3.1 圆的相关概念 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的相关概念”核心知识点，从圆的两种定义切入，系统梳理弦、直径、弧等概念及圆的轴对称性、中心对称性，进而构建圆心角、弧、弦关系定理及“知一推二”推论的学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式+过关验收”分层设计，通过概念辨析（如等弧与长度相等弧的区别）和定理应用（如弦长范围判断），培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

3.1 圆的相关概念 内 容 导 航 题型1 圆的认识 题型2 圆心角、弧、弦的关系 考 点 演 练 题型1 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【变式2】已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 题型2 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【变式1】如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 过 关 验 收 1．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”描述的几何图形是（　　） A．圆 B．正方形 C．三角形 D．长方形 2．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 3．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（　　） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4．已知⊙O的半径为6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） A．6 B．8 C．12 D．13 5．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 7．已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 8．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②在同一平面内，如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 　　 cm． 10．如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为　　 cm． 11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　　 ． 12．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是　　 ． 13．已知⊙O中最长的弦长为10cm，则⊙O的半径为 　　 cm． 14．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形． （2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形． 15．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数． 16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交于点E，则的度数为（　　） A．50° B．40° C．55° D．60° 17．如图所示，在⊙O中，点B是弧AC的中点，若∠D＝30°，则∠BOC＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 18．如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 19．如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 20．如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝35°，那么∠AOE＝（　　） A．35° B．75° C．80° D．115° 21．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 22．已知弦AB把圆周分成1：4的两部分，那么弦AB所对的弧的度数为　　　 　 ． 23．在半径为3的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角的度数是　　　 ． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为　　 　 ． 25．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 26．如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且AB＝CD．求证：AC＝BD． 27．小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 28．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 29．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径作圆分别交AB、AC于点D、E，求弧DE的度数． 30．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE． 31．已知，如图，点A，B，C，D是⊙O上四个点，AD＝BC． 求证：AB＝CD． 32．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 33．如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D、C两点不与A、B重合． （1）求证：； （2）AD+BC＝CD成立吗？为什么？ 34．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 圆的相关概念 内 容 导 航 题型1 圆的认识 题型2 圆心角、弧、弦的关系 考 点 演 练 题型1 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径， 所以AB≤8． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解：∵AB＝7cm，半径为2cm的圆的直径为4cm，4＜7， ∴A，B两点，且半径为2cm的圆没有． 故选：A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解答】解：A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选：C． 题型2 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【答案】D 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 【变式1】如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝64°． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解答】解：A．直径是弦，弦不一定是直径，说法错误，所以此选项正确，不符合题意； B．同圆或等圆中，半圆比劣弧长，比优弧短，说法错误，所以此选项正确，不符合题意； C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦，说法正确，所以此选项错误，符合题意； D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法错误，所以此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【解答】解：A．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意； B．半圆是弧，但弧不一定是半圆，故弧不一定是半圆，故符合题意； C．等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故不符合题意； D．圆的切线垂直于过切点的半径，故不符合题意； 故选：B． 过 关 验 收 1．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”描述的几何图形是（　　） A．圆 B．正方形 C．三角形 D．长方形 【答案】A 【解答】解：∵战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”中，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， ∴该图形是圆， 故选：A． 2．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 【答案】A 【解答】解：∵两脚间的距离是3厘米， ∴圆的半径为3厘米，周长为6π厘米，面积为9π平方厘米， 故选：A． 3．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（　　） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解答】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等和圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 故选：C． 4．已知⊙O的半径为6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） A．6 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【解答】解：∵⊙O的半径为6， ∴⊙O的直径为12， ∴⊙O中弦AB的长度≤12， 故选：D． 5．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：如图，连接OC． ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10， ∴OB6， ∴AB＝OA﹣OB＝4， 故选：C． 6．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径是5cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm， 故选：B． 7．已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的半径是8cm， ∴⊙O中最长弦长是16cm． 故选：C． 8．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②在同一平面内，如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：①∵圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径， ∴同一圆上的点到圆心的距离相等， 故①正确； ②∵在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上， ∴如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆， 故②正确； ③∵半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定， ∴③不正确， 综上所述：正确的是①②， 故选：A． 9．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 　　 cm． 【答案】8 【解答】解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 故答案为：8． 10．如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为　　 cm． 【答案】4 【解答】解：∵OA＝OB， 而∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB＝OA＝4cm． 故答案为4． 11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　　 ． 【答案】10 【解答】解：连接OC， ∵CD＝4，OD＝3， 在Rt△ODC中， ∴OC5， ∴AB＝2OC＝10， 故答案为：10． 12．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是　　 ． 【答案】6cm． 【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）． 故答案为：6cm． 13．已知⊙O中最长的弦长为10cm，则⊙O的半径为 　　 cm． 【答案】5． 【解答】解：∵⊙O中最长的弦为10cm，即直径为10cm， ∴⊙O的半径为5cm． 故答案为：5． 14．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形． （2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1， 分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，它们的交点为所求； （2）以A点为圆心，1.5cm为半径画⊙A；以B点为圆心，1cm为半径画⊙B，如图2， ⊙A和⊙B相交于P和Q，则在⊙A内，除去⊙A与⊙B的公共部分为所求． 15．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接OB， 由AB＝OC，得AB＝OB，∠AOB＝∠A． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A． 由OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A． 由∠A+∠E＝∠EOD，即∠A+2∠A＝48°． 解得∠A＝16°． 16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交于点E，则的度数为（　　） A．50° B．40° C．55° D．60° 【答案】A 【解答】解：如图，连接CD， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∵BC＝CD， ∴∠CDB＝∠B＝65°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴的度数为50°． 故选：A． 17．如图所示，在⊙O中，点B是弧AC的中点，若∠D＝30°，则∠BOC＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵点B是弧AC的中点，∠D＝30°， ∴， ∴∠BOC＝2∠D＝60°． 故选：D． 18．如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 【答案】D 【解答】解：∵∠AOC＝130°， ∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°， ∵， ∴∠BOC＝∠BOD＝50°． 故选：D． 19．如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵70°， ∴∠AOD＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°， 故选：B． 20．如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝35°，那么∠AOE＝（　　） A．35° B．75° C．80° D．115° 【答案】B 【解答】解：∵D，C是劣弧EB 的三等分点，∠BOC＝35°， ∴∠BOE＝3∠BOC＝105°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝75°， 故选：B． 21．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 【答案】30° 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 22．已知弦AB把圆周分成1：4的两部分，那么弦AB所对的弧的度数为　　　 　 ． 【答案】36°或144°． 【解答】解：由题知， 因为弦AB把圆周分成1：4的两部分， 所以弦AB所对的圆心角的度数为， 则弦AB所对的弧的度数为：或180°﹣36°＝144°． 故答案为：36°或144°． 23．在半径为3的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角的度数是　　　 ． 【答案】90°． 【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OF⊥AB于点F，则， ∵OA＝3，， ∴ ∵OF⊥AB， ∴△AFO是直角三角形， ∴， ∴∠AOF＝45°， ∴∠AOB＝2∠AOF＝90°， 故答案为：90° 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为　　 　 ． 【答案】52° 【解答】解：连接CD，如图， ∵∠C＝90°，∠A＝26°， ∴∠B＝64°， ∵CB＝CD， ∴∠CDB＝∠B＝64°， ∴∠BCD＝180°﹣64°﹣64°＝52°， ∴的度数为52°． 故答案为52°． 25．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 26．如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且AB＝CD．求证：AC＝BD． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 27．小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】尝试：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝120°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠AOC＝∠BOD＝40°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝30°+40°＝70°， ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝70°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 猜想：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝n°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC， ∵OA＝OC，∠AOC， ∴∠ACE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 【解答】证明：尝试：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝120°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠AOC＝∠BOD＝40°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝30°+40°＝70°， ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝70°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 猜想：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝n°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC， ∵OA＝OC，∠AOC， ∴∠ACE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 28．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：解法一：∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE． 解法二：连接AC， ∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AE＝CE． 29．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径作圆分别交AB、AC于点D、E，求弧DE的度数． 【答案】弧DE的度数为34°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝62°， ∵CB＝CD， ∴∠B＝∠CDB＝62°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝56°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCD＝34°， ∴弧DE的度数为34°． 30．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE． 【答案】见解答过程． 【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC， ∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AE＝CE． 31．已知，如图，点A，B，C，D是⊙O上四个点，AD＝BC． 求证：AB＝CD． 【答案】证明见解析． 【解答】解：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD． 32．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD； （2）连接OB、OC、BC， ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴E、O都在BC的垂直平分线上， ∴EO⊥BC． 33．如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D、C两点不与A、B重合． （1）求证：； （2）AD+BC＝CD成立吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB为⊙O直径，∠DOC＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠DOC＝90°， ∴； （2）AD+BC＞CD， 理由：在上截取， 故， 则DE＝AD，BC＝EC， 在△DEC中 DE+EC＞DC， 故AD+BC＞CD． 34．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠E， ∴∠DOB＝∠BOE， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $