的所有可能结果 1．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 2．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 3．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用表示出每个结果． （1）根据表中的结果判断即可； （2）根据表中的结果判断即可； （3）根据表中的结果判断即可． 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 题型2.根据概率公式计算概率 1．掷两枚均匀的硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】掷两枚硬币的结果需区分顺序，列举所有等可能情况后计算概率． 【详解】解：∵掷两枚均匀硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，共4种，其中一枚正面朝上、另一枚反面朝上的结果有2种， ∴所求概率为． 2．3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀、溶液、溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是_________． 【答案】 【分析】三种溶液中只有稀硫酸为酸性，能使紫色石蕊溶液变红，随机选择1支试管所有结果等可能，直接代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵随机向1支试管滴加石蕊溶液，共有种等可能的结果， ∴其中能使溶液变红的结果只有稀硫酸种， ∴所求概率为． 3．佛山市南海区某校组织春游活动，备选景点共四处：A．西樵山；B．千灯湖公园；C．南海影视城；D．南海湾森林生态园．若小东从这4处景点中任选两处游玩，求千灯湖公园被选中的概率． 【答案】 【分析】先得出所有等可能的结果数及包含千灯湖公园的结果数，再由概率公式求解即可． 【详解】解：所有等可能的组合为，，，，，共6种， 其中包含千灯湖公园的组合为：、、，共3种， 所以千灯湖公园被选中的概率为． 题型3.根据概率作判断 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 2．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 3．小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． (1)若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (2)若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； (3)若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 【答案】(1)， (2)1，0 (3)3 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）根据5是最大的数得到小颖抽到的数都小于5，可得小明一定获胜； （3）根据题意得到剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量，据此求解即可． 【详解】（1）解：若小明抽到的数字为2，剩下的数字为1，3，4，5， ∴小颖抽到1的概率为，小颖抽到3，4，5的概率为， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为； （2）解：若小明抽到的数字为5，剩下的数字为1，2，3，4， ∴小颖抽到1，2，3，4的概率为1， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为1，小颖获胜的概率为0； （3）解：∵小明和小颖获胜的概率相同，小明抽完后剩下4张卡片， ∴剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量， ∴小明抽到的数字是3． 题型4.已知概率求数量 1．在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】根据概率公式，已知红球个数和摸出红球的概率，列式即可求出总球数． 【详解】解： 摸出红球的概率 = 红球个数总球数， 已知红球个数为，摸出红球的概率为， 可得总球数为 （个） 即袋中共有18个球． 2．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 【详解】解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 3．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，求袋中白球的个数？ 【答案】 【分析】设白球有个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率所求情况数总情况数列出方程即可求解． 【详解】解：设白球有个， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中白球有个． 题型5.几何概率 1．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 2．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 3．按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2） 略 题型6.列举法求概率 1．为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 2．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 3．计算: (1)抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是 ． (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】根据等可能事件概率的计算方法计算即可； 【详解】（1）P（正面朝上）= （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，朝上一面所有可能出现的结果共有8种， 即（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、 （反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），这些结果出现的可能性相等． 所有的结果中，满足有且只有1次正面朝上（记为事件A）的结果有3种， 即（正，反，反）、（反，正，反）、（反，反，正）． 所以P（A）＝． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，根据题目，分析事件发生的可能性，求出符合题意的事件的概率是解题的关键． 题型7.列表法或树状图法求概率 1．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与取出的2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 白 白 红 红 白 白白 白红 白红 白 白白 白红 白红 红 红白 红白 红红 红 红白 红白 红红 ∵共有12种等可能的结果，取出的2个球的颜色不相同的有8种情况， ∴取出的2个球的颜色不相同的概率为． 2．小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 3．疫情期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求，某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小开和小袁两位同学将随机通过测温通道进入校园． (1)小开选择A通道测温进校的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求这两个同学从不同通道通过的概率． 【答案】(1) (2)这两个同学从不同通道通过的概率． 【分析】（1）直接利用等可能事件概率公式求解． （2）通过列表法列举所有等可能结果，计算符合条件的事件概率． 【详解】（1）解，由题意，共有A、B、C，3个测温通道， 小开选择每个通道的可能性相等，选择A通道的结果有1种， 故小开选择A通道测温进校的概率为． （2）解：由题意，列表可得 小袁           小开 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知，可能出现的结果有种， 这两个同学从不同通道通过（记为事件）的结果有种， 所以这两个同学从不同通道通过的概率． 题型8.游戏的公平性 1．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 2．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查游戏公平性的判断． 判断游戏公平性需要计算双方获胜的概率． 概率相等则规则公平，否则不公平． 分别求出双方获胜的概率，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵骰子六面的数字为1，2，3，4，5，6． 其中6的因数为1，2，3，6，共4个． ∴小海获胜的概率为，小华获胜的概率为， ∵双方获胜的概率不相等，所以这个规则不公平． 3．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （3） 略 题型9.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 2．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 3．李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【答案】(1) (2) ； 【分析】本题考查了画树状图法求概率．熟练掌握利用画树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图表示出所有的可能情况，再根据概率公式进行求解即可； （2）利用概率求获得元奖金的人数，再计算获得元奖金的概率，进而得到获得元奖金的人数，最后用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． 题型10.概率在转盘抽奖中的应用 1．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 2．2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 3．暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：转盘均分12份，红色占1份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （2）解：转盘均分12份，黄色占2份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （3）解：转盘均分12份，绿色占3份，故任意转动一次转盘获得元的概率为. 题型11.概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 3．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 概率的其他应用 题型12.概率的其他应用 1．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 2．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 3．小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【答案】(1)1，不放回，1 (2)随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球 【分析】（1）根据树状图即可解答； （2）根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据树状图可知此次摸球的游戏规则是：随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球； （2）解：∵袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个， ∴随机摸出1个球是蓝球的概率为， 若要使两次均摸出蓝球的概率为，则树状图为： 游戏规则应该变为随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球． ✺巩固测试 一、单选题 1．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率． 2．科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种， ∴选到弱酸性溶液的概率为． 3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在事件发生的概率附近，据此得到摸到黑球的概率，再计算黑球的估计个数即可． 【详解】∵通过大量重复摸球试验后，摸到黑球的频率稳定在， ∴估计摸到黑球的概率为， ∵口袋中共有个小球， ∴袋中黑球约为（个）． 4．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 5．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 二、填空题 6．若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 7．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 8．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 9．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 10．2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 三、解答题 11．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如表所示． 理化实验操作内容 物理 化学 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验一：氧气的制取 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：探究杠杆的平衡条件 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率． (2)请你用列表或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 【答案】(1)小李同学抽到化学实验一的概率为． (2)列表如下： 物理实验化学实验 物理实验一 物理实验二 物理实验三 化学实验一 （物理实验一，化学实验一） （物理实验二，化学实验一） （物理实验三，化学实验一） 化学实验二 （物理实验一，化学实验二） （物理实验二，化学实验二） （物理实验三，化学实验二） 化学实验三 （物理实验一，化学实验三） （物理实验二，化学实验三） （物理实验三，化学实验三） 共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的结果有1种， 小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：化学共有三个实验可选，每个实验被选到的可能性都相同， 小李同学抽到化学实验一的概率为； （2）略． 12．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803 (2) (3)120 (4)④ 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3） 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 13．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1) 树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； (2) 小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）略 （2）略 14．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 15．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $