专题 1.5 反比例函数与一次函数综合 讲义- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数与一次函数综合，梳理基础知识对比、交点问题（联立方程及判别式）、函数图象与不等式取值范围（看图定范围，x=0为分界）、综合面积计算（割补法与坐标公式法）、解析式求解（待定系数法及几何条件反推），构建从基础到综合的学习支架。 资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为特色，题型精析含8类题型及变式，如图象辨析培养几何直观（数学眼光），不等式解集训练推理意识（数学思维），实际应用强化模型意识（数学语言）。课中辅助教学，课后助力查漏补缺，分层巩固。

专题 1.5 反比例函数与一次函数综合（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一次函数与反比例函数基础知识对比 1 【知识点二】反比例函数与一次函数交点问题 2 【知识点三】函数图象位置与不等式取值范围（高频难点） 2 【知识点四】综合面积计算（必考模型） 2 【知识点五】解析式综合求解 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】反比例函数与一次函数图象综合辨析 3 【题型 2】已知反比例函数与一次函数图象交点情况求值 5 【题型 3】已知反比例函数与一次函数交点求解集 7 【题型 4】已经双曲线与直线交点坐标求解析式 10 【题型 5】反比例函数与一次函数面积综合 12 【题型 6】反比例函数与一次函数实际应用 15 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 21 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 26 三.同步检测 34 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 34 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 41 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 49 一.知识梳理与解读 【知识点一】一次函数与反比例函数基础知识对比 1. 一次函数：，图象为直线，单调递增/递减，经过一、二、三、四象限中部分象限。 2. 反比例函数：，图象为双曲线，分两支，象限、增减性由决定。 综合解题核心：直线与双曲线结合问题，所有关键信息均来自交点坐标。 【知识点二】反比例函数与一次函数交点问题 1. 求交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，组成方程组求解。 方程组： 消去得：，整理为一元二次方程求解横坐标，再回代求纵坐标。 2. 交点个数判定：根据化简后一元二次方程的判别式判断： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点。 【知识点三】函数图象位置与不等式取值范围（高频难点） 已知直线与双曲线交于、（），比较函数大小无需复杂计算，直接看图定范围： 1. 直线在双曲线上方：，取对应图象上方的x取值区间； 2. 直线在双曲线下方：，取对应图象下方的x取值区间； 关键易错点：必须拆分区间，x=0为分界点，左右区间单独判断，不可合并。 【知识点四】综合面积计算（必考模型） 直线与双曲线交于两点，求两点与坐标轴原点/坐标轴围成的三角形面积，通用两种方法： 1. 割补法（通用）：利用一次函数与y轴/x轴交点，将不规则三角形分割为两个规则三角形求和/求差； 2. 坐标公式法：已知两点坐标，结合坐标轴截距快速计算； 核心结论：综合面积问题，优先找一次函数坐标轴截距和两个交点横坐标。 【知识点五】解析式综合求解 已知两个函数图象相交，只需知道一个交点坐标，即可分别用待定系数法求解反比例、一次函数解析式；若无直接坐标，可通过几何条件、面积条件反推点坐标。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数与一次函数图象综合辨析 【例题1】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式1】（2024·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，一次函数与轴的交点坐标为，根据当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限；对各选项判断作答即可． 解：由题意知，一次函数与轴的交点坐标为， 当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限； ∴A正确，故符合要求；B、C、D错误，故不符合要求； 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，一次函数的图象应该经过二、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型 2】已知反比例函数与一次函数图象交点情况求值 【例题2】（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 【变式2】（2024山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）若函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数解析式得到，是解决本题的关键． 根据函数解析式，可得，，进而得出，进一步进行计算即可求解． 解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∴ 故答案为：． 【题型 3】已知反比例函数与一次函数交点求解集 【例题3】（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 【变式1】（2024九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 【变式2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】本题考查不等式的解集与函数图像交点的问题，不等式的解集为一次函数的图像在反比例函数的图像下方对应的自变量x的取值，根据图像即可解答． 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴由图像可得，不等式的解集为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 【题型 4】已经双曲线与直线交点坐标求解析式 【例题4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 解：∵直线与轴交于点， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点， 将代入， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，首先根据点的横坐标为，并且点在一次函数，可得：，所以点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可． 解：点的横坐标为， 把代入， 得到：， 反比例函数与一次函数有一交点， 把点代入， 得到：， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 先利用求出点坐标，再利用待定系数法求解可． 解：∵， ∴点横坐标为， 将代入得，， ∴， 将点的坐标代入， ∴， 故答案为：6． 【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数图象交直线于点（点在第四象限），若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．由题意设，利用勾股定理得到，解得，即可求得，代入 即可求得的值． 解：由题意设， ， ， （负数舍去）， ， ． 故答案为：． 【题型 5】反比例函数与一次函数面积综合 【例题5】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．设的坐标是，则的坐标是，根据平行四边形的面积公式即可求解． 解：设的坐标是，则的坐标是， 则，． 则四边形的面积． 故答案是：8． