1.2反比例函数的图像与性质（讲义，5知识12大题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图像与性质核心知识点，系统梳理从图象绘制（列表、描点、连线）到象限分布（k符号决定），再到增减性（同一象限内变化）、对称性（中心对称）及应用（待定系数法等）的完整脉络，搭建阶梯式学习支架。 资料以结构化知识点+分层练习为特色，通过“即学即练”和12类题型（如判断象限、比较函数值），培养抽象能力（k与图象关系）、推理意识（增减性应用）、应用意识（扳手用力等实例）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺。

第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图像与性质 知识点一 反比例函数的图象 1. 反比例函数图象的基本形状：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这种曲线叫做双曲线。 2. 反比例函数图象的绘制步骤： ①列表：选取自变量x的若干个值（需注意x≠0，可选取正数、负数，且尽量对称，如-4、-3、-2、-1、1、2、3、4），计算出对应的函数值y； ②描点：以自变量x的值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，注意分两支绘制（正数x对应一支，负数x对应一支），不可连接成直线，且曲线要贴合所有描出的点。 即学即练 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 知识点二 反比例函数图象所在象限 1. 反比例函数图象的位置（所在象限）由比例系数k的符号决定，分为两种情况，具体如下： ①当k>0时：双曲线的两支分别位于第一、三象限（如）； ②当k<0时：双曲线的两支分别位于第二、四象限（如）。 2. 推导依据：由变形得xy=k，x与y的符号由k决定，同号时在第一、三象限，异号时在第二、四象限。 即学即练 1．（2026·云南保山·一模）反比例函数的图象分别位于() A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 知识点三 反比例函数的增减性 1. 当k>0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小（注意：不能说“y随x的增大而减小”，需限定“同一象限”）； 当k<0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大（同理，需限定“同一象限”）。 即学即练 1．（2026·江苏镇江·一模）用扳手拧螺丝时，拧动螺丝的力（单位：）与扳手的长度（单位：）满足反比例函数关系．当扳手的长度增大时，所需用力会（   ） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 知识点四 反比例函数图象的对称性 1. 中心对称：双曲线的两支关于原点成中心对称，即若点（a，b）在反比例函数图象上，则点（-a，-b）也在该图象上；对于和（k≠0），它们的图象关于x轴、y轴都对称。 即学即练 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点五 反比例函数图象的相关应用 1. 待定系数法求解析式步骤： ① 设：设解析式为 ； ② 代：将已知点 代入，得 ； ③ 求：计算 的值； ④ 写：写出完整解析式。 2. 由图像确定函数解析式：反比例函数只有1个待定系数k，只需知道图象上一个点的坐标（x₀，y₀），代入，即可求出k=x₀y₀，进而确定解析式。 3. 由函数解析式判断点是否在图象上：将点的坐标（a，b）代入解析式，若满足（即ab=k），则点在图象上；否则不在。 4. 利用增减性比较函数值大小：① 判断k的符号，确定函数增减性；② 判断两个点是否在同一象限；③ 根据增减性比较y值大小。 5. 根据自变量取值范围确定函数值范围（或反之）：结合函数图象，找到自变量对应的图象区间，进而确定函数值的取值范围（数形结合思想）。 即学即练 1．（2026·广东汕头·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·一模）已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 题型01 判断反比例函数图象所在象限 / （1）：图象在一、三象限；：图象在二、四象限. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）函数的图象分别在（    ） A．第一象限和第三象限 B．第二象限和第四象限 C．第一象限和第四象限 D．第二象限和第三象限 变｜式｜巩｜固 1．（2026·云南昭通·一模）反比例函数过点，请问该反比例函数的图像分布在（    ）． A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 题型02 结合 k 的取值范围判断图象特征 / （1）由正负定象限、曲线弯曲趋势； （2）越大，双曲线离坐标轴越远. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 题型03 根据 k 值判断函数增减性 / （1），每个象限内随增大而减小； （2），每个象限内随增大而增大. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西大同·模拟预测）下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点在该函数的图象上 D．在每一象限内，y随x的增大而减小 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 2．（2026·江苏徐州·二模）反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 题型04 比较反比例函数自变量值/函数值大小 / （1）同象限：按增减性直接比； （2）跨象限：正负数值直接区分大小； （3）赋值代入计算对比. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河北·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知都在反比例函数的图象上，若，则___________0（填“”“ ”或“”） 4．（25-26九年级上·北京·月考）若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）． 题型05 由反比例函数的对称性求点的坐标 / （1）关于原点对称：； （2）关于直线对称：； （3）关于直线对称：. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 2．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 题型06 根据图象性质求参数范围 / （1）由象限、增减性、点位置列不等式，联立求解参数. 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的值是________． 题型07 计算双曲线上点与坐标轴围成图形面积 / （1）点在上，矩形面积，直角三角形面积. 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．（2026·广东江门·二模）如图，和均为正三角形，点A、C均在x轴上，且点B、D均在反比例函数上，连接交于点P，连，则阴影面积为________． 3．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 题型08 根据图形面积求比例系数 / （1）套用或列式，结合图象象限判定正负. 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东深圳·二模）如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．14 2．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 题型09 反比例函数与一次函数图象综合辨析 / （1）分别根据、一次项系数、常数项，判断各自图象象限、走势，匹配选项. 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型10 画反比例函数图象 / （1）列表取值（正负对称取值，不取0）→描点→平滑双曲线连线，分两支绘制. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南平顶山·一模）在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为______． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 3．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 题型11 反比例函数与几何综合 / （1）设点坐标代入解析式，结合边长、勾股、全等相似、面积公式列式计算. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 2．（2026·河南许昌·二模）如图，将矩形放置在平面直角坐标系内，顶点A，D在y轴正半轴上．已知，点，反比例函数（，）的图象经过点B． (1)求k的值． (2)把矩形沿x轴正方向平移m（）个单位长度，使得矩形的一个顶点落在这个反比例函数的图象上，求m的值． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求k的值． (2)过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 4．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 题型12 反比例函数与一次函数综合 / （1）联立解析式求交点坐标； （2）结合图象比较函数值大小； （3）利用交点、坐标轴围成图形算面积. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 2．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当 时，求x的取值范围； (3)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图像与性质 知识点一 反比例函数的图象 1. 反比例函数图象的基本形状：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这种曲线叫做双曲线。 2. 反比例函数图象的绘制步骤： ①列表：选取自变量x的若干个值（需注意x≠0，可选取正数、负数，且尽量对称，如-4、-3、-2、-1、1、2、3、4），计算出对应的函数值y； ②描点：以自变量x的值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，注意分两支绘制（正数x对应一支，负数x对应一支），不可连接成直线，且曲线要贴合所有描出的点。 即学即练 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与值对比，相等则该点在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 知识点二 反比例函数图象所在象限 1. 反比例函数图象的位置（所在象限）由比例系数k的符号决定，分为两种情况，具体如下： ①当k>0时：双曲线的两支分别位于第一、三象限（如）； ②当k<0时：双曲线的两支分别位于第二、四象限（如）。 2. 推导依据：由变形得xy=k，x与y的符号由k决定，同号时在第一、三象限，异号时在第二、四象限。 即学即练 1．（2026·云南保山·一模）反比例函数的图象分别位于() A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【详解】解：∵中，， ∴该反比例函数的图象位于第一、三象限． 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 3．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为， ∴点一定在的左侧． 知识点三 反比例函数的增减性 1. 当k>0时：在每一个象限内，y随x的增大而减小（注意：不能说“y随x的增大而减小”，需限定“同一象限”）； 当k<0时：在每一个象限内，y随x的增大而增大（同理，需限定“同一象限”）。 即学即练 1．（2026·江苏镇江·一模）用扳手拧螺丝时，拧动螺丝的力（单位：）与扳手的长度（单位：）满足反比例函数关系．当扳手的长度增大时，所需用力会（   ） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由题意可设拧动螺丝的力（单位：）与扳手的长度（单位：）满足的函数关系为， ∴当扳手的长度增大时，所需的力会减小． 2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数在象限内的增减性与比例系数的关系求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小 ∴ ∴． 故选：D． 3．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 知识点四 反比例函数图象的对称性 1. 中心对称：双曲线的两支关于原点成中心对称，即若点（a，b）在反比例函数图象上，则点（-a，-b）也在该图象上；对于和（k≠0），它们的图象关于x轴、y轴都对称。 即学即练 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 2．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点的坐标为，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 知识点五 反比例函数图象的相关应用 1. 待定系数法求解析式步骤： ① 设：设解析式为 ； ② 代：将已知点 代入，得 ； ③ 求：计算 的值； ④ 写：写出完整解析式。 2. 由图像确定函数解析式：反比例函数只有1个待定系数k，只需知道图象上一个点的坐标（x₀，y₀），代入，即可求出k=x₀y₀，进而确定解析式。 3. 由函数解析式判断点是否在图象上：将点的坐标（a，b）代入解析式，若满足（即ab=k），则点在图象上；否则不在。 4. 利用增减性比较函数值大小：① 判断k的符号，确定函数增减性；② 判断两个点是否在同一象限；③ 根据增减性比较y值大小。 5. 根据自变量取值范围确定函数值范围（或反之）：结合函数图象，找到自变量对应的图象区间，进而确定函数值的取值范围（数形结合思想）。 即学即练 1．（2026·广东汕头·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 2．（2026·重庆沙坪坝·一模）已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴将，代入解析式得 ∴ 3．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 题型01 判断反比例函数图象所在象限 / （1）：图象在一、三象限；：图象在二、四象限. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）函数的图象分别在（    ） A．第一象限和第三象限 B．第二象限和第四象限 C．第一象限和第四象限 D．第二象限和第三象限 【答案】B 【分析】根据比例系数k的符号判断图象所在象限即可. 【详解】解：∵， ∴ 反比例函数的图象分别位于第二象限和第四象限. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·云南昭通·一模）反比例函数过点，请问该反比例函数的图像分布在（    ）． A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数k，再根据反比例函数的性质判断图像所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴， ∴ 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限． 2．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵ ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限 题型02 结合 k 的取值范围判断图象特征 / （1）由正负定象限、曲线弯曲趋势； （2）越大，双曲线离坐标轴越远. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 题型03 根据 k 值判断函数增减性 / （1），每个象限内随增大而减小； （2），每个象限内随增大而增大. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西大同·模拟预测）下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点在该函数的图象上 D．在每一象限内，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】先确定反比例函数中的值，再根据反比例函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：对于反比例函数，可得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，因此B正确，A，D错误； 将代入函数，得 ，因此点不在该函数图象上，C错误． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 2．（2026·江苏徐州·二模）反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 题型04 比较反比例函数自变量值/函数值大小 / （1）同象限：按增减性直接比； （2）跨象限：正负数值直接区分大小； （3）赋值代入计算对比. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数与直线的交点位置判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的增减性比较与的大小． 【详解】解：∵函数与交于两点，，且， ∵直线经过第二，四象限 ∴函数在第二，四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大 ∴点在第二象限 ∵点也在函数的图象上， ∴点也在第二象限，且 ∴． 2．（2026·天津河北·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出横坐标，直接比较大小即可. 【详解】∵ 点都在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据确定三个点横坐标的取值范围，再结合反比例函数的增减性比较的大小即可 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小。 ∵， ∴三个点的横坐标满足：，，， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， ∵， ∴根据反比例函数增减性，得， ∴ 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵对于任意实数均有， ∴， ∴反比例函数的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， 又∵在第一象限内随的增大而减小，且， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知都在反比例函数的图象上，若，则___________0（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数性质． 根据反比例函数性质，结合自变量取值范围判断函数值符号，再计算差值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，当时， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京·月考）若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数的解析式得到该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点和都在第一象限，且， ∴． 故答案为： 题型05 由反比例函数的对称性求点的坐标 / （1）关于原点对称：； （2）关于直线对称：； （3）关于直线对称：. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 2．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 题型06 根据图象性质求参数范围 / （1）由象限、增减性、点位置列不等式，联立求解参数. 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正半轴上两点的纵坐标关系判断函数增减性，再结合点的位置验证的符号即可得到答案． 【详解】解： 点、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，， 当时，随的增大而增大， ， 当时，点在第二象限，，点、在第四象限，，此时满足， 的取值范围是． 4 2．（2026·河南周口·二模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质，时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵，即， 若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得，与已知矛盾， ∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限， 可得不等式组，， 解得， 故选：C． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的值是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，图象上任意一点都满足，先通过点、的坐标列出关于和的方程组，求出的可能取值，再分别验证并排除不符合的情况，最终得到的值． 【详解】解：、在反比例函数的图象上， ， 解得：或， 当时，，此时，将代入得，不符合题意； 当时，，此时，将代入得，符合题意． 故． 题型07 计算双曲线上点与坐标轴围成图形面积 / （1）点在上，矩形面积，直角三角形面积. 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 2．（2026·广东江门·二模）如图，和均为正三角形，点A、C均在x轴上，且点B、D均在反比例函数上，连接交于点P，连，则阴影面积为________． 【答案】8 【分析】由等边三角形的性质得，推出，进而可得，再根据点B在反比例函数上，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 和均为正三角形， ， ， 点P与点A到的距离相等， ， 为正三角形，， ， 又点B在反比例函数上， ． 3．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 题型08 根据图形面积求比例系数 / （1）套用或列式，结合图象象限判定正负. 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点作交于点，根据，推出，结合题意设，结合轴求出的坐标，求出的值，再根据即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵双曲线的图象经过，设， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵双曲线的图象经过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东深圳·二模）如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质， 结合三角形及平行四边形面积公式可得， 则设， 得到方程， 解得， 再根据反比例函数的几何意义得到， 即可求解． 【详解】解: ， ，， ， 设， ， ， ， ， ． 2．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点的坐标为，根据轴，可知点的横坐标为，可以求出点的纵坐标为，从而可得，，根据的面积为，可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 点是中点，设点的坐标为， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 点的横坐标为， ， ，， ， 的面积为， ， 解得：． 题型09 反比例函数与一次函数图象综合辨析 / （1）分别根据、一次项系数、常数项，判断各自图象象限、走势，匹配选项. 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 题型10 画反比例函数图象 / （1）列表取值（正负对称取值，不取0）→描点→平滑双曲线连线，分两支绘制. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南平顶山·一模）在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用列表描点法画出函数图象即可； （3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的5倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2， 则， 关于的函数关系式是，的取值范围是， （2）解：由（1）可知，， 列表如下： 描点连线，函数图象如下： （3）解：令，则， 则， 联立， 解得：，（舍去）， ，即点E到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ， 点是x轴上的点， 设，则，如图 的面积等于面积的5倍， ， 即， ， 点的坐标为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为______． 【答案】(1)； (2)填表、画图见解析； (3)． 【分析】（）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （）先完成表格，再描点、连线； （）结合图象即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：列表： 描点： 连线： 画图象如下， （3）解：根据函数图象可知函数的最大值为：当时，， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 【答案】(1)，图见解析； (2)或． 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再列表格，画出函数图象的另一支图象即可； （2）当时，；当时，由，可求，即可求解． 【详解】（1）把点代入，即， 解得：， 反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： 列表格： （2）由图象得： 当时，， ∴， 当时，， 解得， 则时，， 当，且时，或． 3．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 题型11 反比例函数与几何综合 / （1）设点坐标代入解析式，结合边长、勾股、全等相似、面积公式列式计算. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入，即可解答； （2）先求出点，再结合为等边三角形，可得，过点C作于点D，则，再利用勾股定理可得的长，即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解；∵直线轴，交轴于点， ∴点B的纵坐标为3， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 如图，过点C作于点D，则， ∴， ∴点C的坐标为． 2．（2026·河南许昌·二模）如图，将矩形放置在平面直角坐标系内，顶点A，D在y轴正半轴上．已知，点，反比例函数（，）的图象经过点B． (1)求k的值． (2)把矩形沿x轴正方向平移m（）个单位长度，使得矩形的一个顶点落在这个反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)m的值为4或． 【分析】（1）利用矩形的性质求得，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将矩形放置在平面直角坐标系内，顶点A，D在y轴正半轴上．已知，点， ∴，，， ∴， ∵反比例函数（，）的图象经过点B， ∴； （2）解：把矩形沿x轴正方向平移m（）个单位长度，使得矩形的一个顶点落在这个反比例函数的图象上，分两种情况讨论， 平移后，顶点落在这个反比例函数的图象上，则平移后，顶点的坐标为， ∴， 解得； 平移后，顶点落在这个反比例函数的图象上，则平移后，顶点的坐标为， ∴， 解得； 综上，m的值为4或． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求k的值． (2)过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）求出，，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A和B对应的刻度分别为和， ． 又，轴， ． 把代入， 得， 解得， （2）证明：∵直尺的宽度为，， ∴点C的横坐标为4． 将代入， 得， ． ， ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 4．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 【答案】(1)；（） (2) 【分析】本题是考查反比例函数，一次函数和几何图形结合的综合题． （1）根据点，的坐标得到一次函数的表达式，根据点的坐标得到反比例函数的表达式． （2）根据，得到点是的中点，继而得到，将点代入反比例函数的表达式得到． 【详解】（1）解：将点，的坐标代入一次函数， 得，解得，    ∴一次函数的表达式为，    将点代入反比例函数（），得， ∴反比例函数的表达式为（）； （2）解：∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点，， ∴点， ∴点代入反比例函数的表达式，得：， ∴解得：． 题型12 反比例函数与一次函数综合 / （1）联立解析式求交点坐标； （2）结合图象比较函数值大小； （3）利用交点、坐标轴围成图形算面积. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴， ∴， 将，代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， ∴，． 如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得：或． （3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接交y轴于点P，此时，的周长最小． ∵点， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点P的坐标为． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 2．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当 时，求x的取值范围； (3)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)点的坐标为或 【分析】（1）由B的坐标，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象即可得到不等式的解集； （3）先求出M，N的坐标，再分和，表示出四边形面积，计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）由图象得，当时，即时，x的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，，当时，， ， 当时， ， ， ， ， 点的坐标为， 如下图， 当时，， ， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小 (3)或 【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出；当点P在上时，，此时；当点P在上时，，此时；然后根据三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于H， ∵，，， ∴， 由题意可知，， 当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， ∴； 当时，， 当时，， ∴综上所述：；； （2）解：图象如图所示，即为所求： 函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小； （3）解：根据图象可得：当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $