3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦点与圆、直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理从点与圆（d与r关系）、直线与圆（d与r关系）的基础判定，到切线的性质与判定，再到切线长定理及三角形内切圆与内心的递进知识脉络，构建完整学习支架。 该资料以7大题型分类，“解题知识”精准提炼方法，典例与变式题层次分明。通过切线判定中“有交点作半径证垂直”等策略培养推理能力，综合题提升几何直观，逻辑表达强化数学语言。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 内 容 导 航 题型1 点与圆的位置关系 题型2 直线与圆的位置关系 题型3 切线的性质 题型4 切线的判定 题型5 切线的判定与性质 题型6 切线长定理 题型7 三角形的内切圆与内心 考 点 演 练 题型1 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典例1】已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 【变式2】若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 题型2 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式2】若半径为3cm的⊙O与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，以3.5cm为半径作圆，则⊙C与边AB的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 题型3 切线的性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0），B（0，4），⊙O的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式1】如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝24°，则∠A为（　　） A．48° B．60° C．64° D．42° 【变式2】如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，AB与OP交于点H．若，∠APB＝60°，则OH的长为（　　） A．0.5 B．1 C． D．2 【变式3】如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则⊙O的半径为 　　 ． 题型4 切线的判定 解｜题｜知｜识 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）DE＝4，EF＝2，求⊙O的半径． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 【变式2】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C为⊙O上的点，AC平分∠DAE．AE⊥CD于点E．求证：CD与⊙O相切． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接AE，若CD＝2，BC＝4，求AE的长． 题型5 切线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【典例1】如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于点D，交直线BC于P．则：①点B的坐标是；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆相切．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，点D为BE的下面半圆的中点，连接AD交BC于点F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若EF＝EC＝2，求DF的长． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC＝30°，且AC＝8，求⊙O的半径． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点E，，点F在BC的延长线上，EF＝AE，连接AF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BD＝2，，求直径AB的长． 题型6 切线长定理 解｜题｜知｜识 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且BC＝3，AD＝5，若四边形ABCD的面积等于15，则⊙O的半径等于 　 ． 【变式1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 　 　 ． 【变式2】如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【变式3】如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数． 题型7 三角形的内切圆与内心 解｜题｜知｜识 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【典例1】如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 【变式1】如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC＝7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．11cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【变式3】如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，则△ABC的边长为（　　） A． B．4 C． D． 过 关 验 收 1．已知⊙O的半径为8cm，点A在⊙O外，则OA的长可能为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 2．已知⊙O的直径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 3．若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 4．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 5．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交 6．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 7．已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与⊙O位置关系的图形是（　　） A． B． C． D． 8．将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．测得AB＝2cm，则圆形玉佩的半径为 　 　 cm． 9．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝　 　． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是的中点，连接AD，OD，分别与CB交于点E，F． （1）求证：AC∥OD； （2）过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点G．若，DG＝4，求⊙O半径的长． 11．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°．点D为BC延长线上一点，且DA是⊙O的切线． （1）求证：AD＝OB； （2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为2，求线段EF的长． 12．如图1，将直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°）的顶点C落在圆上，AC，BC分别与圆交于点M、N，转动直角三角形纸片，使点C，N重合，如图2． 嘉嘉说：“图1中的线段MN是圆的直径．” 淇淇说：“图2中的直线BN与圆相切．” 下列判断正确的是（　　） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 13．如图，AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与AB的延长线交于点E，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AB＝6，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 16．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 17．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，PA、PB分别与CD交于点C、D，若PA＝10，则△PCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 18．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）cm2 A．12 B．24 C．8 D．6 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 20．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于C、D两点，已知PA＝5cm，则△PCD的周长为 　 　 cm． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 22．如图，△ABC的内切⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，AF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 24．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 25．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　 　 cm． 26．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）点E是弦BD上一点，且点E是△ABC的内心，连接AE，求证：DA＝DE． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 内 容 导 航 题型1 点与圆的位置关系 题型2 直线与圆的位置关系 题型3 切线的性质 题型4 切线的判定 题型5 切线的判定与性质 题型6 切线长定理 题型7 三角形的内切圆与内心 考 点 演 练 题型1 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典例1】已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 【变式1】如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解答】解：∵∠PCA＝∠PBC， 而∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴点P在以BC为直角的⊙O上， 连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小， ∵OA， ∴PA长的最小值为10﹣6＝4． 故选：A． 【变式2】若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵点P在⊙O内且点P到圆心O的距离为5， ∴r＞5． 故选：D． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 【答案】B 【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE． 在直角△ABC中，AB10， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CEAB＝5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴MEAD＝2． ∵5﹣2≤CM≤5+2， 即3≤CM≤7． ∴最大值为7， 故选：B． 题型2 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，且2cm＜3cm， ∴圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点， 故选：C． 【变式1】已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径r＝2，点O到直线l的距离d＝5，且d＝5＞r＝2， ∴直线l与⊙O相离． 故选：B． 【变式2】若半径为3cm的⊙O与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】D 【解答】解：∵半径为3cm的⊙O与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于3cm， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，以3.5cm为半径作圆，则⊙C与边AB的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设⊙C的半径为r， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：CD＝2.4， ∵r＝3.5， ∴CD＜r， ∴点D在⊙C内， ∵AC＜r， ∴点A在⊙C内， ∵BC＞r， ∴点B在⊙C外， ∴⊙C与线段AB只有一个交点． 故选：B． 题型3 切线的性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0），B（0，4），⊙O的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解答】解：如图，PQ是⊙O的切线，连接OP，OQ， ∴OQ⊥PQ， 在直角三角形POQ中，由勾股定理得：PQ2＝OP2﹣OQ2， ∴OP最短时，PQ取得最小值， ∵当PO⊥AB时，线段OP最短， 又∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝24°，则∠A为（　　） A．48° B．60° C．64° D．42° 【答案】D 【解答】解：∵AC切⊙O于点C， ∴∠OCA＝90°， ∵∠D＝24°， ∴∠O＝2∠D＝48°， ∴∠A＝90°﹣∠O＝42°， 故选：D． 【变式2】如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，AB与OP交于点H．若，∠APB＝60°，则OH的长为（　　） A．0.5 B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA， ∵PA，PB与⊙O相切于点A，B， ∴PA＝PB，∠OAP＝90°， 又∵∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形， ∴AB＝AP＝2， 又∵AB与OP交于点H． ∴∠APO＝∠BPO＝30°，AH＝BH，∠AHO＝90°， ∴∠AOH＝60°， ∴OH1， 故选：B． 【变式3】如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则⊙O的半径为 　　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，∵PT与⊙O相切于点T， ∴∠OTP＝90°， 又∵OP＝10，∠OPT＝30°， ∴OTOP10＝5， 故答案为：5． 题型4 切线的判定 解｜题｜知｜识 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）DE＝4，EF＝2，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）⊙O的半径为5． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE⊥CF， ∴∠DEC＝∠DEF＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠DEC＝∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：过点O作OG⊥AF于点G， ∴∠FGO＝∠AGO＝90°，， ∵OD⊥DE，DE⊥CF， ∴∠ODE＝∠EGO＝∠GED＝90°， ∴四边形ODEG是矩形， ∴DE＝OG＝4，OD＝GE， 设⊙O的半径为r， ∴FG＝EG﹣EF＝r﹣2， ∴AG＝FG＝r﹣2， ∵AG2+OG2＝OA2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC， ∴BD＝5， ∴， ∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13， ∴ 即． 【变式2】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C为⊙O上的点，AC平分∠DAE．AE⊥CD于点E．求证：CD与⊙O相切． 【答案】连接OC， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAE＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠DAE， ∴OC∥AE， ∵AE⊥CD于点E， ∴∠OCD＝∠E＝90°， ∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC， ∴CD与⊙O相切． 【解答】解：连接OC， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAE＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠DAE， ∴OC∥AE， ∵AE⊥CD于点E， ∴∠OCD＝∠E＝90°， ∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC， ∴CD与⊙O相切． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接AE，若CD＝2，BC＝4，求AE的长． 【答案】（1）连接OE，则OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODC＝∠BDC， ∵CE＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且CE⊥OE， ∴CE是⊙O的切线． （2）AE的长是． 【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODC＝∠BDC， ∵CE＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且CE⊥OE， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：连接AE，作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵CD＝2，BC＝4， ∴OC＝2+OD，CE＝BC＝4， ∵OE2+CE2＝OC2，且OE＝OD， ∴OD2+42＝（2+OD）2， ∴OA＝OE＝OD＝3， ∴OC＝2+3＝5， ∵S△OEC5EF3×4， ∴EF， ∴OF， ∴AF＝OA+OF＝3， ∴AE， ∴AE的长是． 题型5 切线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【典例1】如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于点D，交直线BC于P．则：①点B的坐标是；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆相切．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：如图，以AB为直径的圆经过点C，连接AC， ∴∠ACB＝90°， ∵四边形OABC是平行四边形，OA＝6， ∴BC∥OA， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝45°， ∴OA＝AC＝BC＝6， ∴∠CAO＝∠AOE＝∠ACE＝90°， ∴四边形ACEO是矩形，同理，四边形ACPD是矩形， ∴CE＝OA＝6， ∴B（12，6）， 故结论①不正确，不符合题意； 由题意知：点A的坐标为（6，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6， 故结论②正确，符合题意； 如图2，过AB的中点G作GF⊥PD于点F，交AC于H，则H是AC的中点， ∴， ∵∠AOC＝45°，PD⊥OA， ∴， ∴， 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， 由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴直线PQ与已知圆相切， 故结论③正确，符合题意； 连接CG， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠B＝∠AOC＝45°，∠BCO＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°， ∵GC＝GB， ∴∠GCB＝∠B＝45°， ∴∠GCO＝∠BCO﹣∠GCB＝135°﹣45°＝90°， ∴OC⊥CG， ∴直线OC与圆相切， 故结论④正确，符合题意， 故正确的为②③④，共3个， 故选：C． 【变式1】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，点D为BE的下面半圆的中点，连接AD交BC于点F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若EF＝EC＝2，求DF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AC＝FC， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD， 由条件可知OD⊥BE，即∠DOF＝90°， ∴∠ODA+∠OFD＝90°， ∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵EF＝EC＝2， ∴AC＝CF＝EF+EC＝4， 设半径为r，则OC＝OE+CE＝r+2， 在Rt△OAC中，根据勾股定理得：r2+42＝（r+2）2， 解得：r＝3， ∴OA＝OD＝OE＝3， ∴OF＝OE﹣EF＝3﹣2＝1， ∴． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC＝30°，且AC＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC． ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC． ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BAC＝∠BEC＝30°． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB， 所以⊙O的半径为． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点E，，点F在BC的延长线上，EF＝AE，连接AF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BD＝2，，求直径AB的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵AE＝EF， ∴∠F＝∠EAF， ∵， ∴∠BAD＝∠ABC． ∵∠F+∠EAF+∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠BAF＝∠EAF+∠DAB＝90°， ∴AF⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴AC＝BD＝2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∴， ∵∠BAD＝∠ABC， ∴AE＝BE， 设AE＝x，则BE＝EF＝x，CE＝x﹣2． 在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2， ∴22+（x﹣1）2＝x2， 解得， ∴BF＝2x＝5， ∴直径． 题型6 切线长定理 解｜题｜知｜识 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且BC＝3，AD＝5，若四边形ABCD的面积等于15，则⊙O的半径等于 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， 设四边形ABCD与⊙O的切点分别为E、F、G、H，连接OE、OF， 则OE⊥AB，OF⊥AD， 由切线长定理得：AE＝AF，DF＝DG，CG＝CH，BE＝BH， ∴AB+CD＝BC+AD＝8， 设⊙O的半径为r， 由题意得：AB•rBCAD•rCD•r＝15， 解得：r， 故答案为：． 【变式1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 　 　 ． 【答案】10 【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴PA＝PB＝5； 同理，可得：EC＝CA，DE＝DB； ∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10． 即△PCD的周长是10． 【变式2】如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， ∵O是▱ABCD的对称中心， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴∠OBE＝∠ODF， 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1），得CD是⊙O的切线，AG＝CH． 由切线长定理得BG＝BE，CE＝CH， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 【解答】（1）证明：如图，连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， 由条件可知OB＝OD，AD∥BC， ∴∠OBE＝∠ODF， 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）▱ABCD是菱形． 理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1），得CD是⊙O的切线，AG＝CH． 由切线长定理得BG＝BE，CE＝CH， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 【变式3】如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA＝CE， 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12， 即PA的长为6； （2）∵∠P＝60°， ∴∠PCE+∠PDE＝120°， ∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°， ∵CA，CE是圆O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA∠ACD； 同理：∠ODE∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE（∠ACD+∠CDB）＝120°， ∴∠COD＝180﹣120°＝60°． 题型7 三角形的内切圆与内心 解｜题｜知｜识 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【典例1】如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【解答】解：连接BD、CD、BI， ∵I为△ABC 内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∴， ∴BD＝CD＝4， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID， ∴ID＝BD＝4， ∵OI⊥AD， ∴AD＝2ID＝8， ∴AB， 连接OD交BC于点E，则OD⊥BC， 设DE＝x，则OEAB﹣x＝2x， ∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2， ∴（2）2﹣（2x）2＝42﹣x2， 解得：x， ∴BE， ∴BC＝2BE， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC， 故选：A． 【变式1】如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC＝7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．11cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 【答案】C 【解答】解：设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H， ∵△ABC的周长为24cm，BC＝7cm， ∴AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝24﹣7＝17（cm）， ∵BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝7cm， ∴AD+AF＝AB+AC﹣（BD+CF）＝17﹣7＝10（cm）， ∵HM＝DM，HN＝FN， ∴AM+MN+AN＝AM+HM+HN+AN＝AM+DM+FN+AN＝AD+AF＝10cm， ∴剪下的三角形的周长为10cm， 故选：C． 【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 【变式3】如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，则△ABC的边长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，等边三角形ABC的内切圆⊙O的半径为2，连接OB，OC，设BC与⊙O相切于点D，连接OD， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ，，OD⊥BC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 过 关 验 收 1．已知⊙O的半径为8cm，点A在⊙O外，则OA的长可能为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】D 【解答】解：∵⊙O的半径为8cm，点A在⊙O外， ∴OA＞8cm， 故选：D． 2．已知⊙O的直径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的直径是4， ∴则半径为r2， ∵OA＝3，且3＞2， ∴OA＞r， ∴点A在⊙O外， 故选：C． 3．若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】A 【解答】解：∵半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点， ∴圆心O到直线l的距离＞6cm， 故选：A． 4．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的直径为4， ∴⊙O的半径为2， ∵点O到直线l的距离为4， ∴点O到直线l的距离大于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：A． 5．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交 【答案】C 【解答】解：A、平分弦的直径垂直于弦，不正确； B、相等的圆心角所对的弧相等，不正确； C、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，正确； D、若直线和圆有公共点，则直线和圆相交，不正确；故选：C． 6．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5， ∴直线l与⊙O相离． 故选：C． 7．已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与⊙O位置关系的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4， 所以直线l与⊙O相离， 故选：D． 8．将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C．测得AB＝2cm，则圆形玉佩的半径为 　 　 cm． 【答案】2． 【解答】解：连接OA，OB， 由题意得，∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∵圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，C． ∴∠BAO∠BAC＝60°，OB⊥AB， ∵则OB＝AB•tan∠BAO＝22（cm），即圆形玉佩的半径为2cm， 故答案为：2． 9．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OBA+∠ABC＝90°， ∵OC⊥AO， ∴∠OAD+∠ODA＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠DBC＝∠ADO， ∵∠CDB＝∠ADO， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝BC＝3， ∴OC＝OD+CD＝1+3＝4， ∴， 故答案为：． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是的中点，连接AD，OD，分别与CB交于点E，F． （1）求证：AC∥OD； （2）过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点G．若，DG＝4，求⊙O半径的长． 【答案】（1）∵点D是的中点， ∴OD⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC∥OD； （2）4． 【解答】（1）证明：∵点D是的中点， ∴OD⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC∥OD； （2）解：设DF＝x， ∵AC∥OD， ∴△DEF∽△AEC， ∴， ∵OD⊥BC， ∴BF＝FC， ∵BO＝OA， ∴OFAC， ∴OF＝DF＝x， ∵BG是⊙O的切线， ∴AB⊥BG， ∴∠OBF+∠GBF＝90°， ∵OD⊥BC， ∴∠G+∠GBF＝90°， ∴∠OBF＝∠G， ∵∠BFO＝∠GBO＝90°， ∴△BFO∽△GBO， ∴，即， 解得：x＝2， ∴⊙O半径的长为4． 11．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°．点D为BC延长线上一点，且DA是⊙O的切线． （1）求证：AD＝OB； （2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为2，求线段EF的长． 【答案】（1）见详解； （2）． 【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵AO＝BO，∠ABC＝22.5°， ∴∠OAC＝∠ABO， ∴∠AOC＝2∠ABC＝45°． ∵DA是⊙O的切线，OA是圆的半径， ∴∠OAD＝90°． ∴∠AOD＝∠ADO＝45°， ∴AO＝AD， ∴BO＝AD． （2）解：∵过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F， ∴． ∴∠EOC＝∠AOC＝45°． ∴AO⊥EF． ∵⊙O的直径为2， ∴OA＝OE＝1， ∴， ∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB＝22.5°， ∴∠AFO＝90°﹣∠OAB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵OA⊥OE，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝45°， ∴∠EAF＝∠OAE+∠OAB＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴． 12．如图1，将直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°）的顶点C落在圆上，AC，BC分别与圆交于点M、N，转动直角三角形纸片，使点C，N重合，如图2． 嘉嘉说：“图1中的线段MN是圆的直径．” 淇淇说：“图2中的直线BN与圆相切．” 下列判断正确的是（　　） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴图1线段MN是圆的直径，故嘉嘉的说法正确； ∵∠ACB＝90°， ∴MN⊥BC， ∵MN是圆的直径， ∴直线BN与圆相切，故淇淇的说法正确； 综上可得：两人的说法都正确， 故选：A． 13．如图，AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与AB的延长线交于点E，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AB＝6，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）． 【解答】解：（1）连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO． ∵∠DAC＝∠ACO， ∴OC∥AD． ∵AD⊥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE为⊙O的切线； （2）∵AB＝6，OB＝BE， ∴OE＝6，OA＝OC＝3， 在Rt△OCE中，OC＝3，OE＝6， ∴∠E＝30°，CE3， 在Rt△CFE中，CFCE3． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OC， ∴∠ODC＝∠C， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ODC＝∠A， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB于点F， ∴∠ODF＝∠AFD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接BD， ∵BC是⊙O的直径，AC＝12，⊙O的半径为5， ∴AB＝BC＝2×5＝10，∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，AD＝CDAC12＝6， ∴BD8， ∵S△ABD10DF6×8， ∴DF， ∴DF的长是． 15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°， ∴． 16．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【答案】（1）如图， 连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， ∵O是▱ABCD的对称中心， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）▱ABCD是菱形． 如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1）知CD是⊙O的切线，AG＝CH． ∴CE＝CH，BG＝BE， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 【解答】（1）证明：如图， 连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， ∵O是▱ABCD的对称中心， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）解：▱ABCD是菱形． 理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1）知CD是⊙O的切线，AG＝CH． ∴CE＝CH，BG＝BE， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 17．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，PA、PB分别与CD交于点C、D，若PA＝10，则△PCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，PA、PB分别与CD交于点C、D， ∴AC＝CE，DE＝DB，PA＝PB， ∵△PCD的周长：PC+CD+PD，CD＝CE+DE，PA＝10， ∴PC+CD+PD＝PA+PB＝10+10＝20， 故选：D． 18．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）cm2 A．12 B．24 C．8 D．6 【答案】D 【解答】解：∵AE与圆O切于点F， 显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC， 设EF＝EC＝xcm， 则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm， 在三角形ADE中由勾股定理得： （4﹣x）2+42＝（4+x）2， ∴x＝1cm， ∴CE＝1cm， ∴DE＝4﹣1＝3cm， ∴S△ADE＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2． 故选：D． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 【答案】D 【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（6，0）、B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∴AB＝6 ∴OPAB＝3， ∵OQ＝2， ∴PQ， 故选：D． 20．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于C、D两点，已知PA＝5cm，则△PCD的周长为 　 　 cm． 【答案】10． 【解答】解：如图，设CD与⊙O切于点E， 由题意可得：PB＝PA＝5cm，DE＝AD，CE＝BC， ∴△PCD的周长＝PC+PD+CD ＝PC+PD+CE+DE ＝PC+PD+BC+AD ＝PD+AD+PC+BC ＝PA+PB ＝2PA ＝2×5cm ＝10cm， 故答案为：10． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【解答】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6， ∴AB＝AF+BF＝6+4＝10， 又∵∠C＝90°， ∴四边形OECD是矩形， 又∵EO＝DO， ∴矩形OECD是正方形， 设EO＝x， 则EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC2+AC2＝AB2， 故（x+4）2+（x+6）2＝102， 解得：x＝2， ∴BC＝6，AC＝8， ∴S△ABC6×8＝24， 故选：A． 22．如图，△ABC的内切⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，AF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF＝BD，CE＝CD，AE＝AF， ∵AB＝9，BC＝14，CA＝13， ∴AB+AC＝9+13＝22，BF+CE＝BD+CD＝BC＝14， ∴AF+AE＝2AF＝AB+AC﹣（BF+CE）＝22﹣14＝8， ∴AF＝4， 故选：C． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图， ∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC， ∴四边形ABGD是矩形， ∴BG＝AD＝3，CG＝BC﹣BG＝6﹣3＝3， ∵点E、F、H是切点， ∴DF＝DH，CF＝CE，OC平分∠ECF， ∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线， ∴EM＝FM， 设圆O半径为R，则BE＝R，DG＝2R， ∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝3﹣R， ∵DG2+CG2＝CD2， ∴（2R）2+32＝[（3﹣R）+（6﹣R）]2， 解得：R＝2， ∴CE＝6﹣2＝4， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 24．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝20°， ∴∠BOC＝180°﹣2×20°＝140°， ∴∠BAC∠BOC＝70°， ∵点I是△ABC的内心， ∴， 故选：B． 25．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　 　 cm． 【答案】12． 【解答】解：连接OA、OB． ∵点O是△ABC的内心， ∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线． ∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO． ∵EF∥BA， ∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA． ∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO． ∴EO＝EA，OF＝FB． ∴EF＝AE+BF， ∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+EA+CF+FB＝CA+CB＝18﹣6＝12（cm）， 故答案为：12． 26．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）点E是弦BD上一点，且点E是△ABC的内心，连接AE，求证：DA＝DE． 【答案】（1）∠BDC的度数是65°． （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠CAD， ∵∠DEA＝∠BAE+∠ABD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DA＝DE． 【解答】（1）解：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝25°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝65°， ∴∠BDC＝∠BAC＝65°， ∴∠BDC的度数是65°． （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠CAD， ∵∠DEA＝∠BAE+∠ABD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DA＝DE． 学科网（北京）股份有限公司 $