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； 先联立两函数解析式求出，可得，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 解：联立， 解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 【题型 6】反比例函数与一次函数实际应用 【例题6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）12；（3） 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. 解：（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由图象可知，时，的取值范围为. 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）根据图象直接写出不等式的解集为__________； （3）点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；（2）或；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 解：（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在轴上，连接，，若，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式为一次函数的表达式为；（2）或；（3）或 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 解：（1）解：将代入反比例函数得： ， 解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或1， 的坐标为或； （3）解：由图象得或． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（24-25九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数表达式； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 解：（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 【变式1】（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． （1）求k的值； （2）求当时，y与x之间的函数表达式； （3）若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】（1）2；（2）；（3）解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 解：（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）略 【变式2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见分析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1）正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为；（2）至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；（3）此次消毒有效，理由见分析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 解：（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 【例题8】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； （3）直接写出不等式（）的解集； （4）点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式：；反比例函数的解析式：；（2）；（3）；（4）或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 解：（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 【变式2】（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点． （1）求a和k的值； （2）点P在射线上，过点P作轴，垂足为R，直线与反比例函数的图像交于点Q，如果，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）点的坐标为 【分析】（1）点代入反比例函数，即可求出a，进而确定点坐标；再将代入正比例函数，即可求出k； （2）由射线解析式为，设点横坐标为，则；由轴得，直线与反比例函数交点为．根据列绝对值方程，分、两类求解，舍去无效解后得，即可得到点P坐标． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴ 解得， 综上所述，，； （2）解：如图， 由（1）可知，射线的解析式为， ∵点在射线上， ∴设点的横坐标为，则点的坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点的坐标为， ∵直线与反比例函数交于点， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 当时，即， 此时 解得（舍去负根），符合； 当时，即， 解得，不符合，舍去， 综上所述，，此时， ∴点的坐标为． 【变式3】（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． 解：（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，属于函数的基础知识，难度不大．根据反比例函数的性质得出，再由一次函数的性质判断函数所经过的象限． 解：∵双曲线y经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， 则直线一定经过一、三、四象限． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是（     ） A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点 【答案】B 【分析】利用正比例函数与反比例函数的性质，对每个选项进行判断后得出结论． 解：A、对于正比例函数，，函数值随的增大而减小， 对于反比例函数，，双曲线在每一象限内函数值随的增大而增大， 故A选项不符合题意； B、对于正比例函数，，直线经过第二、四象限， 对于反比例函数，，双曲线的两个分支在第二、四象限， 故B选项符合题意； C、对于正比例函数，它的图象经过原点， 对于反比例函数，它的图象与坐标轴没有交点， 故C选项不符合题意； D、当， 正比例函数的图象不经过点． 当时，， 反比例函数的图象经过， 故D选项不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征．反比例函数的增减性只指在同一象限内且与正比例函数的图象的性质相反，这是解题的关键． 3．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 解：由函数与的图象相交于点，得到，解得， 故，故反比例函数的解析式为， 根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下： 故不等式的解集为或． 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，先求出点A和点B的坐标，进而得到，则可推出，据此可判断①；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，，据此可判断②；利用勾股定理求出，再利用等面积法可判断③；求出点C的坐标即可判断④⑤． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴点D到的距离为，故③错误； ∵， ∴， ∵直线与双曲线交于点C， ∴方程有一个解为，故④正确； 由函数图象可得当时，，故⑤正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 5．（2026·黑龙江大庆·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A．过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象、反比例函数的图象分别交于点C、D．若，则a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】用a表示出和的值，列出不等式，解得即可． 解：过点平行于x轴的直线与反比例函数的图象交于点D， ∴D的纵坐标为， ∴将纵坐标代入得，， ∴ ， 过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象交于点C， ∴C的纵坐标为， ∴将纵坐标代入得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，；当时，； 综上所述，或； 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，正确表示出线段的长度分情况讨论是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 8．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是正确理解题意． 根据图象，得出，的符号，从而判断的符号，由此可判断①； 根据，在反比例函数的图象上，可得到、关系式，由此可判断②； 先根据，在直线，从而可求得，，由此可判断③、④． 解：由图象知，，， ∴，故①错误； 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴，故②正确； 又直线的解析式为， ∴， ∴，，故③、④正确， 综上所述，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称．据此即可求解． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、分式的化简求值，根据一次函数和反比例函数得到，是解题的关键． 根据一次函数和反比例函数相交于点，得到，，再将整理为，最后整体代入求解，即可解题． 解：直线与双曲线相交于点， 则，， 整理得，， ， 故答案为：4． 11．（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为______    【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，已两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点，设，借助于两点间距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 解：由题意得， 解得：或， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 12．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上，，的面积为12，则__．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点坐标以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，依据题意，过点作轴，结合的面积得出，进而可得的值． 解：由题意，过点作轴，   ， 为等腰三角形， ， ， 又该反比例函数图象在第二、四象限，即， ． 故答案为：． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，双曲线经过点和点，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点A在点左上方，设为轴、直线、双曲线及线段之间的部分（阴影部分），则区域内（不包括边界）整点的个数最多有______个． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题；掌握待定系数法是关键． 取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解． 解：如图所示，取点， 双曲线经过点点， ，反比例函数解析式为， ，， 当点在的左侧时， 由图可知，G内整点的个数最多有，，，，共5个点， 故答案为：5． 15．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，且射线OF与反比例函数（）的交点A恰好在小正方形的边上，则________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题．由题意得到，求出直线的解析式为，把点的纵坐标为3代入得到，则，得到，由射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积得到，解方程即可得到答案． 解：如图，由图可知，点的横坐标为2，点的纵坐标为3， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 设直线的解析式为，把代入得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把点的纵坐标为3代入得到 解得， ∴ ∴， ∵射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意． 故答案为： 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连接，若的面积为12，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用两直线k值相等两直线平行得到，代入数据求出点A的横坐标，继而求出A点的纵坐标，最后得到k值即可． 解：如图，连接， 直线的解析式为直线， ， 两条直线的k值相等， ， ， ， 将代入正比例函数得， ， 在反比例函数图象上， ． 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 18．（2024·四川内江·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）由的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分． （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 解：（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）解：由图象可知，的解集为或； （3）解：如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时取得最大值，为， 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， . 19．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 解：（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 20．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段检测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见分析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 反比例函数与一次函数综合（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一次函数与反比例函数基础知识对比 1 【知识点二】反比例函数与一次函数交点问题 2 【知识点三】函数图象位置与不等式取值范围（高频难点） 2 【知识点四】综合面积计算（必考模型） 2 【知识点五】解析式综合求解 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】反比例函数与一次函数图象综合辨析 3 【题型 2】已知反比例函数与一次函数图象交点情况求值 4 【题型 3】已知反比例函数与一次函数交点求解集 4 【题型 4】已经双曲线与直线交点坐标求解析式 6 【题型 5】反比例函数与一次函数面积综合 6 【题型 6】反比例函数与一次函数实际应用 8 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 9 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 11 三.同步检测 13 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 13 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与解读 【知识点一】一次函数与反比例函数基础知识对比 1. 一次函数：，图象为直线，单调递增/递减，经过一、二、三、四象限中部分象限。 2. 反比例函数：，图象为双曲线，分两支，象限、增减性由决定。 综合解题核心：直线与双曲线结合问题，所有关键信息均来自交点坐标。 【知识点二】反比例函数与一次函数交点问题 1. 求交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，组成方程组求解。 方程组： 消去得：，整理为一元二次方程求解横坐标，再回代求纵坐标。 2. 交点个数判定：根据化简后一元二次方程的判别式判断： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点。 【知识点三】函数图象位置与不等式取值范围（高频难点） 已知直线与双曲线交于、（），比较函数大小无需复杂计算，直接看图定范围： 1. 直线在双曲线上方：，取对应图象上方的x取值区间； 2. 直线在双曲线下方：，取对应图象下方的x取值区间； 关键易错点：必须拆分区间，x=0为分界点，左右区间单独判断，不可合并。 【知识点四】综合面积计算（必考模型） 直线与双曲线交于两点，求两点与坐标轴原点/坐标轴围成的三角形面积，通用两种方法： 1. 割补法（通用）：利用一次函数与y轴/x轴交点，将不规则三角形分割为两个规则三角形求和/求差； 2. 坐标公式法：已知两点坐标，结合坐标轴截距快速计算； 核心结论：综合面积问题，优先找一次函数坐标轴截距和两个交点横坐标。 【知识点五】解析式综合求解 已知两个函数图象相交，只需知道一个交点坐标，即可分别用待定系数法求解反比例、一次函数解析式；若无直接坐标，可通过几何条件、面积条件反推点坐标。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数与一次函数图象综合辨析 【例题1】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型 2】已知反比例函数与一次函数图象交点情况求值 【例题2】（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【变式2】（2024山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）若函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_____． 【题型 3】已知反比例函数与一次函数交点求解集 【例题3】（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【变式1】（2024九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【题型 4】已经双曲线与直线交点坐标求解析式 【例题4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 【变式2】（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为_______． 【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数图象交直线于点（点在第四象限），若，则的值为______． 【题型 5】反比例函数与一次函数面积综合 【例题5】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为____． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【题型 6】反比例函数与一次函数实际应用 【例题6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）根据图象直接写出不等式的解集为__________； （3）点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在轴上，连接，，若，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（24-25九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数表达式； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式1】（24-25九年级上·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． （1）求k的值； （2）求当时，y与x之间的函数表达式； （3）若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【变式2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 【例题8】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； （3）直接写出不等式（）的解集； （4）点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【变式2】（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点． （1）求a和k的值； （2）点P在射线上，过点P作轴，垂足为R，直线与反比例函数的图像交于点Q，如果，求点P的坐标． 【变式3】（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是（     ） A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点 3．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·黑龙江大庆·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A．过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象、反比例函数的图象分别交于点C、D．若，则a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 10．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 11．（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为______    12．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上，，的面积为12，则__．    13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，双曲线经过点和点，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点A在点左上方，设为轴、直线、双曲线及线段之间的部分（阴影部分），则区域内（不包括边界）整点的个数最多有______个． 15．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，且射线OF与反比例函数（）的交点A恰好在小正方形的边上，则________． 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连接，若的面积为12，则的值为______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 18．（2024·四川内江·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 19．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段检测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $