第1章 综合实践：优美的黄金分割 讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦黄金分割核心知识点，系统梳理线段黄金分割定义（比例中项关系）、黄金三角形（两种等腰三角形腰底比）及黄金矩形（宽长比），构建从概念到图形应用的学习支架，通过典例与变式练习强化理解。 资料特色在于融入汽车后视镜、贺年卡等生活实例，以多样化题目（选择、填空）引导学生用数学眼光观察现实，通过推理计算培养数学思维，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

综合实践：优美的黄金分割 内 容 导 航 题型1 黄金分割 考 点 演 练 题型1 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】 已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为 　 　 ． 【答案】22 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4， ∴， ∴AC＝22， 故答案为：22． 【变式1】某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为 　　 米．（提示：黄金分割比） 【答案】． 【解答】解：∵汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长AB约为5米， ∴BCAB5（米）， ∴AC＝AB﹣BC＝5（米）， ∴车头A与后视镜C的水平距离约为米， 故答案为：． 【变式2】我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长 　 　 厘米． 【答案】（1010）． 【解答】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于x厘米，根据黄金分割的概念和性质列式得： ， 解得x＝1010， 故答案为：（1010）． 【变式3】已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，则CD＝　 　 cm． 【答案】（612） 【解答】解：设AC＞BC，AD＜BD， 根据题意得ACAB•6＝33， BDAB＝33， 则AD＝AB﹣BD＝6﹣（33）＝9﹣3， 所以CD＝AC﹣AD＝33﹣（9﹣3）＝（612）cm． 故答案为（612）． 过 关 验 收 1．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【解答】解：∵H是AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH•AB， ∵正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2， ∴，S2＝BH•BC＝BH•AB， ∴S1＝S2， 即， 故选：D． 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm 【答案】A 【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm． 方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm． 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB＝4，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵点E就是AB的黄金分割点，AB＝4， ∴， 故选：C． 4．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 【答案】C 【解答】解：由图可知，正确的折叠顺序是①④③②，理由如下： 设MN＝x．则MN＝BC＝NC＝x． 点A是CN的中点，则， ∴． 根据条件可知，则， ∴， ∴矩形BCDE是黄金矩形． 故选：C． 5．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm， 所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）． 故选：C． 6．如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．0.618 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为点P是AB的黄金分割点，且， 所以． 又因为AB＝2， 所以AP． 故选：A． 7．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．BC2+AC2＝AB2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵C为AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴， 故选：D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，若BC＝1，则AB长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵BD平分∠ABC， ∴．∠BDC＝36°+36°＝72°， ∴AD＝BD，∠BDC＝∠C． ∴BD＝BC＝1． 即AD＝BD＝1． ∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC． ∴． ∴． ∴AB2﹣AB﹣1＝0． 则Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5． ∴，即（负值已舍去）． 故选：B． 9．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列各式不正确的是（　　） A． B．AP2＝PB•AB C． D． 【答案】C 【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∵P是线段AB的黄金分割点， ∴，即AP2＝PB⋅AB，则B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴整理得：，即D选项正确，不符合题意． 故选：C． 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则cos∠DAE的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知， 令，AB＝CD＝2a， 由翻折可知，∠EAC＝∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC， ∴AE＝EC， 令DE＝x，则AE＝EC＝2a﹣x， 由勾股定理可得：AD2+DE2＝AE2， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11．唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，一个中号唢呐AB的长约为40cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰．则该装饰与吹口的距离AP为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得： ， 即， ∴， 故选：A． 12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（BP＜AP），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由黄金分割比，根据题意可得， ∵AB＝8cm， ∴， 故选：A． 13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB，已知AB为2米，则线段BE的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：由题意可得：BE2＝AE•AB， ∴， ∵AB＝2， ∴米， 故选：A． 14．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6， ∴ADAB6＝33， 故选：D． 15．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，点E在圆上，且∠BOE＝150°，点P为圆上一动点，Q为弦EP上一点，且EQ＝2QP．若点A的坐标为（﹣4，0），则CQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OP，过点Q作QT∥OP交AB于点T， 由条件可知AO＝OP＝OE＝4， ∵QT∥OP， ∴△EQT∽△EPO， ∵EQ＝2QP， ∴， ∴，， Q的运动轨迹为以T为圆心为半径的圆； 连接CT，作TH⊥y轴， 由条件可知∠COT＝60°， ∴， ∴，， ∴， 连接CQ，CQ≥CT﹣TQ， ∴C，Q，T三点共线时，CQ最小，最小值为： ． 故选：B． 16．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦AB＝90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点， ∴BCAB90＝（4545）cm， 故选：C． 17．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比（约等于0.618）时，可以发出“sol”的音符．若AC＝12cm，且可以发出“sol”的音符，则水面高度BC为　 ．（精确到0.1cm） 【答案】7.4cm． 【解答】解：∵水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比，AC＝12cm， ∴BC≈0.618AC＝0.618×12≈7.4（cm）， ∴水面高度BC约为7.4cm， 故答案为：7.4cm． 18．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为　　 　 cm． 【答案】 【解答】解：∵二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦BC长为xcm， 且二胡的琴弦AC长为80cm 则有， 解得， 故答案为：． 19．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　 　 ． 【答案】 【解答】解：设AC的长为x，则BC＝AB﹣AC＝2﹣x， 则，即， ∴x2+2x﹣4＝0， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴AC的长为； 故答案为：． 20．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 　　 　 cm． 【答案】（12﹣4） 【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm， ∴， ∴APcm， BP＝AB﹣AP＝12﹣4． 故答案为：（12﹣4）． 21．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP．若AB长为2，则AP的长为　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∵AB＝2， ∴APAB2， 故答案为：． 22．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为4米，则线段BE的长为 　 　 米（结果保留根号）． 【答案】． 【解答】解：∵BE2＝AE⋅AB，AB＝4， 设BE＝x，则AE＝4﹣x， ∴x2＝4（4﹣x）， ∴x2+4x＝16， ∴（舍去）， 故答案为：． 23．已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得：， ∵AB＝2， ∴， 故答案为：． 24． 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为10cm，则AP的长为 　 　 cm． 【答案】（）． 【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝10cm， ∴，即， ∴AP＝10（55）cm． 故答案为：（）． 25．点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则AP＝　　 　　 cm． 【答案】（22）． 【解答】解：∵点P在线段AB上，且， ∴点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴APAB4＝（22）（cm）， 故答案为：（22）． 26．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP＝　　 　 ． 【答案】22． 【解答】解：∵线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点， ∴较长线段APAB＝22， 故答案为：22． 27．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　　 　　 cm． 【答案】（22） 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB， ∴PAAB4＝（22）cm． 故答案为（22）． 28．黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为2cm，则AB的长为　　 　　 cm． 【答案】（）． 【解答】解：由题知， 因为点B是AC的黄金分割点，且AB＞BC， 所以． 因为AC＝2cm， 所以ABcm． 故答案为：（）． 29．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，，则BP的值是　　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB， ∴， ∵AP＝22， ∴BP4， 故答案为：4． 30．若点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，则AB的长为　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10， ∴， 故答案为：． 31．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段AB的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为　 　 cm．（结果保留根号） 【答案】（）． 【解答】解：由题知， 因为点C和D是线段AB的两个黄金分割点， 所以． 因为AB＝80cm， 所以ACcm． 故答案为：（）． 32．已知线段AB＝10m，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 　　 　　 ．（保留根号） 【答案】5（1）． 【解答】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点， 且AC＞BC，AC为较长线段； 则AC＝105（1）． 故答案为：5（1）． 33．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　　 　 ． 【答案】33 【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝633． 故答案为：33． 34． 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段AB的黄金分割点，即BC2＝AC•AB，若AB＝2cm，则BC的长为 　　 　 　 cm． 【答案】（）． 【解答】解：由统计可知BC2＝2（2﹣BC）， ∴BC2+2BC﹣4＝0， ∴或（舍去）． 故答案为：（）． 35．如图，乐器上的一根琴弦AB＝50cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，C，D分别是AB的两个黄金分割点，其中支撑点C是靠近点B的黄金分割点，且AC＞BC则A、C之间的距离为　　 　　 cm．（结果保留根号） 【答案】（2525）． 【解答】解：∵C，D分别是AB的两个黄金分割点，其中点C靠近点B， ∴， ∵AB＝50cm， ∴ACAB50＝（2525）cm， 故答案为：（2525）． 36．手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为18cm，那么摄像区的长度为　 　 cm． 【答案】． 【解答】解：∵某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，该手机总长为18cm， ∴较长的握持区为18（cm）＝（99）（cm）， ∴摄像区的长度为18﹣（99）＝（27﹣9）（cm）， 故答案为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合实践：优美的黄金分割 内 容 导 航 题型1 黄金分割 考 点 演 练 题型1 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为 　 　 ． 【变式1】某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为 　 　 米．（提示：黄金分割比） 【变式2】我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长 　 　 厘米． 【变式3】已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，则CD＝　 cm． 过 关 验 收 1．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB＝4，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 4．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 5．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 6．如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．0.618 7．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．BC2+AC2＝AB2 B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，若BC＝1，则AB长度为（　　） A． B． C． D． 9．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列各式不正确的是（　　） A． B．AP2＝PB•AB C． D． 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则cos∠DAE的值为（　　） A． B． C． D． 11．唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，一个中号唢呐AB的长约为40cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰．则该装饰与吹口的距离AP为（　　） A． B． C． D． 12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（BP＜AP），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB，已知AB为2米，则线段BE的长为（　　） A． B． C． D．3 14．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 15．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，点E在圆上，且∠BOE＝150°，点P为圆上一动点，Q为弦EP上一点，且EQ＝2QP．若点A的坐标为（﹣4，0），则CQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦AB＝90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC＝（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比（约等于0.618）时，可以发出“sol”的音符．若AC＝12cm，且可以发出“sol”的音符，则水面高度BC为　 　 ．（精确到0.1cm） 18．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为　 　 cm． 19．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　 　 ． 20．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 　 　 cm． 21．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP．若AB长为2，则AP的长为　 　 ． 22．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为4米，则线段BE的长为 　 　 米（结果保留根号）． 23．已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　 　 ． 24．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为10cm，则AP的长为 　 　 cm． 25．点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则AP＝　 　 cm． 26．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP＝　 　 ． 27．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　 　 cm． 28．黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为2cm，则AB的长为　 　 cm． 29．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，，则BP的值是　 　 ． 30．若点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，则AB的长为　 　 ． 31．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段AB的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为　 　 cm．（结果保留根号） 32．已知线段AB＝10m，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 　 　 ．（保留根号） 33．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是　 　 ． 34．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段AB的黄金分割点，即BC2＝AC•AB，若AB＝2cm，则BC的长为 　 　 cm． 35．如图，乐器上的一根琴弦AB＝50cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，C，D分别是AB的两个黄金分割点，其中支撑点C是靠近点B的黄金分割点，且AC＞BC则A、C之间的距离为　 　 cm．（结果保留根号） 36．手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为18cm，那么摄像区的长度为　 　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $