专题 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦点与圆、直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理位置关系判定（点与圆的d与r比较、直线与圆的d与r比较）、切线的判定与性质定理、切线长定理，构建从基础数量关系到综合应用的递进式学习支架。 资料特色在于分层题型设计与核心素养融合，通过基础判定题培养抽象能力（如点与圆位置关系的d与r比较），中档切线证明题发展推理意识（如“连半径证垂直”模型应用），综合压轴题提升应用意识（如切线与垂径定理综合题）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】点与圆的位置关系 1 【知识点二】直线与圆的位置关系 2 【知识点三】切线的判定定理 2 【知识点四】切线的性质定理 3 【知识点五】切线长定理 3 二.题型精析 4 【题型 1】点与圆的位置关系判定（基础·必会） 4 【题型 2】直线与圆的位置关系判定（基础·计算） 5 【题型 3】切线的判定证明（中档·必考） 8 【题型 4】切线的性质应用（中档·拔高） 13 【题型 5】切线的性质与判定综合（中档·拔高） 18 【题型 6】切线长定理计算与证明（拔高） 24 【题型 7】综合压轴（切线+垂径定理综合） 29 三.同步检测 33 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理解读 【知识点一】点与圆的位置关系 设的半径为，平面内一点到圆心的距离为，则点与圆有三种位置关系： 1. 点在圆内：； 2. 点在圆上：； 3. 点在圆外： 图形示意：圆心，圆内点靠近圆心，圆上点落在圆周上，圆外点远离圆周，三点到圆心距离依次增大。 【要点提示】 （1）判定核心：只比较点到圆心的距离与半径的大小，与点的位置直观视觉无关； （2）圆可以看作“到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合”；圆内、圆外同理； （3）矩形、直角三角形中，常利用勾股定理求点到圆心距离，进而判定位置。 【知识点二】直线与圆的位置关系 设半径为，圆心到直线的距离（垂线段长）为，直线与圆有三种位置关系： 1. 相交：直线与圆有2个公共点，，直线叫做圆的割线； 2. 相切：直线与圆有1个公共点，，直线叫做圆的切线，唯一公共点为切点； 3. 相离：直线与圆无公共点，。 图示 交点个数 直线名称 交点名称 相交 两个 割线 交点 相切 一个 切线 切点 相离 无 无 无 图形示意：相交——直线穿过圆；相切——直线与圆唯一贴合；相离——直线与圆无接触、完全分离。 【要点提示】 （1）是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上任意一点的距离； （2）两种判定方法：①公共点个数；②与大小比较，计算类题型优先用第二种； （3）直线与圆的位置关系只和数量关系有关，与直线倾斜角度无关。 【知识点三】切线的判定定理 定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个缺一不可的条件：①直线经过半径外端点（直线与圆有公共点）；②直线与该半径互相垂直。 图形示意：半径，点在圆上，直线，则直线为切线。 定理 图示 几何语言 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 在中，点D在圆上， 直线是☉的切线，为切点. 【要点提示】 （1）切线证明两种通用模型：① 已知公共点：连半径，证垂直；② 未知公共点：作垂直，证半径； （2）仅垂直半径或仅过圆上一点，不能判定为切线，必须同时满足两个条件。 【知识点四】切线的性质定理 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 图形示意：直线切于点，则。 定理 图示 几何语言 圆的切线垂直于经过切点的半径 在中 直线是☉的切线，为切点， . 【要点提示】 （1）题目出现切线，优先连接圆心与切点，构造直角，转化为直角三角形问题求解； （2）常结合勾股定理、等腰三角形、圆周角定理进行角度与线段计算。 【知识点五】切线长定理 1. 切线长定义：圆外一点到切点之间的线段长度，叫做这点到圆的切线长。 2. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 图形示意：点在圆外，切于，则，平分。 定理 图示 几何语言 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角. 为☉的切线,A、B为切点， . 【要点提示】 （1）可直接实现线段相等、角相等转化，简化证明步骤； （2）切线长模型中，四边形有两个直角，常为轴对称图形。 二.题型精析 【题型 1】点与圆的位置关系判定（基础·必会） 【例题1】（2025九年级上·北京·专题练习）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．掌握点到圆心的距离与圆的半径的关系是关键． 首先解方程，得或，即或．已知的半径，根据点与圆的位置关系判定即可． 解：∵， ∴， ∴或，即或， ∵的半径， ∴当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内． ∴点P在内． 【变式1】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 解：的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B都在圆外？ （2）当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】（1）当时，点A，B都在圆外；（2）时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 解：（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点拨】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 【题型 2】直线与圆的位置关系判定（基础·计算） 【例题2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由．    【答案】相切，理由见分析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法． 过点作于点，先由勾股定理出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 解：直线与相切．理由如下： 过点作于点． ， ． 在中，． 的半径为3， 为的半径． 是的切线． 【变式1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心画圆． （1）当的半径为时，点B与有怎样的位置关系？ （2）当与直线相切时，求的半径r． 【答案】（1）点B在外；（2） 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理求出到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论； （2）过点C作于点D，先根据三角形面积公式求出到直线的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 解：（1）解：在中，， ． ，即点B到圆心C的距离大于的半径， ∴点B在外． （2）解：过点C作于点D，如图． ， ， 当与直线相切时，． 【题型 3】切线的判定证明（中档·必考） 【例题3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，以为直径的交于点M，于点N．求证：是的切线． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∵以为直径的交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】连接，证得，由，易得，可得结论． 解：略 【变式1】（2026·浙江绍兴·一模）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）；（2）证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 解：（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【题型 4】切线的性质应用（中档·拔高） 【例题4】（2026·山东泰安·三模）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． （1）求证：； （2）过点作交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，推出，由圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． （1）线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； （2）求证：； （3）过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】（1）相等；互相垂直；（2）证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）补全图形如图： 的半径为3 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 解：（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略 （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【题型 5】切线的性质与判定综合（中档·拔高） 【例题5】（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为、，求的长． 【答案】（1）与相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明，然后根据“边角边”证明，可得，进而得出答案； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后说明，可得，则此题可解． 解：（1）略 （2）解：如图所示，过点O作于点D， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 解：连接， ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为___________． 【答案】1 【分析】本题考查的是正方形的性质，切线的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，．设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：∵，， ∴，为半圆E的切线， 又∵为半圆E的切线， ∴，． 设， 则有，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 解：（1）证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． （2）解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 【题型 6】切线长定理计算与证明（拔高） 【例题6】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． （1）连接、，则______． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 解：（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 【变式1】（2026·广东江门·二模）如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 【变式2】（2026·广东广州·二模）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 【变式3】（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． （1）如图①．若，求的大小． （2）如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【答案】（1）45°；（2）60° 【分析】（1）根据切线的性质，得到，进而求出的度数，切线长定理，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）连接、，证明四边形是菱形，证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质即可得出结果． 解：（1）解：切于点， ， ． ， ∴． 、分别切于点、， ， ， ． （2）解：如图，连接、， ，， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形， ． 为直径，， ∴弧弧， ． ，， ， 是等边三角形， ． ∴在菱形中，． 【题型 7】综合压轴（切线+垂径定理综合） 【例题7】（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． （1）求证：是的切线： （2）若，求切线的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2） 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由三角形的中位线得到，， 在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解， 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理得到，再结合得到，根据勾股定理求出即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，根据切线的性质得出，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 【答案】（1）证明：是的切线， ，即， ， ， 在与中： ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． （2） 【分析】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）先利用切线性质得到，再由垂径定理，推出，然后通过证，根据全等三角形对应角相等，得，即，从而证明是切线． （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出，，进而求出，再由可知，然后根据所对直角边等于斜边一半得出，设为，根据勾股定理列出 方程，最后求解即可． 解：（1）略 （2）解： ，， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可知， ， 设为， 在中， ，即 解得，（不合题意，舍去） 即， ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可． 解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意； B、同圆中同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意； C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 7．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 9．（2026·山西阳泉·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的切线的定义得出，由直角三角形两个锐角互余可得出，最后由圆周角定理即可得出答案． 解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广东广州·期中）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】由圆的切线垂直于过切点的半径得，进而即可得解． 解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴． 13．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】设，则，由切线长定理可得，，，进而即可求解． 解：设，则， ∵是的内切圆，为切点， ∴，，， ∴的周长． 14．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 【答案】圆内 【分析】连接，根据平行四边形对角线互相平分得出为中点，利用垂径定理得，根据垂线段最短，所以，从而可得点在内． 解：连接． 四边形是平行四边形， 点是的中点， ∴， ∴， 点在内． 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 解：，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为________，连接并延长交于G，则的最大值为________． 【答案】 /75度 2 【分析】本题考查了矩形与折叠，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意当与相切时有最大值是解题关键．根据折叠的性质即可求出的度数；以点为圆心，长为半径作，根据矩形与折叠的性质，可得是的切线，进而得出当与相切时，即、两点重合时，有最大值，然后根据等角对等边的性质以及勾股定理，求出的长，即可求解． 解：由折叠的性质可知，， ， ； 如图，以点为圆心，长为半径作， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 当与相切时，即、两点重合时，有最大值， ， ， ， ， 在中，， ， 即的最大值为， 故答案为：；． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）相交，理由见分析 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 解：（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2） 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 解：（1）证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点P，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）的半径为 【分析】（1）连接，则由半径相等得到，由外角可得，继而证明得到，再由直角三角形的性质即可求证； （2）先由勾股定理求解，设半径为，则，，证明即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得，， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 的半径为． 24．（本小题满分12分）（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）比较大小：___________（填或）； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 【答案】（1）；（2）解：与相切，理由如下： 如图所示，过点O作于点N， ∵与相切于点， ∴， 由（1）可得，即平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （3） 【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角可得答案； （2）过点O作于点N，由切线的性质得到，由角平分线的性质得到，则与相切； （3）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；由切线的性质得到，，设，则，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵四边形是菱形， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径的与相切于点， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，即的半径为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】点与圆的位置关系 1 【知识点二】直线与圆的位置关系 2 【知识点三】切线的判定定理 2 【知识点四】切线的性质定理 3 【知识点五】切线长定理 3 二.题型精析 4 【题型 1】点与圆的位置关系判定（基础·必会） 4 【题型 2】直线与圆的位置关系判定（基础·计算） 4 【题型 3】切线的判定证明（中档·必考） 5 【题型 4】切线的性质应用（中档·拔高） 6 【题型 5】切线的性质与判定综合（中档·拔高） 8 【题型 6】切线长定理计算与证明（拔高） 9 【题型 7】综合压轴（切线+垂径定理综合） 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理解读 【知识点一】点与圆的位置关系 设的半径为，平面内一点到圆心的距离为，则点与圆有三种位置关系： 1. 点在圆内：； 2. 点在圆上：； 3. 点在圆外： 图形示意：圆心，圆内点靠近圆心，圆上点落在圆周上，圆外点远离圆周，三点到圆心距离依次增大。 【要点提示】 （1）判定核心：只比较点到圆心的距离与半径的大小，与点的位置直观视觉无关； （2）圆可以看作“到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合”；圆内、圆外同理； （3）矩形、直角三角形中，常利用勾股定理求点到圆心距离，进而判定位置。 【知识点二】直线与圆的位置关系 设半径为，圆心到直线的距离（垂线段长）为，直线与圆有三种位置关系： 1. 相交：直线与圆有2个公共点，，直线叫做圆的割线； 2. 相切：直线与圆有1个公共点，，直线叫做圆的切线，唯一公共点为切点； 3. 相离：直线与圆无公共点，。 图示 交点个数 直线名称 交点名称 相交 两个 割线 交点 相切 一个 切线 切点 相离 无 无 无 图形示意：相交——直线穿过圆；相切——直线与圆唯一贴合；相离——直线与圆无接触、完全分离。 【要点提示】 （1）是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上任意一点的距离； （2）两种判定方法：①公共点个数；②与大小比较，计算类题型优先用第二种； （3）直线与圆的位置关系只和数量关系有关，与直线倾斜角度无关。 【知识点三】切线的判定定理 定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个缺一不可的条件：①直线经过半径外端点（直线与圆有公共点）；②直线与该半径互相垂直。 图形示意：半径，点在圆上，直线，则直线为切线。 定理 图示 几何语言 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 在中，点D在圆上， 直线是☉的切线，为切点. 【要点提示】 （1）切线证明两种通用模型：① 已知公共点：连半径，证垂直；② 未知公共点：作垂直，证半径； （2）仅垂直半径或仅过圆上一点，不能判定为切线，必须同时满足两个条件。 【知识点四】切线的性质定理 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 图形示意：直线切于点，则。 定理 图示 几何语言 圆的切线垂直于经过切点的半径 在中 直线是☉的切线，为切点， . 【要点提示】 （1）题目出现切线，优先连接圆心与切点，构造直角，转化为直角三角形问题求解； （2）常结合勾股定理、等腰三角形、圆周角定理进行角度与线段计算。 【知识点五】切线长定理 1. 切线长定义：圆外一点到切点之间的线段长度，叫做这点到圆的切线长。 2. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 图形示意：点在圆外，切于，则，平分。 定理 图示 几何语言 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角. 为☉的切线,A、B为切点， . 【要点提示】 （1）可直接实现线段相等、角相等转化，简化证明步骤； （2）切线长模型中，四边形有两个直角，常为轴对称图形。 二.题型精析 【题型 1】点与圆的位置关系判定（基础·必会） 【例题1】（2025九年级上·北京·专题练习）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【变式1】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B都在圆外？ （2）当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【题型 2】直线与圆的位置关系判定（基础·计算） 【例题2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由．    【变式1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式2】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心画圆． （1）当的半径为时，点B与有怎样的位置关系？ （2）当与直线相切时，求的半径r． 【题型 3】切线的判定证明（中档·必考） 【例题3】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，以为直径的交于点M，于点N．求证：是的切线． 【变式1】（2026·浙江绍兴·一模）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 【题型 4】切线的性质应用（中档·拔高） 【例题4】（2026·山东泰安·三模）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． （1）求证：； （2）过点作交于点，若，求的长． 【变式1】（25-26九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【变式3】（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． （1）线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； （2）求证：； （3）过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【题型 5】切线的性质与判定综合（中档·拔高） 【例题5】（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为、，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为___________． 【变式3】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 【题型 6】切线长定理计算与证明（拔高） 【例题6】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． （1）连接、，则______． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【变式1】（2026·广东江门·二模）如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【变式2】（2026·广东广州·二模）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【变式3】（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． （1）如图①．若，求的大小． （2）如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【题型 7】综合压轴（切线+垂径定理综合） 【例题7】（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． （1）求证：是的切线： （2）若，求切线的长． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 【变式3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 6．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西阳泉·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广东广州·期中）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是_____________ 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为___________． 13．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 14．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为________，连接并延长交于G，则的最大值为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点P，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24．（本小题满分12分）（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）比较大小：___________（填或）； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $