3.1圆的相关概念（讲义，4知识4题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆”的核心知识，从圆的定义（圆心确定位置、半径确定大小）出发，逐步延伸到弦、直径等相关线段，半圆、劣弧、优弧等相关弧，以及圆心角、同心圆、等圆等概念，构建从基础到进阶的学习支架。 资料以“即学即练”和“变式巩固”为亮点，结合生活实例（如车轮平稳行驶原理）培养数学眼光，通过易错点提示和推理应用（如圆心角与弧的度数关系）发展数学思维，课中辅助教师教学理解，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

第三章 圆 3.1 圆的相关概念 知识点一 圆的定义 1. 平面内到一定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合叫作圆。 2. 圆心：确定圆的位置； 3. 半径：确定圆的大小。 4. 圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。 即学即练 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 【详解】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 知识点二 圆的相关线段 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫作直径；直径是圆中最长的弦；直径长度 = 2倍半径（）。 即学即练 1．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 2．（2026·甘肃兰州·二模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 知识点三 圆的相关弧 1. 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧，用符号“”表示。 2. 半圆：圆的任意一条直径所对的弧，度数为。 3. 劣弧：小于半圆的弧（度数）；优弧：大于半圆的弧（度数，需用三个字母表示）。 即学即练 1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 知识点四 圆心角与特殊圆 1. 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫作圆心；圆心角的度数 = 所对弧的度数。 2. 同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆；等圆：半径相等、圆心不同的两个圆（可完全重合）。 3. 同圆或等圆的半径相等。 即学即练 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 题型01 根据圆的基本概念求解 / （1）误以为任意三点都能确定一个圆，共线三点无法确定圆； （2）仅凭肉眼判断点与圆位置，不计算距离。 典｜例｜精｜析 1．（2026·浙江温州·二模）如图，在中， ，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而得到的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 题型02 圆的周长 / （1）知半径用，知直径用； （2）半圆弧长为，组合图形分段计算总长； （3）无要求时结果保留。 典｜例｜精｜析 1．（25-26六年级下·上海静安·期中）一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 2．（2026·江苏南京·一模）漫步绿道，悦享人生 社区准备在矩形空地内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平行直道组成，其中一条直道在边上．已知，． (1)绿道可设计的最大周长为____________； (2)如图②，因国防建设需要，场地一角区域不参与设计，已知，，求此时绿道可设计的最大周长．（画出示意图，并说明理由） 【答案】(1)； (2)，示意图见详解． 【分析】（1）由题意得出半圆的直径最大为，再通过半圆周长加上直道长即可； （2）延长，，相交于点，设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，，设与相交于点，过点作，垂足为点，得出，证得，求出，，在直角中通过求出，再求出，通过求出，从而求出绿道周长，得出绿道周长随半径的增加而增大，得出当时，取得最大值即可． 【详解】（1）解：，， 两个半圆的直径最大为， 绿道可设计的最大周长为； （2）解：示意图： 理由：延长，，相交于点， 设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，， 平分， 设与相交于点，过点作，垂足为点， ， ，，， ， ，， ，， 在直角中，，即，解得， ， ，， ， ，即， ， 直道， 绿道周长， ， 绿道周长随半径的增加而增大， 时，取得最大值． 题型03 圆的面积 / （1）先由直径求半径，再用计算； （2）半圆面积：；圆环面积：； （3）阴影面积常用割补、作差法求解。 典｜例｜精｜析 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为________平方米． 【答案】2π 【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， 连接，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的比例，圆的面积公式，得到各圆半径是解题的关键． 设，则，，再根据圆的面积公式的计算求解即可． 【详解】解：设， ， ，， 则，，， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 题型04 圆心角的简单运算 / （1）整圆圆心角，半圆，利用角度和差计算； （2）同圆/等圆中，圆心角、弧、弦可知一推二； （3）按比例分配求解等分圆的圆心角。 典｜例｜精｜析 1．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.1 圆的相关概念 知识点一 圆的定义 1. 平面内到一定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合叫作圆。 2. 圆心：确定圆的位置； 3. 半径：确定圆的大小。 4. 圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。 即学即练 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 知识点二 圆的相关线段 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫作直径；直径是圆中最长的弦；直径长度 = 2倍半径（）。 即学即练 1．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃兰州·二模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 知识点三 圆的相关弧 1. 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧，用符号“”表示。 2. 半圆：圆的任意一条直径所对的弧，度数为。 3. 劣弧：小于半圆的弧（度数）；优弧：大于半圆的弧（度数，需用三个字母表示）。 即学即练 1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 知识点四 圆心角与特殊圆 1. 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫作圆心；圆心角的度数 = 所对弧的度数。 2. 同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆；等圆：半径相等、圆心不同的两个圆（可完全重合）。 3. 同圆或等圆的半径相等。 即学即练 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 题型01 根据圆的基本概念求解 / （1）误以为任意三点都能确定一个圆，共线三点无法确定圆； （2）仅凭肉眼判断点与圆位置，不计算距离。 典｜例｜精｜析 1．（2026·浙江温州·二模）如图，在中， ，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 题型02 圆的周长 / （1）知半径用，知直径用； （2）半圆弧长为，组合图形分段计算总长； （3）无要求时结果保留。 典｜例｜精｜析 1．（25-26六年级下·上海静安·期中）一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 2．（2026·江苏南京·一模）漫步绿道，悦享人生 社区准备在矩形空地内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平行直道组成，其中一条直道在边上．已知，． (1)绿道可设计的最大周长为____________； (2)如图②，因国防建设需要，场地一角区域不参与设计，已知，，求此时绿道可设计的最大周长．（画出示意图，并说明理由） 题型03 圆的面积 / （1）先由直径求半径，再用计算； （2）半圆面积：；圆环面积：； （3）阴影面积常用割补、作差法求解。 典｜例｜精｜析 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为________平方米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 题型04 圆心角的简单运算 / （1）整圆圆心角，半圆，利用角度和差计算； （2）同圆/等圆中，圆心角、弧、弦可知一推二； （3）按比例分配求解等分圆的圆心角。 典｜例｜精｜析 1．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $