2.4《用一元二次方程解决问题2》教案2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该教案聚焦用一元二次方程解决平均增长率、几何计算、动点问题，以校园劳动实践基地情境导入，衔接已学的方程解法与初步建模经验，搭建“实际问题-方程建模”学习支架。 特色在于分层教学（A/B/C层练习作业）、数形结合（几何示意图、动点动态演示）及易错警示，通过例3动点问题分段分析培养逻辑推理，几何问题用面积、勾股定理建模发展数学建模与直观想象，助力学生提升建模能力，为教师提供清晰教学流程与分层资源。

2.4 用一元二次方程解决问题（2） 课题：平均增长率问题及常见变化· 几何计算、动点问题 教材版本 苏科版（2024）九年级数学上册 所属章节 第二章 一元二次方程 → 2.4 用一元二次方程解决问题（第2课时 / 共3课时） 课 型 新授课 授课教师 __________（请填写） 所 在 单 位 __________（请填写） 学 年 2026 — 2027 学年 本课时在学生学习一元二次方程的概念、解法（配方法·因式分解法·公式法）与根与系数关系，并初步经历「列方程解应用题」一般步骤的基础上，聚焦平均增长率、几何计算、动点三类典型情境，深化数学建模与数形结合思想. 一、教学内容分析 本课是苏科版（2024）九年级上册第3章「一元二次方程」2.4 节的第 2 课时. 在学生已掌握一元二次方程的概念、三种解法及根与系数关系，并初步接触「列方程解应用题」一般步骤之后，本节课聚焦两类典型实际问题：平均增长率问题及常见变化· 几何计算、动点问题. 通过「实际问题—设元—列方程—求解—检验—作答」的完整建模链条，进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型，发展数学建模与数形结合思想. 位置 内容 与前后联系 已学 第1章反比例函数；第2章 2.1 概念、2.2 三种解法、2.3 根与系数关系；2.4（1）面积问题与几何体计算 提供解方程工具与「列方程」初步经验 本课 2.4（2）平均增长率问题及常见变化· 几何计算、动点问题 在已学基础上深化两类情境的建模能力 二、学情分析 ▶ 已学 · 本课 · 未学 已学：一元二次方程概念与三种解法（含公式法、判别式）；根与系数关系；2.4（1）已初步经历「列方程—求解—检验」；八下勾股定理、矩形面积等几何知识. 本课：在两类情境中抽象等量关系、列一元二次方程并求解检验. 维度 学情分析 教学对策 知识基础 能解一元二次方程，但「从情境中提取等量关系」仍是难点 用表格 / 图形把数量关系显性化 认知特点 对纯代数列方程易畏难；对图形、运动过程较感兴趣 几何与动点配示意图，数形结合降低抽象 易错环节 增长率混淆 a(1+2x) 与 ；动点不分段、忽略运动时间范围；根不检验取舍 设「易错警示」框，强调检验实际意义 三、教学目标（核心素养） 核心素养 教学目标 数学建模 能从平均增长率和几何计算、动点两类情境中抽象出等量关系，列出一元二次方程 数学运算 能选择合适方法（因式分解 / 公式法）求解方程，并正确进行根的检验与取舍 直观想象 能借助矩形、直角三角形、动点轨迹等图形直观呈现已知与所求，体会数形结合 逻辑推理 能有条理地分析动点问题的运动过程，按时间分段建立等量关系，论证根的合理性 四、教学重难点 类别 内容 教学重点 从各类问题中寻找等量关系，列出一元二次方程并求解、检验 教学难点 动点问题中运动过程分段与等量关系建立；几何图形中隐含条件的挖掘；根的合理性检验 五、教学方法与教具 项目 内容 教学方法 启发引导、问题驱动、讲练结合、数形结合、合作探究 教具准备 多媒体课件、几何示意图、动点动态演示、分层学案 六、教学过程（40 分钟） 教学环节 时间 核心任务 导入 约 4 分钟 认知冲突：生活问题→数学模型，激发探究欲 新授 约 22 分钟 模块一 平均增长率及常见变化；模块二 几何计算、 动点问题 巩固 约 9 分钟 分层练习 A（基础）/ B（提升）/ C（拓展），当堂反馈 小结 约 3 分钟 梳理「列方程解应用题」步骤与各类问题模型（思维导图） 作业 约 2 分钟 分层作业 A / B / C + 附加拓展提高，明确要求 环节一 导入（约 4 分钟） （一）情境导入（约4分钟） 校园劳动实践基地（矩形花圃）扩建. 我校劳动实践基地是一块矩形花圃，同学们在花圃边设计『两点匀速浇水』的小实验，这背后就藏着一元二次方程. 校园劳动实践基地（矩形花圃）实景 ▶ 设计意图 以本校熟悉的劳动实践基地切入，制造『生活问题→数学模型』的认知冲突，激发探究欲；同时为本课『一境到底』埋下伏笔. 环节二 新授（约 22 分钟） 模块一 平均增长率问题及常见变化 ▶ 学习重点 抓住「变化次数 = 终止年份 − 起始年份」，用 基数× = 终值 列方程（n 为变化次数）. 例1 某商店 2024 年利润为 100 万元，计划 2026 年利润达到 144 万元. 若该商店利润的年平均增长率相同，求这个年平均增长率. 【审题·思路】基数 100（2024），经过 2 年增长到 144（2026），增长次数 n=2，设年增长率为 x. 【突破·建模】关键等量：基数 × = 终值（n 为变化次数）. 列出方程： 【解答】两边同除以 100，得 开平方（舍去负根），得 ，故 检验：100 × = 144，符合题意. 答：年平均增长率为 20%. 例1 变式（传播问题）某传染病初期有 2 人患病，若每轮每人传染给 人，经过两轮传染后共有 50 人患病（每轮传染中平均每人传染人数相同，且无人治愈）. 求每轮每人传染的人数 . 审题：已知初始人数与两轮后总人数，求每轮传染人数；注意『每轮在上一轮总人数的基础上再传染』. 启发：两轮后人数 （ 为初始人数），与增长率模型同构. 难点：易错在把『两轮』写成 ；要区分『每轮倍数增长』与『线性叠加』. 解答：解：第 1 轮后患病人数：. 第 2 轮后患病人数：. 由题意：，即 . 开平方： 或 ，得 ，（舍）. 因 ，故 . 检验：第1轮 人，第2轮 人，符合题意. 答：每轮每人传染 4 人. 反思：传播/握手问题通法：初始量 最终量（ 为轮数/次数），与增长率一致. 例1 变式（握手问题）一次同学聚会，所有人两两握手一次，共握手 28 次. 求参加聚会的人数. 审题：设参加聚会的有 人，每人握手 次，总次数为 . 解答：解：设参加聚会的有 人，每人握手 次，总次数为 . 由题意：，即 . 因式分解：，得 ，（不合题意，舍去）. 答：参加聚会的有 8 人. ▶ 易错警示 平均增长率是「复利」模型 ，不是 . 注意：称为「平均增长率」时 n 表示「增长次数」，等于终止量减去起始量. 模块二 几何计算题、动点问题 ▶ 方法点拨 几何计算题的「桥梁」是图形中的等量关系：矩形用 长 × 宽 = 面积，直角三角形用 勾股定理. 设元时优先设「出现次数最多」的量为 x. 例2（矩形面积） 矩形苗圃长比宽多 2 m，面积为 48 m². 求这个矩形的长和宽. 【审题·思路】设宽为 x m，则长为 (x+2) m，由 长 × 宽 = 面积 列式： 【解答】展开并整理，得 因式分解，得 解得 x=6（舍去 x=−8）. 长 = 8 m，宽 = 6 m. 检验：6 × 8 = 48，符合. 答：长 8 m，宽 6 m. 例2 变式（直角三角形·勾股定理） 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=x+3，BC=2x，斜边 AB=15. 求 x 的值. 【审题·思路】由 勾股定理：AC² + BC² = AB² 列式： 【解答】展开整理，得 因式分解，得 解得 x=6（舍去 x=− ）. 故 AC=9，BC=12. 检验： + = 225 = ，符合. 答：x=6. ▶ 学习难点·如何突破 动点问题先「定范围」再「列关系」：先由「先到终点者」确定 t 的上限，再按运动过程写出含 t 的线段长，利用图形面积 / 勾股定理列式；解得的根必须落在该范围内，超出者舍去. 例3 在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm. 点 P 从 A 点开始沿 AB 边向 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动. 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，几秒后 △PBQ 的面积等于 12 ？ 审题：题目给出 Rt△ 中两点从定点出发匀速运动，求面积为定值的时刻；关键弄清『哪些量在变、哪些量不变』. 启发：由运动速度与时间 t，用含 t 的代数式表示 、；再用面积公式 列方程. 突破：易错在『解出根后忘记检验』： 必须使 、 不越过终点，即 ；超出范围的根要舍去. 解答：解：设 t 秒后 △PBQ 面积为 12 ，此时 ，（需满足 ，使 Q 不超出 C 点）. 由 ，得 . 化简：，即 ，整理得 . 因式分解：，解得 ，. 检验：当 时，，不合题意，舍去；当 时符合题意. 答：2 秒后 △PBQ 的面积等于 12 . 反思：动点问题通法：设时间 t → 表示动线段 → 用面积/勾股列式 → 解 → 几何范围检验. 例题3变式　矩形 ABCD 中，AB=5cm，BC=4cm. 点 P 从 A 沿 AB 向 B 以 1cm/s 运动，点 Q 从 B 沿 BC 向 C 以 1cm/s 运动. 几秒后 △PBQ 的面积为 3 ？ 【分析】设 t 秒后，，，则 . 【解答】解：设 t 秒后，，，则 . 整理：，即 ，得 . 解得 ，，均满足 （Q 不超出 C，P 不超出 B），两根都符合题意. 答：2 秒或 3 秒后面积为 3 . ▶ 易错警示 动点问题务必先确定「运动时间范围」——由先到终点者决定 t 上限，求得的根必须落在该范围内，超出者舍去；面积关系进一步巩固，提醒面积公式不能用错，比如三角形面积的“ ”. 环节三 巩固（约 9 分钟） 分层练习：建议全员完成 A 层，多数学生完成 B 层，学有余力者挑战 C 层. 当堂反馈，重点点评动点题的「范围取舍」. A 层（基础 · 全员必做） A1 某厂今年产值 500 万元，预计后年产值达到 720 万元. 若年平均增长率相同，求这个增长率. A2 矩形苗圃长比宽多 4 m，面积为 60 m². 求长与宽. A3 直角三角形两直角边分别为 x 与 x+2，斜边长 10. 求两直角边长. B 层（提升 · 多数学生做） B1 某商品原价 100 元，连续两次降价后售价 81 元，每次降价率相同. 求每次降价率. B2 用 32 m 篱笆围建一面靠墙（墙长 15 m）的矩形花园，其他三边用篱笆，面积 120 m². 求花园的长与宽. B3 某传染病初期有 3 人患病，每轮每人传染人数相同，经过两轮传染后共有 48 人患病. 求每轮每人传染的人数. C 层（拓展 · 挑战选做） C 矩形ABCD 中 AB=9 cm，BC=6 cm. P 从 A 沿 AB 以 1 cm/s 向 B，Q 从 B 沿 BC 以 2 cm/s 向 C，同时出发到终点停. 何时 = 8 cm²？ 环节四 小结（约 3 分钟） ① 列方程解应用题六步：审题 → 设元 → 列式 → 求解 → 检验 → 作答. ② 平均增长率：基数 = 终值（n 为变化次数）. ③ 几何计算：矩形看面积、直角△看勾股定理，设元优先选「公共量」. 动点问题：先定时间范围，再按运动过程列等量关系，根须落在区间内. ▶ 方法总结 三类问题本质相同——都是把「实际情境」翻译成「一元二次方程」，解方程后再「翻译回实际」并检验根的合理性. 环节五 作业（约 2 分钟） 层级 内容 要求 A 层（基础） 完成例1、例2 同类 2 题；巩固 A1—A3 全员必做，规范书写六步 B 层（提升） 巩固 B1—B3；自编一道几何计算题并求解 多数学生完成 C 层（拓展） 巩固动点问题 学有余力者选做 七、板书设计 主板书（知识主干 · 例题 · 关键步骤） 侧板书（易错提醒 · 生成性内容） 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 一、平均增长率： 例1 → x=20% 传播问题： → ，（舍） 握手问题：→ ，（舍） 二、几何计算：面积 / 勾股定理 例2 矩形 x(x+2)=48 → 长8宽6 例2变 Rt△ → x=6 例3 → ，（舍） • 增长率是 ，不是 • 动点先定 t 的范围，根超范围舍去 • 解出的根要检验实际意义 （边长>0、时间≥0、不超过墙长等） • 几何题先画（标）图，再列式 八、附加拓展提高（对接核心素养） ▶ 设计说明 以下体现「知识 → 能力 → 素养」进阶：在巩固基础上，进一步拓展方程应用场景、培养推理能力与运算能力，使拔高题成为核心素养落地的载体. 数字问题——设元列方程 【例题】一个两位数，十位数字比个位数字小 2，且两个数字的平方和等于 34. 求这个两位数. 审题：已知两位数的数位关系与平方和，求这个数；设十位（或个位）为 x，用代数式表示另一数位. 思路启发：两位数 十位 个位；平方和即两数位的平方相加，直接列方程. 难点突破：易错在忽略『数位为 0~9 整数』的隐含条件，舍去不合题意的根. 规范解答：解：设十位数字为 ，则个位数字为 . 由题意：. 展开：，即 ，化简 . 因式分解：，得 ，（不合题意，舍去）. 个位数字 ，故这个两位数为 35. 检验：，符合题意. 回顾反思：数字问题通法：设数位→表原数→按等量关系列方程→结合数位范围检验. 变式训练：两个连续正整数的平方和为 25，求这两个连续正整数. 【分析】设较小的正整数为 ，则较大的为 . 【解答】解：设较小的正整数为 ，则较大的为 . 由题意：. 展开：，即 . 因式分解：，得 ，（不合题意，舍去）. 答：这两个连续正整数为 3 和 4. 检验：，符合题意. 九、参考答案与详细解析 （二）巩固练习 A1 设年平均增长率为 x. 由题意，得 整理得，1+x=1.2（舍负），所以 答：年平均增长率为 20%. A2 设宽为 x m，则长为 (x+4) m. 由题意，得 整理，得 因式分解，得 解得 x=6（舍去 x=−10）. 长 = 10 m. 答：长 10 m，宽 6 m. A3 设较短直角边为 x，则较长边为 x+2. 由题意，得 展开，得 整理、因式分解，解得 x=6（舍去 x=−8）. 另一条直角边 = 8. 答：两直角边长为 6 和 8（6—8—10）. B1 设每次降价率为 x. 由题意，得 整理得 开平方，1−x=0.9（舍负），所以 答：每次降价率为 10%. B2 设垂直于墙的边为 x m，则平行于墙的边为 (32−2x) m. 由题意，得 展开，得 整理，得 因式分解，得 解得 x=6 或 x=10. 当 x=6 时，平行边 = 32−12 = 20 > 15（墙长不够，舍去）；当 x=10 时，平行边 = 12 ≤ 15（符合）. 答：垂直于墙 10 m，平行于墙 12 m. B3 设每轮每人传染的人数人 由题意：，即 . 开平方： 或 ，得 ，（舍去）. 答：每轮每人传染 3 人. 检验：第1轮 人，第2轮 人，符合题意. C 设运动 t 秒. 则 PB=9−t，BQ=2t. 由 = ·PB·BQ，得 化简，得 整理，得 因式分解，得 解得 运动范围：P 到 B 需 9 s，Q 到 C 需 3 s，停止于 t=3 s. ≤ 3，有效. 答：运动 1 秒时，△PBQ 面积为 8 cm². 十、结尾页 把世界装进方程，让未知变得可解. —— 本课聚焦「平均增长率 · 几何计算 · 动点」三类建模，愿学生在列与解中体会数学的力量. 学科网（北京）股份有限公司 $