2.2 反比例函数的图像与性质 同步讲义2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的图像与性质核心知识点，以描点法画图像为起点，系统梳理图像对称性、性质（k与象限及增减性）、系数k的几何意义（矩形和三角形面积）及图像上点的坐标特征（xy=k），构建连贯的学习支架。 该资料按题型分类设计，含解题知识、典例及变式，通过描点法步骤培养几何直观，k的几何意义应用强化推理意识，典例与过关验收题助力课中教学和课后查漏补缺，提升学生应用意识与知识掌握度。

2.2 反比例函数的图像与性质 内 容 导 航 题型1 反比例函数的图象 题型2 反比例函数图象的对称性 题型3 反比例函数的性质 题型4 反比例函数系数k的几何意义 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 考 点 演 练 题型1 反比例函数的图象 解｜题｜知｜识 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【典例1】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的大致图象可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．由一次函数图象得a＜0，b＜0，所以ab＞0，反比例函数图象应在一、三象限，故不符合题意； B．由一次函数图象得a＞0，b＞0，所以ab＞0，反比例函数图象应在一、三象限，故不符合题意； C．由一次函数图象得a＞0，b＜0，所以ab＜0，反比例函数图象应在二、四象限，故不符合题意； D．由一次函数图象得a＜0，b＜0，所以ab＞0，反比例函数图象应在一、三象限，故符合题意． 故选：D． 【变式1】反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知k＝﹣3＜0， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 【变式2】反比例函数为常数，k≠0）的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解答】解：∵k为常数，k≠0， ∴k2＞0， ∴反比例函数为常数，k≠0）的图象位于第一、三象限， 故选：A． 【变式3】函数y＝mx+n与y，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∵函数y＝mx+n经过第一、三、四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴0， ∴函数y图象经过第二、四象限． 与图示图象不符． 故本选项错误； B、∵函数y＝mx+n经过第一、三、四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴0， ∴函数y图象经过第二、四象限． 与图示图象一致． 故本选项正确； C、∵函数y＝mx+n经过第一、二、四象限， ∴m＜0，n＞0， ∴0， ∴函数y图象经过第二、四象限． 与图示图象不符． 故本选项错误； D、∵函数y＝mx+n经过第二、三、四象限， ∴m＜0，n＜0， ∴0， ∴函数y图象经过第一、三象限． 与图示图象不符． 故本选项错误． 故选：B． 题型2 反比例函数图象的对称性 解｜题｜知｜识 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【典例1】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 【答案】1 【解答】解：设反比例函数解析式y， 由题意可得：P点坐标为：（1，1）， 故图中阴影部分的面积为：1×1＝1． 故答案为：1． 【变式1】如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y的图象上，则图中阴影部分的面积等于　　 ． 【答案】π 【解答】解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r＝1， 则面积S＝πr2＝π． 故答案为：π． 【变式2】如图，反比例函数y（k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为 　 　 ． 【答案】（2，﹣1） 【解答】解：∵点A与B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，1）， ∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故答案为：（2，﹣1）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 【答案】4 【解答】解：把P（2a，a）代入y得2a•a＝2，解得a＝1或﹣1， ∵点P在第一象限， ∴a＝1， ∴P点坐标为（2，1）， ∴正方形的面积＝4×4＝16， ∴图中阴影部分的面积S正方形＝4． 故答案为4． 题型3 反比例函数的性质 解｜题｜知｜识 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：反比例函数中，k＝﹣3＜0， A、∵当x＝﹣1时，，∴图象经过点（﹣1，3），正确，不符合题意； B、k＜0，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； C、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； D、∵k＜0，∴当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式1】在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． 【变式2】关于反比例函数y，下列说法中错误的是（　　） A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点（2，﹣1）在函数图象上 D．当x＜﹣1时，y＞2 【答案】D 【解答】解：A、当x＜0时，y随x的增大而增大，说法正确； B、图象位于第二、四象限，说法正确； C、点（2，﹣1）在函数图象上，故说法正确； D、当x＜﹣1时，y＜2，故原说法错误； 故选：D． 【变式3】关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【答案】A 【解答】解：A、关于反比例函数，当x＞0时，函数值y＜0，故A正确； B、关于反比例函数，在x＜0或x＞0，y随x的增大而增大，故B错误； C、关于反比例函数，点（1，5）不在该函数图象上，故C错误； D、关于反比例函数，图象在第二、四象限，故D错误； 故选：A． 题型4 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜知｜识 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【典例1】如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则k＝　 　 ． 【答案】18． 【解答】解：如图，∵点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上． ∴S矩形ACOF＝k，S矩形BDOE＝6， ∵阴影部分的面积为12， ∴k﹣6＝12， ∴k＝18． 故答案为：18． 【变式1】如图，M为反比例函数y图象上一点，MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2时，k＝　　 ． 【答案】4 【解答】解：如图所示：∵MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2， ∴AM•AO＝4， ∴k＝4． 故答案为：4． 【变式2】如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为　 　 ． 【答案】4 【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB＝2， ∴S△AOB|k|＝2， ∴k＝±4． ∵函数在第一象限有图象， ∴k＝4． 故答案为：4． 【变式3】反比例函数y的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝3，那么k的值是　 　 ． 【答案】﹣6 【解答】解：∵MN垂直于x轴，垂足是点N，S△MON|k|＝3， ∴|k|＝3， ∵函数图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例1】若点（﹣6，y1）、（﹣2，y2）、（5，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则有（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【答案】B 【解答】解：∵点（﹣6、y1），（﹣2、y2），（5、y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上， ∴y1，y2，y3， ∵k＜0， ∴0， 即y2＞y1＞y3． 故选：B． 【变式1】若反比例函数图象经过点（﹣2，3），则k的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【解答】解：反比例函数k＞0，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜0，2＞0， ∴y3＞y1＞y2， 故选：C． 【变式3】如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为（3，6），则点E的坐标为（　　） A． B．（6，3） C． D．（9，2） 【答案】B 【解答】解：∵点B的坐标为（3，6）在反比例函数上， ∴． ∴k＝18． ∴反比例函数的解析式为， ∵点E在反比例函数图象上， ∴可设， ∴， ∵正方形ADEF， ∴， ∴a1＝6，a2＝﹣3， ∵a＞0， ∴a＝6， ∴E（6，3）． 故选：B． 过 关 验 收 1．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0． ∴正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限， 反比例函数y的图象经过第二、四象限． 综上所述，符合条件的图象是C选项． 故选：C． 2．如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】k1＜k3＜k2 【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小， 则k1＜0，k2＞k3＞0， 所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2． 故答案为：k1＜k3＜k2． 3．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度，反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k＝ ． 【答案】4． 【解答】解：根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n﹣2）， 设解析式为y（k＞0）， 将点M，N代入反比例函数中， 得n＝2（n﹣2）， ∴n＝4， ∴点M（1，4）， ∴k＝4． 故答案为：4． 4．已知反比例函数y的图象如图所示，写出一个符合条件的k值： 　 ． 【答案】1（答案不唯一）． 【解答】解：∵点P（3，3）在的图象的右上方， ∴当x＝3时，y＜3， ∴， ∴0＜k＜9， ∴k值可以是k＝1． 故答案为：1（答案不唯一）． 5．如图是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为 ． 【答案】k1＜k2＜k3 【解答】解：读图可知：三个反比例函数y的图象在第二象限；故k1＜0；y，y在第一象限；且y的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3． 6．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 7．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 8．对于反比例函数y的图象的对称性叙述错误的是（　　） A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 【答案】D 【解答】解：反比例函数y的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称， ∵它的图象在第一、三象限， ∴不关于x轴对称， A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意， 故选：D． 9．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（　　） A． B． C．π D．4π 【答案】C 【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），且⊙A与x轴相切， ∴⊙A的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）， 同理得到⊙B的半径为1， ∴⊙A与⊙B关于原点中心对称， ∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分完全重合， ∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和＝π•12＝π． 故选：C． 10．若直线y＝kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为　 　 ． 【答案】6 【解答】解：由题意知，直线y＝ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y交于两点，则这两点关于原点对称， ∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2， 又∵点A点B在双曲线y上， ∴x1×y1＝2，x2×y2＝2， ∴原式＝﹣2x2y2+5x2y2＝﹣2×2+5×2＝6． 故答案为：6． 11．对于反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解答】解：A、把x＝﹣2代入解析式得y＝5，所以点（﹣2，5）在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵k＝﹣10＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、∵k＝﹣10＜0，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 12．对于反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4 【答案】C 【解答】解：根据反比例函数的系数大于0时，反比例函数在一三象限内y随x的增大而减小 ∴k﹣4＞0， ∴k＞4． 故选：C． 13．已知反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 　 ． 【答案】m＜5 【解答】解：∵反比例函数y的图象在第二、四象限， ∴m﹣5＜0， 解得m＜5． 故答案为：m＜5． 14．反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是 ． 【答案】x≥2或x＜0． 【解答】解：当y＝﹣1时，则有，即x＝2， ∵k＝﹣2＜0，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限， ∴当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0； 故答案为：x≥2或x＜0． 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 ． 【答案】k＜﹣2． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k+2＜0， ∴k＜﹣2． 故答案为：k＜﹣2． 16．若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大， ∴ 解得：a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 17．如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】A 【解答】解：由条件可知， 解得：k＝±4， ∵k＜0， ∴k＝﹣4， 故选：A． 18．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：图1中，阴影面积为4； 图2中，阴影面积为4＝2； 图3中，阴影面积为24＝4； 图4中，阴影面积为44＝8； 则阴影面积为4的有2个． 故选：B． 19．反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1 【答案】C 【解答】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确； D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误． 故选：C． 20．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（　　） A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36 【答案】C 【解答】解：连接OP， ∵点B是点A关于x轴的对称点， ∴OA＝OB， ∴S△AOP＝S△POBS△PAB， ∵△PAB的面积为18， ∴S△AOP＝9， ∴|k|＝18． 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k＝﹣18． 故选：C． 21．已知反比例函数y（x＜0）与y（x＞0）的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点．若点A是x轴上的任意一点，连接MA，NA，则S△AMN等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：连接ON、OM， ∵MN∥x轴， ∴S△AMN＝S△OMN＝S△OPM+S△OPN， ∵S△OPM3，S△OPN1， ∴S△AMN＝S△OMN＝S△OPM+S△OPN＝3+1＝4， 故选：C． 22．已知反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 D．若图象上两个点的坐标分别是 M （﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则 y1＞y2 【答案】C 【解答】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是 M （﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则 y1＜y2，所以D选项错误． 故选：C． 23．如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【解答】解：连接OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝4， 而S△OAB|k|， ∴|k|＝4， ∵k＜0， ∴k＝﹣8． 故选：D． 24．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么（　　） A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＞2 D．S＝2 【答案】D 【解答】解：∵A，B是函数y（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点， ∴若假设A点坐标为（x，y）， 则B点坐标为（﹣x，﹣y）． ∴CD＝2x，AC＝BD＝y， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△BCD＝2xy＝2． 故四边形ABCD的面积S是2． 故选：D． 25．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，∠A＝60°，则k的值为（　　） A．﹣18 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 【答案】A 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F， 由条件可知∠BOF＝∠OAE＝90°﹣∠AOE， 又∵∠BFO＝∠OEA＝90°， ∴△BFO∽△OEA， 由条件可知， ∴， ∵， ∴S△BFO＝9， ∴|k|＝2S△BFO＝18， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣18． 故选：A． 26．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上， ∴y1＝2，y2＝﹣2，y3， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 27．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB的长为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：设点，则点，． 由条件可知，解得t＝1（负值舍去）， ∴点C（1，1）， ∴点B（3，1），A（1，3）， ∴AC＝BC＝2， ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴AC⊥BC， ∴． 故选：B． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形AOB的顶点A在第一象限，点B（3，0），双曲线把△AOB分成两部分，若这两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为 ． 【答案】1＜k＜2． 【解答】解：由题意得，在△AOB中的整点为：（1，1），（2，1）， 当刚好经过（1，1）时，k＝1， 当刚好经过（2，1）时，k＝2， ∴1＜k＜2 故答案为：1＜k＜2． 29．已知点A（﹣2，a）、B（1，b）、C（3，c）都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为 （用“＜”号连接）． 【答案】a＜c＜b． 【解答】解：将点A（﹣2，a）、B（1，b）、C（3，c）分别代入反比例函数得： ， b＝m， ， ∵m＞0，， ∴，， 即：a＜0，b＞c＞0， ∴a＜c＜b， 故答案为：a＜c＜b． 30．参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y1，即y1．所以我们对比函数y来探究． 列表 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数y的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） ②y的图象是由y的图象向 平移 个单位而得到． ③y图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】（1）函数图象见解析过程； （2）①增大； ②上，1； ③（0，1）． 【解答】解：（1）函数图象，如图所示， ． （2）①由函数图象可知， 当x＜0时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． ②因为y， 所以函数y的图象可由函数y的图象向上平移1个单位而得到． 故答案为：上，1． ③由函数图象可知， 函数y的图象关于点（0，1）中心对称． 故答案为：（0，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 反比例函数的图像与性质 内 容 导 航 题型1 反比例函数的图象 题型2 反比例函数图象的对称性 题型3 反比例函数的性质 题型4 反比例函数系数k的几何意义 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 考 点 演 练 题型1 反比例函数的图象 解｜题｜知｜识 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【典例1】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的大致图象可能的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】反比例函数为常数，k≠0）的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式3】函数y＝mx+n与y，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型2 反比例函数图象的对称性 解｜题｜知｜识 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【典例1】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 【变式1】如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y的图象上，则图中阴影部分的面积等于　　 ． 【变式2】如图，反比例函数y（k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为 　 　 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 题型3 反比例函数的性质 解｜题｜知｜识 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【变式1】在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【变式2】关于反比例函数y，下列说法中错误的是（　　） A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点（2，﹣1）在函数图象上 D．当x＜﹣1时，y＞2 【变式3】关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 题型4 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜知｜识 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【典例1】如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则k＝　 　 ． 【变式1】如图，M为反比例函数y图象上一点，MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2时，k＝　　 ． 【变式2】如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为　 　 ． 【变式3】反比例函数y的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝3，那么k的值是　 　 ． 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例1】若点（﹣6，y1）、（﹣2，y2）、（5，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则有（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【变式1】若反比例函数图象经过点（﹣2，3），则k的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【变式2】在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【变式3】如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为（3，6），则点E的坐标为（　　） A． B．（6，3） C． D．（9，2） 过 关 验 收 1．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 3．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度，反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k＝ ． 4．已知反比例函数y的图象如图所示，写出一个符合条件的k值： 　 ． 5．如图是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为 ． 6．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 7．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 8．对于反比例函数y的图象的对称性叙述错误的是（　　） A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 9．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（　　） A． B． C．π D．4π 10．若直线y＝kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为　 　 ． 11．对于反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 12．对于反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4 13．已知反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 　 ． 14．反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是 ． 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 ． 16．若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是　 ． 17．如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 18．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1 20．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（　　） A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36 21．已知反比例函数y（x＜0）与y（x＞0）的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点．若点A是x轴上的任意一点，连接MA，NA，则S△AMN等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 22．已知反比例函数y图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 D．若图象上两个点的坐标分别是 M （﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则 y1＞y2 23．如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 24．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么（　　） A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＞2 D．S＝2 25．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，∠A＝60°，则k的值为（　　） A．﹣18 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 26．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 27．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB的长为（　　） A． B． C．4 D． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形AOB的顶点A在第一象限，点B（3，0），双曲线把△AOB分成两部分，若这两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为 ． 29．已知点A（﹣2，a）、B（1，b）、C（3，c）都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为 （用“＜”号连接）． 30．参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y1，即y1．所以我们对比函数y来探究． 列表 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数y的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） ②y的图象是由y的图象向 平移 个单位而得到． ③y图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 学科网（北京）股份有限公司 $