第1章 反比例函数单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+8典例精讲）复习讲义+重难点专题训练2026-2027学年九年级数学上册（苏科版）

本讲义系统梳理反比例函数核心知识，从定义（三种等价表达式、自变量取值范围）到图象性质（双曲线、对称性、k的符号影响象限与增减性），再到k的几何意义（矩形和三角形面积结论）、解析式求解（待定系数法）及实际应用（建模步骤），构建完整知识支架。 资料亮点在于7个易错辨析（如忽略k≠0前提、增减性需限定象限）和8类典例精讲（覆盖定义辨析、几何意义等题型），结合小测强化。通过具体实例培养抽象能力（表达式抽象）、推理意识（易错点逻辑分析）、模型意识（实际问题建模），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第1章 反比例函数 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 三种等价表达式 标准式：（） 乘积式：（，最常用于快速判断、求） 负指数式：（，用于根据定义求参数） 3. 自变量取值范围：，函数值，图象永远不与坐标轴相交。 【知识点02】反比例函数的图象与性质 1. 图象特征：图象是双曲线，由两支互不相交、永不重合的曲线组成；图象兼具中心对称（关于原点）和轴对称（直线y=x、y=-x）双重对称性；|k|越大，双曲线离坐标轴越远，开口越大。 2. k的符号决定图象位置与增减性（核心） k的取值 图象分布象限 函数增减性（必须限定范围） 图象特征补充 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 双曲线弧度平缓，远离坐标轴 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 双曲线弧度平缓，远离坐标轴 3. 图象趋势：双曲线无限靠近坐标轴，但永远不与轴、轴相交。 【知识点03】反比例函数k的几何意义（中考高频） 设点是反比例函数图象上任意一点： 1. 过点作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积： 2. 连接原点、点，作坐标轴垂线，围成的直角三角形面积： 核心结论：同一反比例函数上任意一点对应的几何面积恒定，只与|k|有关，与点的位置无关。补充拓展：若双曲线上的点向坐标轴作垂线，形成的任意封闭图形面积，均可通过割补法转化为或求解。 补充必考结论：同一反比例函数上任意两点与原点构成的三角形面积相等；双曲线上对称点围成的矩形、三角形面积均为定值。 【知识点04】反比例函数的解析式求解 1. 方法：待定系数法（唯一求解析式方法） 2. 步骤：一设（设反比例函数解析式）、二代（代入图象上已知点的横、纵坐标）、三求（解方程求出常数）、四写（还原完整解析式）。 注意：只需一个已知点坐标即可求解，区别于一次函数需两个点。 【知识点05】反比例函数实际应用 1. 建模场景：路程一定（速度与时间）、压力一定（压强与受力面积）、总价一定（单价与数量）、工程总量一定（工作效率与时间）等乘积为定值的反比例关系。 2. 解题步骤 1.审题：确定两个变量，判断乘积为定值，判定反比例关系； 2.建模：设，代入已知数据求，确定解析式； 3.限定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（正数、整数、取值区间）； 4.求解作答：代入计算，检验结果是否符合实际场景。 易错点1：忽略的前提条件 正确：反比例函数定义中，为常数且，若，式子变为，是常函数，不是反比例函数。 错误：判定为反比例函数时，只令指数，忽略系数。 解题口诀：指数为-1，系数不为0。 易错点2：笼统描述增减性，缺少“每一象限内” 错误：时，直接说“随增大而减小”。 正确：时，在每个象限内，随增大而减小。 原理：跨象限的点不满足单调性。例：，（），（），增大，也增大，因此不能笼统说整个定义域内随增大而减小，必须限定单个象限。 易错点3：比较函数值大小忽略象限位置 解题优先级：先看象限定正负，同象限再用增减性。 例：已知、在上，比较。 解析：在第三象限，在第一象限，故，无需用增减性判断。 易错点4：k的几何意义遗漏绝对值 错误：直接写三角形面积，忽略为负数时面积为负。 正确：面积是正数，必须带绝对值，，矩形面积。 区分：面积恒正，可正可负，的符号只决定图象象限，不影响面积大小。 易错点5：混淆函数图象与坐标轴的交点 反比例函数，图象永远不与x轴、y轴相交，无坐标轴交点、无顶点、无截距，切勿与一次函数、二次函数混淆。双曲线两支相互独立、永不相交，增减性仅适用于单支象限内。补充遗漏易错点：不能通过平移、上下左右移动得到反比例函数图象。 易错点6：遗漏反比例函数对称性应用 常见漏洞：解题忘记原点对称性质，若点在双曲线上，则对称点也在图象上；关于对称点、关于对称点同样在图象上，常用于快速求点、求值。 易错点7：混淆反比例关系与反比例函数 常见漏洞：两个变量成反比例关系，一定满足；但部分含参数的反比例关系，需要排除参数为0的情况，才能判定为反比例函数。 【题型一】反比例函数的定义辨析与参数求解 1．（25-26九年级上·江苏溧阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列函数的表达式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．需逐一判断各函数是否符合此形式．． 【详解】①，符合反比例函数的定义； ②，为正比例函数，不符合反比例函数的定义； ③，符合反比例函数的定义； ④由得，符合反比例函数的定义； ⑤，分母为 x+1 而非 x，不符合反比例函数的定义； ⑥，含常数项，不符合反比例函数的定义； 反比例函数有①、③、④，共3个． 故选C． 3．若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 4．（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 【答案】6 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】先将点代入反比例函数解析式求出的值，再将点代入解析式即可求出． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴． 【题型二】待定系数法求解析式 5．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．直接将点的横纵坐标相乘即可得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）反比例函数经过点，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 把点代入反比例函数解析式，解答即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ， 解得：， 故选：B． 7．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．：作交轴于，由该菱形的周长为和面积为，可求菱形边长和高，利用勾股定理可求，则B点坐标可求，进而解析式可求． 【详解】解：作交轴于， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形面积为， ∴， ， ∴， ， ∴，代入反比例函数， ． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，设，可得，，进而得到，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵点在上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 9．已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 【答案】当时，. 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】设反比例函数的解析式为，代入即可求出反比例函数的解析式，将代入即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 时，， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 当时，． 10．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式， 对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可； 对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案； 对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可. 【详解】（1）解：当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； （2）解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； （3）解：当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 【题型三】函数值大小比较 11．若点都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征分别代入，求出a、b、c的值，比较即可得答案． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 13．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用代入法求y值并比较大小是关键．根据反比例函数性质，时，函数图像在第一、三象限，代入点坐标计算y值并比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，   ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：B． 14．若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，根据即可判断结果． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ， 点在第四象限， ， ， 点，都在第二象限内， ， ． 故选：B． 15．若点，，都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 16．已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 【题型四】k的几何意义求面积、求k 17．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 18．如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、中点坐标 【分析】由题意可得，，然后根据旋转的性质表示出点E、F的坐标，再根据中点坐标公式得到点P的坐标，最后根据点B和点P都是图象上列出等式，化简即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∵将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， ∵点B和点P都在双曲线（且）上， ∴， 整理得． 19．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】①通过证明判断；②根据值不确定判断角度不确定；③分别计算四边形和的面积进行比对；⑤利用旋转全等模型求出点、坐标，进而求直线解析式；④通过反例或特定条件判断； 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点、在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵值不确定，大小不确定， ∴不一定等于，故②错误； ③设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ⑤将绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴正方形边长， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为，故⑤正确； ④由⑤知仅当时，成立，一般情况下不成立，故④错误； 综上所述，正确结论有①③⑤，共3个． 20．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行线间距离解决问题、根据三角形中线求面积 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 21．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、 求矩形在坐标系中的坐标、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知、两点横坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点横坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积底高，且底为，高为到轴的水平距离，即， ∴ 解得， 故答案为：2． 23．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 【答案】8 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】 本题考查了反比例函数中的几何意义，设反比例函数的解析式为，把，代入即可得出的值，再根据矩形面积是个定值，即即可得出答案． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为，把，代入，得， 矩形的面积． 24．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 【题型五】反比例函数与一次函数综合 25．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】解：A、一次函数经过一、三、四象限，则，则反比例函数经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数不可能过一、二、三象限，图象不正确，反比例函数图象过一、三象限，则，故此选项错误，不符合题意； C、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项错误，不符合题意； D、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意； 故选D． 26．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．对进行讨论，分和两种情况，再根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】解：时，，在一、二、四象限，在一、三象限，选项符合． 时，，在一、三、四象限，在二、四象限，无选项符合； 故选：D． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 28．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 29．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 30．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 【题型六】反比例函数实际应用 31．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）先通过表格数据判断与的乘积为定值，确定二者是反比例函数关系，进而求出函数解析式， （2）代入指定的体积值计算对应的气压． 【详解】（1）解：由表格中的对应数据计算 可得 所以 结合实际背景，气体体积不能为0， 因此自变量的取值范围是即气体的气压关于气体的体积的函数解析式为； （2）解：当时 答：气体的气压为． 32．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 33．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 34．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上． (1)根据图中信息，求丁班级的优秀率； (2)学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果． 【答案】(1) (2)甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖” 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式的求解，解决本题的关键是熟练掌握反比例系数的含义． （1）设出函数解析式，再将点代入函数解析式求解出k的值，将代入求解优秀率即可； （2）根据函数图象可知，甲的y值最大，由此可得优秀率最高；再由反比例系数的意义判断优秀人数即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数解析式为， 由图象可知，点在函数图象上， ∴，解得， ∴该函数解析式为， 由图象可知，丁班级参加竞赛人数为30人， ∴， ∴丁班级的优秀率为； （2）解：根据图象可知，甲班级的优秀率最高， ∴给甲班级颁发“卓越先锋奖”； 由图象可知，丙位于该函数图象上方， ∴丙所在的函数解析式的反比例系数大于乙、丁所在的函数解析式的反比例系数， ∵优秀率为该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值， 即该班优秀人数即为对应函数的反比例系数， ∴丙班级的优秀人数最多， ∴给丙班级颁发“群星闪耀奖”； 综上，甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”． 35．嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【答案】(1) 解：根据表格，可得函数图象如图所示： ； (2) (3) 【知识点】用描点法画函数图象、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）先将拉力和分别代入反比例函数表达式，求出对应的值，再计算两个值的差，即可得到点移动的距离． 【详解】（1）略 （2）解：根据图象可得是的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把代入可得， 所以解析式为， （3）当时，代入得 ， 解得． 当时，代入， ， 解得． ∴移动距离为． 【题型七】反比例函数增减性 36．（24-25九年级上·北京顺义·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 37．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 38．若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数上中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随的增大而增大是解答此题的关键． 根据当时，y随x的增大而增大得出k的取值范围即可． 【详解】解∶反比例函数中， 当时，y随x的增大而增大， ， 故选∶A． 39．反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 【答案】减小 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 故答案为：减小． 40．已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和解不等式，根据反比例函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数，在每个象限内随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型八】反比例函数动态最值、取值范围问题 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 42．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在函数的图象上有一点，将点A先向右平移个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标 【分析】用含有k的代数式表示点A移动后所得到的点的坐标，再代入函数关系式进行计算即可． 【详解】解：将点先向右平移个单位，再向下平移k个单位后所得到点的坐标为， 又∵点在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去），或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出移动后的点坐标是解决本题的关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， ∴ 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 44．如图，当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围； (3)若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)3 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入，可求得点，然后把代入，即可求得反比例函数的解析式； （2）根据图象和当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点，即可得当时，的取值范围； （3）把代入反比例函数，可求得，由直线向上平移后经过点，可得直线BC的解析式为，即可得，过点A作AD平行y轴交直线BC于点D，可得，然后根据即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴， 把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：观察图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：把代入反比例函数， 得：， 解得：， ∴， ∵直线向上平移后经过点，交轴于点， ∴设直线BC的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 过点A作AD平行y轴交直线BC于点D， ∵直线BC的解析式为，， ∴当时，；当时，； ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次（反比例）函数的解析式、平移的性质、铅锤法求三角形的面积等，熟练掌握一次（反比例）函数图象与性质、数形结合思想的应用以及铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 1.一个定义：，三等价形式，自变量、函数值均不为0。 2. 两大性质：定象限、定象限内单调性，增减性必带“每一象限内”。 3. 一个核心几何意义：定点生定面积，三角面积，矩形面积，面积恒正。 4. 一个解题方法：待定系数法求解析式，只需一个图象上的点。 5. 避坑关键：不忘前提、不笼统描述全域增减、跨象限函数值优先比正负、面积计算必带绝对值、实际问题勿忘自变量取值范围、灵活运用对称性解题、区分反比例关系与反比例函数。 一、单选题 1．已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数可得：，代入各个选项的坐标点即可求解． 【详解】解：由反比例函数可得： ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查反比例函数，能根据反比例函数的解析式判断经过的点坐标是解题关键． 2．已知反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值，能理解函数图象上点的特点是解此题的关键． 将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 3．下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 4．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 6．如图，直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点，则与的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立直线与双曲线的表达式求出点的坐标，再由两点间距离公式表示出，即可求解与的比． 【详解】解：∵直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点， ∴， 解第一个方程组得，； 解第二个方程组得，， ∴，， ∴， ∴与的比为． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点D为线段的中点，将沿x轴向右平移至处．若函数（，）的图象经过点E．则k的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是坐标系内图形的平移，中点坐标公式，利用待定系数法求解反比例函数解析式．由题可得， ， 由平移性质可得平移距离为6， 可得，从而可得答案． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、，点D为线段的中点， ∴，， ∵将沿x轴向右平移至处， ∴平移距离为6， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 9．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 10．已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 11．反比例函数图象上有两点，，若，则等于__． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把，代入，结合，从而可得答案． 【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据速度时间路程，即可得到结论，正确理解路程、速度、时间三者之间的关系对解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为． 13．已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②④ 【分析】当时，，即可判断①；根据和时，即可判断②；当时，随x增大而增大，则随x增大而减小，由对称性可知当时，随x增大而增大，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：①当时，，即函数与y轴的交点为（0，1），故此说法错误； ②∵， ∴和时，， ∴函数图像关于y轴对称，故此说法正确； ③∵当时，随x增大而增大， ∴随x增大而减小， ∵函数图像关于y轴对称， ∴当时，随x增大而增大，如下图函数图象所示，故③错误； ④∵， ∴， ∴函数有最大值1，故此说法正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键． 14．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 15．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球__________爆炸．（用“会”或“不会”填空）    【答案】不会 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．设，将代入求出，求得，由时，气球将爆炸，得到，即，求得．因为，于是得到气球不会爆炸． 【详解】解：设，将代入求出， ， 当时，气球将爆炸， ，即，解得， ， 气球不会爆炸， 故答案为：不会． 16．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是___________． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】①③④ 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：①由图得：当时，，故此项说法正确； ② 当报警器刚好开始报警时，， 解得，由图可求得： ， 解得，故此项说法错误； ③当报警器刚好开始报警时，由上得， 则有， ， 由图求得， ∴， 解得：， 故此项说法正确； ④当报警器刚好开始报警时：， ， 当时，， ， ， ，故此项说法正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 17．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 18．设中边的长为，上的高线为，的面积为常数．已知y关于x的函数图象过点． (1)求y关于x的函数表达式和的面积． (2)画出函数的图象，并利用图象，求当时y的取值范围． 【答案】(1)函数的表达式为，的面积为 (2)图见解析， 【分析】（1）设的面积为S，由三角形面积公式得到，再把点代入解析式中进行求解即可； （2）根据（1）所求解析式，在坐标系中画出对应的函数图象，据此求解即可． 【详解】（1）解：设的面积为S，则， ∴． ∵函数图象过点， ∴， 解得． ∴所求函数的表达式为，的面积为． （2）解：因为，所以图象在第一象限．用描点法画出函数的图象，如图． 当时，； 当时，． 由图，得． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 19．如图，在直角坐标系中，Rt的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，点B(3，2)，反比例函数y＝ (k＞0)的图象经过BC边的中点D． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若与成中心对称，且的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上，①求OF的长；②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②见解析． 【分析】（1）先求出点D坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）①先判断出△ABC≌△EFG，得出GF=BC=2，GE=AC=1，进而得出E（1，3），即可得出结论； ②先判断出△AOF≌△FGE（SAS），得出∠GFE=∠FAO，进而得出∠AFE=90°，同理得出∠BAF=90°，进而判断出EF∥AB，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B（3，2），BC边的中点D， ∴点D（3，1）， ∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D（3，1）， ∴k=3×1=3， ∴反比例函数表达式为y＝； （2）①∵点B（3，2）， ∴BC=2， ∵△ABC与△EFG成中心对称， ∴△ABC≌△EFG（中心对称的性质）， ∴GF=BC=2，GE=AC=1， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴E（1，3），即OG=3， ∴OF=OG-GF=1； ②如图，连接AF、BE， ∵AC=1，OC=3， ∴OA=GF=2， 在△AOF和△FGE中， ∴△AOF≌△FGE（SAS）， ∴∠GFE=∠FAO， ∵∠FAO+∠OFA=90°， ∴∠GFE+∠OFA=90°， ∴∠AFE=90°， ∵∠EFG=∠FAO=∠ABC， ∵∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠FAO=90°， ∴∠BAF=90°， ∴∠AFE+∠BAF=180°， ∴EF∥AB， ∵EF=AB， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∴AF=EF， ∴四边形ABEF为菱形， ∵AF⊥EF， ∴四边形ABEF为正方形． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，判断出△AOF≌△FGE是解题的关键． 20．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， 补充其函数图象如下： (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 21．云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 【答案】(1) (2)36天 【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可； （2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可． 【详解】（1）解：（立方米）， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：当时，（天）， ∴蓄水池剩余的水能维持36天． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键． 22．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求关于的函数关系式； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 【答案】(1) (2) (3)在第至第分钟讲完这道题 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （）分别令一次函数和反比例函数值大于等于求得的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设， 将、两点代入得：， 解得：，， ∴关于的函数关系式是； （2）解：当时，设， 将代入得：， ∴关于的函数关系式是； （3）解：当时，，解得：， 当时，； 解得：， ∴老师本节课应该在第至第分钟讲完这道题． 23．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题： （1）把点的坐标代入反比例函数和一次函数解析式中，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，再求出点A坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：联立， 解得或， ， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知当或时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【知识点01】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 三种等价表达式 标准式：（） 乘积式：（，最常用于快速判断、求） 负指数式：（，用于根据定义求参数） 3. 自变量取值范围：，函数值，图象永远不与坐标轴相交。 【知识点02】反比例函数的图象与性质 1. 图象特征：图象是双曲线，由两支互不相交、永不重合的曲线组成；图象兼具中心对称（关于原点）和轴对称（直线y=x、y=-x）双重对称性；|k|越大，双曲线离坐标轴越远，开口越大。 2. k的符号决定图象位置与增减性（核心） k的取值 图象分布象限 函数增减性（必须限定范围） 图象特征补充 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 双曲线弧度平缓，远离坐标轴 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 双曲线弧度平缓，远离坐标轴 3. 图象趋势：双曲线无限靠近坐标轴，但永远不与轴、轴相交。 【知识点03】反比例函数k的几何意义（中考高频） 设点是反比例函数图象上任意一点： 1. 过点作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积： 2. 连接原点、点，作坐标轴垂线，围成的直角三角形面积： 核心结论：同一反比例函数上任意一点对应的几何面积恒定，只与|k|有关，与点的位置无关。补充拓展：若双曲线上的点向坐标轴作垂线，形成的任意封闭图形面积，均可通过割补法转化为或求解。 补充必考结论：同一反比例函数上任意两点与原点构成的三角形面积相等；双曲线上对称点围成的矩形、三角形面积均为定值。 【知识点04】反比例函数的解析式求解 1. 方法：待定系数法（唯一求解析式方法） 2. 步骤：一设（设反比例函数解析式）、二代（代入图象上已知点的横、纵坐标）、三求（解方程求出常数）、四写（还原完整解析式）。 注意：只需一个已知点坐标即可求解，区别于一次函数需两个点。 【知识点05】反比例函数实际应用 1. 建模场景：路程一定（速度与时间）、压力一定（压强与受力面积）、总价一定（单价与数量）、工程总量一定（工作效率与时间）等乘积为定值的反比例关系。 2. 解题步骤 1.审题：确定两个变量，判断乘积为定值，判定反比例关系； 2.建模：设，代入已知数据求，确定解析式； 3.限定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（正数、整数、取值区间）； 4.求解作答：代入计算，检验结果是否符合实际场景。 易错点1：忽略的前提条件 正确：反比例函数定义中，为常数且，若，式子变为，是常函数，不是反比例函数。 错误：判定为反比例函数时，只令指数，忽略系数。 解题口诀：指数为-1，系数不为0。 易错点2：笼统描述增减性，缺少“每一象限内” 错误：时，直接说“随增大而减小”。 正确：时，在每个象限内，随增大而减小。 原理：跨象限的点不满足单调性。例：，（），（），增大，也增大，因此不能笼统说整个定义域内随增大而减小，必须限定单个象限。 易错点3：比较函数值大小忽略象限位置 解题优先级：先看象限定正负，同象限再用增减性。 例：已知、在上，比较。 解析：在第三象限，在第一象限，故，无需用增减性判断。 易错点4：k的几何意义遗漏绝对值 错误：直接写三角形面积，忽略为负数时面积为负。 正确：面积是正数，必须带绝对值，，矩形面积。 区分：面积恒正，可正可负，的符号只决定图象象限，不影响面积大小。 易错点5：混淆函数图象与坐标轴的交点 反比例函数，图象永远不与x轴、y轴相交，无坐标轴交点、无顶点、无截距，切勿与一次函数、二次函数混淆。双曲线两支相互独立、永不相交，增减性仅适用于单支象限内。补充遗漏易错点：不能通过平移、上下左右移动得到反比例函数图象。 易错点6：遗漏反比例函数对称性应用 常见漏洞：解题忘记原点对称性质，若点在双曲线上，则对称点也在图象上；关于对称点、关于对称点同样在图象上，常用于快速求点、求值。 易错点7：混淆反比例关系与反比例函数 常见漏洞：两个变量成反比例关系，一定满足；但部分含参数的反比例关系，需要排除参数为0的情况，才能判定为反比例函数。 【题型一】反比例函数的定义辨析与参数求解 1．（25-26九年级上·江苏溧阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列函数的表达式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是反比例函数，则m的值为_______． 4．（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 【题型二】待定系数法求解析式 5．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．1 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）反比例函数经过点，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 8．在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． 9．已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 10．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 【题型三】函数值大小比较 11．若点都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 13．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若点，，都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A． B． C． D． 16．已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型四】k的几何意义求面积、求k 17．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 21．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 23．已知一个反比例函数，当时，．写出这个函数的解析式．如果在它的图象上任取一点，作轴，轴，，为垂足，求矩形的面积． 24．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【题型五】反比例函数与一次函数综合 25．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 26．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 29．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 30．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型六】反比例函数实际应用 31．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 32．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 33．（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 34．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上． (1)根据图中信息，求丁班级的优秀率； (2)学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果． 35．嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【题型七】反比例函数增减性 36．（24-25九年级上·北京顺义·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 37．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 38．若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 39．反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________． 40．已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【题型八】反比例函数动态最值、取值范围问题 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 42．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在函数的图象上有一点，将点A先向右平移个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．如图，当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围； (3)若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积． 1.一个定义：，三等价形式，自变量、函数值均不为0。 2. 两大性质：定象限、定象限内单调性，增减性必带“每一象限内”。 3. 一个核心几何意义：定点生定面积，三角面积，矩形面积，面积恒正。 4. 一个解题方法：待定系数法求解析式，只需一个图象上的点。 5. 避坑关键：不忘前提、不笼统描述全域增减、跨象限函数值优先比正负、面积计算必带绝对值、实际问题勿忘自变量取值范围、灵活运用对称性解题、区分反比例关系与反比例函数。 一、单选题 1．已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B． C．2025 D． 3．下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 4．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点，则与的比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点D为线段的中点，将沿x轴向右平移至处．若函数（，）的图象经过点E．则k的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 二、填空题 9．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 10．已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 11．反比例函数图象上有两点，，若，则等于__． 12．合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 13．已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号） 14．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 15．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球__________爆炸．（用“会”或“不会”填空）    16．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是___________． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 三、解答题 17．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 18．设中边的长为，上的高线为，的面积为常数．已知y关于x的函数图象过点． (1)求y关于x的函数表达式和的面积． (2)画出函数的图象，并利用图象，求当时y的取值范围． 19．如图，在直角坐标系中，Rt的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，点B(3，2)，反比例函数y＝ (k＞0)的图象经过BC边的中点D． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若与成中心对称，且的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上，①求OF的长；②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． 20．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 21．云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 22．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求关于的函数关系式； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 23．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取何值时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $