2026年暑假苏科版九年级数学上册预习手册18《第4章数据的集中趋势和离散程度第4节数据的离散程度》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册18 《第4章数据的集中趋势和离散程度第4节数据的离散程度》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解离散程度的含义，区分集中趋势与离散程度；掌握极差、方差、标准差三个衡量数据波动的统计量，熟记三者定义与计算公式。 2.会分步计算一组数据的极差、方差、标准差，能依据数值大小判断数据稳定性。 3.掌握数据平移、缩放后方差、标准差的变化规律，熟练解决同类变式计算题。 4.结合折线示意图、箱线图对比两组数据波动，能结合生活情境（体育测试、产品检测）分析数据离散程度，完成简单说理应用题。 5.辨析极差、四分位距、方差的优缺点，理解实际问题中选择合适统计量描述波动的依据。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.极差、方差、标准差的计算公式与完整计算步骤； 2.根据方差大小判断数据波动、稳定性； 3.方差的两条核心变换性质（加减常数、乘除正数对方差的影响）。 （二）难点 1.方差计算过程中离差平方求和的运算，易出现计算失误； 2.区分极差、四分位距、方差的适用场景，能根据题意合理选用； 3.结合折线图、箱线图综合分析多组数据的集中趋势与离散程度。 ) 三．自主探究 【情境引入】——仅看平均数无法判断数据稳定性 甲、乙两名同学5次数学测验成绩： 甲：80，82，78，80，80 乙：60，100，80，75，85 计算两人平均分： 。 【思考】两人平均分完全相同，但两人成绩起伏差异巨大，如何量化描述成绩波动大小？ （一）极差（最简单的波动统计量） 计算甲乙成绩极差 甲最大值82，最小值78，极差=82-78=4； 乙最大值100，最小值60，极差=100-60=40。 1.定义：一组数据最大值−最小值，记作极差，刻画数据整体取值范围 。 2.公式：极差=最大值-最小值。 3.结论：极差越大，数据波动越大；极差越小，数据越稳定。 4.辨析：极差仅使用最值，极易受极端值干扰，无法体现中间数据波动。 （二）离差、方差、标准差 1.离差d： （1）定义：一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数，我们把(i=1，2，…，n)叫作xi关于平均数的离差或偏差. （2）公式：d=(i=1，2，…，n)。 （3）离差的意义：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，(x1-)+(x2-)+…+(xn-)= x1+x2+…+xn-n=0，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 2.方差s2 1.定义：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. （2）公式：一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数， （3）方差的意义：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小． 3.标准差s （1）定义：方差的算术平方根，单位与原始数据一致，方便实际对比 （2）s= （3）标准差的意义：能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． （三）方差的计算 甲、乙两名选手5次短跑成绩（单位：s） 甲：12，13，12，14，14 乙：11，15，12，13，14 分别求甲乙两组方差，判断谁成绩更稳定？ 解：甲组： 平均数：， 离差平方：(12-13)2=1，(13-13)2=0，(12-13)2=1，(14-13)2=1，(14-13)2=1 平方和：1+0+1+1+1=4 方差s2甲==0.8 乙组： 平均数： 离差平方：(11-13)2=4，(15-13)2=4，(12-13)2=1，(13-13)2=0，(14-13)2=1 平方和：4+4+1+0+1=10 方差s2乙==2 0.8<2，甲的方差更小， 甲选手成绩波动小，发挥更稳定。 【标准计算四步骤】 设一组数据：x1、x2、x3…xn，方差公式： 步骤1：计算这组数据的平均数，公式：，n代表数据总个数。 步骤2：求出每个数据与平均数的差（离差）分别计算： 步骤3：将每一个离差平方，再全部相加求和 平方：（消除正负抵消） 求和： 步骤4：平方和除以数据总个数n，得到方差 【注意】 （1）必须先求平均数，不能跳过； （2）一定要平方，不能直接用离差相加； （3）最后除以数据数量n，不要忘记除法； （4）方差越大，数据波动越大、越不稳定。 （四）方差两大变换性质（必考） 现有一组数据，方差为s2： 1.全部数据同时加/减同一个常数a：新方差不变，标准差不变； 2.全部数据同时乘正数k：新方差=k2·s2，新标准差=k·s； （五）极差、四分位距、方差对比 极差 四分位距（IQR） 方差（s2） 公式 最大值 − 最小值 （上四分位数−下四分位数） 数据利用程度 仅用2个数据（最值） 用2个四分位数（中间50%边界） 用到全部个数据 反映数据范围 全部100%数据的跨度 中间50%数据的跨度 全部数据偏离均值的平均程度 受极端值影响 极大，完全由两端极值决定 不受极端值影响 受极端值影响较大（平方会放大） 计算难度 最简单，一眼看出 中等，需先排序求四分位数 最复杂，需分步计算 单位 与原数据单位一致 与原数据单位一致 原数据单位的平方 核心特点 只看整体范围，信息最少 稳健性最强，专门看中间一半 信息最完整，衡量整体波动 典型适用场景 快速粗略估计波动范围、气温日较差 存在极端值、薪资/房价等偏态数据 平均数相近时比较稳定性、产品质量检测 优点 计算极快、直观易懂 不受极端值干扰、稳健可靠 利用全部数据、精确反映整体波动 缺点 信息太少、极易受极值误导 丢弃首尾各25%数据信息 计算量大、单位不直观、受极值影响 一句话速记 （1）极差：最粗略，看两头，怕极值； （2）四分位距：最稳健，看中间一半，不怕极值； （3）方差：最精确，用全部数据，衡量整体波动。 四．经典例题 例1.（2024盐城亭湖区期末）甲乙两组数据平均数相同，甲组方差0.6，乙组方差1.2，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据波动更大 B. 乙组数据更稳定 C. 甲组更稳定 D. 无法判断 例2.（2024苏州吴中区期末）下列统计量不受极端最大值、最小值影响的是（ ） A. 极差 B. 四分位距IQR C. 方差 D. 标准差 例3.（2026镇江丹徒一模）一组数据全部加3，发生变化的统计量是（ ） A. 方差 B. 标准差 C. 极差 D. 平均数 例4.（2024扬州广陵区期末）衡量全部数据偏离平均水平整体波动的统计量是（ ） A. 极差 B. 四分位距 C. 方差 D. 中位数 例5.（2024泰州姜堰期末）数据3，5，7，9，11的极差=____。 例6.（2024徐州沛县期末）数据2，4，6，平均数为4，该组数据方差=____。 例7.（2026苏州高新区二模）原数据方差为2，所有数据扩大3倍，新方差=____。 例8.（2024昆山期末）五数概括：2，5，8，12，16，四分位距=____。 例9.（2024盐城东台期末）5次跳远成绩：1.8、1.9、2.0、2.1、2.2 （1）求极差； （2）计算该组数据方差。 例10．方差的算术平方根叫做标准差，即s＝，标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中我们常用它来度量数据的波动程度．请你利用标准差解决下面的问题：一次期末考试中，A，B，C，D，E五名同学的数学、英语成绩等有关信息如表所示（单位：分）： A B C D E 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 　　 英语 88 82 94 85 76 85 　　 （1）求这五名同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024南通启东期末）方差的算术平方根叫做（ ） A.极差 B.四分位距 C.标准差 D.中位数 2.（2026淮安清江浦一模）两组箱线图，甲箱体窄、乙箱体宽，则（ ） A.甲组四分位距更大 B.甲组中间50%数据更集中 C.乙组平均数更大 D.甲组存在极端值 3.（2024连云港海州期中）一组数据每个数值减5，不变的统计量是（ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 4.（2026镇江润州二模）下列适合用四分位距分析的场景是（ ） A.全班均匀考试成绩 B.薪资收入（存在极高高薪） C.数据全部相等 D.数据仅有2个 5.（2025扬州江都期中）原数据标准差为4，全部数据×2，新标准差=（ ） A.4 B.8 C.16 D.2 6．甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（　　） A． B． C． D． 7．九年级体育素质测试中，某小组5名同学的成绩如下表（有两个数据被遮盖）： 编号 1 2 3 4 5 成绩/分 38 34 ■ 37 40 方差/分2 ■ 平均数/分 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 8．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（　　） A．样本的方差是2 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3 （二）填空题 9．一组数据0，﹣1，x，1，2的极差是4，则这组数据的方差是　　 ． 10．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 　　 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 11.（2024宿迁泗洪期末）数据全部÷4，原方差16，新方差=____。 12.（2025淮安涟水期中）极差只能反映数据____范围，无法体现中间数据波动。 13.（2026宿迁泗阳二模）标准差单位和____保持一致。 14.（2024无锡新吴期末）五数概括：4，6，10，15，20，四分位距=____。 15．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的　　 ． 16．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差 　　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） （三）解答题 17.（2026苏州常熟一模）4名同学跳绳：130，136，140，134 （1）求平均数； （2）计算方差； 18.（2024镇江扬中期末）一组数据：12，14，16，18，20 （1）求极差； （2）计算方差； （3）若每个数据+2，新极差、新方差分别是多少？ 19．某校初三学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．表是甲班和乙班成绩最好的5名学生的比赛成绩． 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 102 97 103 500 乙班 99 100 95 109 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题： （1）甲班的优秀率为60%，则乙班的优秀率为　40%　 ； （2）甲班比赛成绩的方差S甲2＝，求乙班比赛成绩的方差； （3）根据以上信息，你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班？简述理由． 20．某小学体育老师为了了解所任教的甲、乙两班学生的跳绳水平，对两个班的学生进行了跳绳测试，现从两个班分别随机抽取了20名学生的测试结果进行整理，描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为五组：A.155≤x＜160，B.160≤x＜165，C.165≤x＜170；D.170≤x＜175；E.175≤x≤180），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为： 甲班 159 162 173 155 168 176 164 168 163 168 164 171 166 173 175 168 177 170 171 176 乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172，甲乙两班抽取的学生成绩数据统计表如图表： 班级 甲班 乙班 平均数 168 172 中位数 168 b 众数 c 172 方差 41.2 27.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b、c的值：a＝　40　 ；b＝　172.5　 ；c＝　168　 ． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班的学生哪个班跳绳水平较高？请说明理由（一条理由即可）． （3）若甲、乙两班总人数为100人，且都参加了此次测试，估计此次测试成绩优秀（x≥175）的学生人数是多少？ 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025昆山期末）下列不属于描述离散程度的统计量是（ ） A.极差 B.方差 C.四分位距 D.中位数 2.（2026射阳三模）一组数据方差为0，说明（ ） A.数据只有1个 B.所有数据全部相等 C.无极端值 D.平均数为0 3.（2024宿豫期末）极端超大数值会直接增大（ ） A.四分位距 B.方差 C.中位数 D.Q1 4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选（　　） 甲 乙 平均数 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数相等，每个旅游团游客的平均年龄都是30岁，年龄的方差分别是 导游小明喜欢带游客年龄相近的旅游团，则在这四个团中，他应选（  ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 6．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（  ） A．中位数是 B．众数是 C．方差是 D．平均数是 7．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 8．某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（  ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 9．初二某班有49人，在一次数学测试中，小王因特殊原因没有参加本次测试，老师统计了其他48人的平均分为102分，方差．后来小王进行了补考，成绩为102分．则关于该班49人的成绩分析，下列说法正确的是（  ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 10．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法正确的是（   ） A．地的平均气温的最大值小于地的平均气温的最大值 B．地的平均气温的中位数大于地的平均气温的中位数 C．地的平均气温的方差小于地的平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 （二）填空题 11.（2024沛县期末）离散程度是描述一组数据____大小的指标。 12.（2025常熟期中）箱线图箱体宽度等于____。 13.（2025扬中期末）数据4，4，6，6，平均数5，方差=____。 14.（2025宝应期末）方差数值越____，数据稳定性越好。 15.（2025仪征期中）原数据方差9，数据全部×4，新方差=（ ） ．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差　　 （填“变小”、“不变”或“变大”）． 16．计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 17．一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 18．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为．把这5名同学引体向上的个数分为两组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．最恰当的分组是第__________种． 分组 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组；第二组 18.8 第二种 第一组；第二组 6.7 第三种 第一组；第二组 14.7 第四种 第一组；第二组 22.8 20．将个数据，，，，分成和两组，这种分组情况的组内离差平方和是______． （三）解答题 21．科研人员选出5株不同的植物，在同等实验条件下，测量了它们的高度（单位：)，分别为13，15，18，20，22，将其分成和两组，求这种分组情况的组内离差平方和． 22．若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； (2)记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； 23．AI的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 24.市教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 志愿服务活动次数频数分布表 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 25.综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 26.已知甲、乙两组各10名学生测试成绩： 甲组：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 箱线图如下图（不完整） 请完成下列问题： (1) 分别求出甲组、乙组成绩的极差； (2) 求乙组数据的四分位数Q1、Q2、Q3与四分位距； (3) 计算甲组成绩的方差； (4) 结合极差、四分位距、方差三个统计量，对比分析甲、乙两组成绩的分布与稳定性。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册18 《第4章数据的集中趋势和离散程度第4节数据的离散程度》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解离散程度的含义，区分集中趋势与离散程度；掌握极差、方差、标准差三个衡量数据波动的统计量，熟记三者定义与计算公式。 2.会分步计算一组数据的极差、方差、标准差，能依据数值大小判断数据稳定性。 3.掌握数据平移、缩放后方差、标准差的变化规律，熟练解决同类变式计算题。 4.结合折线示意图、箱线图对比两组数据波动，能结合生活情境（体育测试、产品检测）分析数据离散程度，完成简单说理应用题。 5.辨析极差、四分位距、方差的优缺点，理解实际问题中选择合适统计量描述波动的依据。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.极差、方差、标准差的计算公式与完整计算步骤； 2.根据方差大小判断数据波动、稳定性； 3.方差的两条核心变换性质（加减常数、乘除正数对方差的影响）。 （二）难点 1.方差计算过程中离差平方求和的运算，易出现计算失误； 2.区分极差、四分位距、方差的适用场景，能根据题意合理选用； 3.结合折线图、箱线图综合分析多组数据的集中趋势与离散程度。 ) 三．自主探究 【情境引入】——仅看平均数无法判断数据稳定性 甲、乙两名同学5次数学测验成绩： 甲：80，82，78，80，80 乙：60，100，80，75，85 计算两人平均分： 。 【思考】两人平均分完全相同，但两人成绩起伏差异巨大，如何量化描述成绩波动大小？ 答：平均数只反映平均水平，需要离散程度统计量描述数据波动范围、偏离均值程度。 （一）极差（最简单的波动统计量） 计算甲乙成绩极差 甲最大值82，最小值78，极差=82-78=4； 乙最大值100，最小值60，极差=100-60=40。 1.定义：一组数据最大值−最小值，记作极差，刻画数据整体取值范围 。 2.公式：极差=最大值-最小值。 3.结论：极差越大，数据波动越大；极差越小，数据越稳定。 4.辨析：极差仅使用最值，极易受极端值干扰，无法体现中间数据波动。 （二）离差、方差、标准差 1.离差d： （1）定义：一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数，我们把(i=1，2，…，n)叫作xi关于平均数的离差或偏差. （2）公式：d=(i=1，2，…，n)。 （3）离差的意义：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，(x1-)+(x2-)+…+(xn-)= x1+x2+…+xn-n=0，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 2.方差s2 1.定义：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. （2）公式：一般地，有n个数据x1，x2 ，…，xn，用表示它们的平均数， （3）方差的意义：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小． 3.标准差s （1）定义：方差的算术平方根，单位与原始数据一致，方便实际对比 （2）s= （3）标准差的意义：能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． （三）方差的计算 甲、乙两名选手5次短跑成绩（单位：s） 甲：12，13，12，14，14 乙：11，15，12，13，14 分别求甲乙两组方差，判断谁成绩更稳定？ 解：甲组： 平均数：， 离差平方：(12-13)2=1，(13-13)2=0，(12-13)2=1，(14-13)2=1，(14-13)2=1 平方和：1+0+1+1+1=4 方差s2甲==0.8 乙组： 平均数： 离差平方：(11-13)2=4，(15-13)2=4，(12-13)2=1，(13-13)2=0，(14-13)2=1 平方和：4+4+1+0+1=10 方差s2乙==2 0.8<2，甲的方差更小， 甲选手成绩波动小，发挥更稳定。 【标准计算四步骤】 设一组数据：x1、x2、x3…xn，方差公式： 步骤1：计算这组数据的平均数，公式：，n代表数据总个数。 步骤2：求出每个数据与平均数的差（离差）分别计算： 步骤3：将每一个离差平方，再全部相加求和 平方：（消除正负抵消） 求和： 步骤4：平方和除以数据总个数n，得到方差 【注意】 （1）必须先求平均数，不能跳过； （2）一定要平方，不能直接用离差相加； （3）最后除以数据数量n，不要忘记除法； （4）方差越大，数据波动越大、越不稳定。 （四）方差两大变换性质（必考） 现有一组数据，方差为s2： 1.全部数据同时加/减同一个常数a：新方差不变，标准差不变； 2.全部数据同时乘正数k：新方差=k2·s2，新标准差=k·s； （五）极差、四分位距、方差对比 极差 四分位距（IQR） 方差（s2） 公式 最大值 − 最小值 （上四分位数−下四分位数） 数据利用程度 仅用2个数据（最值） 用2个四分位数（中间50%边界） 用到全部个数据 反映数据范围 全部100%数据的跨度 中间50%数据的跨度 全部数据偏离均值的平均程度 受极端值影响 极大，完全由两端极值决定 不受极端值影响 受极端值影响较大（平方会放大） 计算难度 最简单，一眼看出 中等，需先排序求四分位数 最复杂，需分步计算 单位 与原数据单位一致 与原数据单位一致 原数据单位的平方 核心特点 只看整体范围，信息最少 稳健性最强，专门看中间一半 信息最完整，衡量整体波动 典型适用场景 快速粗略估计波动范围、气温日较差 存在极端值、薪资/房价等偏态数据 平均数相近时比较稳定性、产品质量检测 优点 计算极快、直观易懂 不受极端值干扰、稳健可靠 利用全部数据、精确反映整体波动 缺点 信息太少、极易受极值误导 丢弃首尾各25%数据信息 计算量大、单位不直观、受极值影响 一句话速记 （1）极差：最粗略，看两头，怕极值； （2）四分位距：最稳健，看中间一半，不怕极值； （3）方差：最精确，用全部数据，衡量整体波动。 四．经典例题 例1.（2024盐城亭湖区期末）甲乙两组数据平均数相同，甲组方差0.6，乙组方差1.2，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据波动更大 B. 乙组数据更稳定 C. 甲组更稳定 D. 无法判断 【答案】：C 【解析】：平均数相等时，方差越小，数据波动越小，稳定性越强，0.6＜1.2，甲组更稳定。 例2.（2024苏州吴中区期末）下列统计量不受极端最大值、最小值影响的是（ ） A. 极差 B. 四分位距IQR C. 方差 D. 标准差 【答案】：B 【解析】：极差只看最值，方差会被极值放大；四分位距由Q1、Q3计算，不受两端极端值干扰。 例3.（2026镇江丹徒一模）一组数据全部加3，发生变化的统计量是（ ） A. 方差 B. 标准差 C. 极差 D. 平均数 【答案】：D 【解析】：数据整体平移，极差、方差、标准差不变，平均数同步加3。 例4.（2024扬州广陵区期末）衡量全部数据偏离平均水平整体波动的统计量是（ ） A. 极差 B. 四分位距 C. 方差 D. 中位数 【答案】：C 【解析】：极差、四分位距仅反映区间跨度；方差利用所有数据，刻画整体偏离均值程度。 例5.（2024泰州姜堰期末）数据3，5，7，9，11的极差=____。 【答案】：8 【解析】：极差=最大值−最小值=11−3=8。 例6.（2024徐州沛县期末）数据2，4，6，平均数为4，该组数据方差=____。 【答案】： 【解析】：离差平方(2-4)2=4、(4-4)2=0、(6-4)2=4，平方和8，方差8÷3=。 例7.（2026苏州高新区二模）原数据方差为2，所有数据扩大3倍，新方差=____。 【答案】：18 【解析】：数据乘k，方差乘k2，32×2=18。 例8.（2024昆山期末）五数概括：2，5，8，12，16，四分位距=____。 【答案】：7 【解析】：IQR=Q3-Q1=12-5=7。 例9.（2024盐城东台期末）5次跳远成绩：1.8、1.9、2.0、2.1、2.2 （1）求极差； （2）计算该组数据方差。 【答案】：(1)极差0.4；(2)方差0.02 【解析】：(1)极差=2.2−1.8=0.4； (2)平均数=2.0；离差平方依次为0.04、0.01、0、0.01、0.04；平方和0.1；方差0.1÷5=0.02。 例10．方差的算术平方根叫做标准差，即s＝，标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中我们常用它来度量数据的波动程度．请你利用标准差解决下面的问题：一次期末考试中，A，B，C，D，E五名同学的数学、英语成绩等有关信息如表所示（单位：分）： A B C D E 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 　　 英语 88 82 94 85 76 85 　　 （1）求这五名同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 解：（1）数学考试平均成绩为：（71+72+69+68+70）÷5＝70（分），英语考试成绩的方差为：S2＝[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]＝36， 标准差S＝＝6； （2）∵数学标准分＝＝，英语标准分＝＝0.5，∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，A同学数学比英语考得好． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024南通启东期末）方差的算术平方根叫做（ ） A.极差 B.四分位距 C.标准差 D.中位数 【答案】：C 【解析】：标准差定义：s=。 2.（2026淮安清江浦一模）两组箱线图，甲箱体窄、乙箱体宽，则（ ） A.甲组四分位距更大 B.甲组中间50%数据更集中 C.乙组平均数更大 D.甲组存在极端值 【答案】：B 【解析】：箱体宽度=四分位距，箱体越窄，中间一半数据波动越小、越集中。 3.（2024连云港海州期中）一组数据每个数值减5，不变的统计量是（ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 【答案】：C 【解析】：整体平移，所有数据与均值差值不变，方差不变。 4.（2026镇江润州二模）下列适合用四分位距分析的场景是（ ） A.全班均匀考试成绩 B.薪资收入（存在极高高薪） C.数据全部相等 D.数据仅有2个 【答案】：B 【解析】：薪资存在极端高值，极差、方差受干扰，四分位距不受极值影响。 5.（2025扬州江都期中）原数据标准差为4，全部数据×2，新标准差=（ ） A.4 B.8 C.16 D.2 【答案】：B 【解析】：数据乘k，标准差同步乘k，4×2=8。 6．甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由折线统计图得：乙、丙的成绩在92附近波动，甲、丁的成绩在91附近波动， ∴乙、丙的平均成绩高于甲、丁，由折线统计图得：乙成绩的波动幅度小于丙成绩的波动幅度，∴这四人中乙的平均成绩好又发挥稳定，故选：B． 7．九年级体育素质测试中，某小组5名同学的成绩如下表（有两个数据被遮盖）： 编号 1 2 3 4 5 成绩/分 38 34 ■ 37 40 方差/分2 ■ 平均数/分 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【解析】∵平均数为37，∴第一个被遮盖的数据为37×5﹣（38+34+37+40）＝36，第二个被遮盖的数据为×[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4， 故选：B． 8．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（　　） A．样本的方差是2 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3 【答案】A 【解析】由方差的计算公式得：这组样本数据为2，3，3，4，∴样本的平均数是，故D正确，不符合题意；∴ ＝＝，故A错误，符合题意；样本的中位数是，故B正确，不符合题意；样本的众数是3，故C正确，不符合题意；故选：A． （二）填空题 9．一组数据0，﹣1，x，1，2的极差是4，则这组数据的方差是　　 ． 【答案】2 【解析】因为一组数据0，﹣1，x，1，2的极差是4，所以x＝3或﹣2，所以这组数据的平均数＝或0，方差＝＝2或2，故答案为：2． 10．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 　　 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 【答案】乙班 【解析】∵两班学生测试成绩的平均分都是9（5分），，，∴乙的方差小于甲的方差，∴乙班的成绩更稳定．故答案为：乙班． 11.（2024宿迁泗洪期末）数据全部÷4，原方差16，新方差=____。 【答案】：1 【解析】：除以4，方差除以4^2=16，16÷16=1。 12.（2025淮安涟水期中）极差只能反映数据____范围，无法体现中间数据波动。 【答案】：整体取值 【解析】：极差仅用最值，只能看出最大值最小值跨度。 13.（2026宿迁泗阳二模）标准差单位和____保持一致。 【答案】：原始数据 【解析】：方差单位是原数据平方，标准差单位与原始数据相同。 14.（2024无锡新吴期末）五数概括：4，6，10，15，20，四分位距=____。 【答案】：9 【解析】：15−6=9。 15．在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的　　 ． 【答案】平均数 【解析】在方差计算公式S2＝[++…+]中，数20表示这组数据的平均数；故答案为：平均数． 16．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差 　　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，∴甲的方差大于乙的方差，故答案为：＞． （三）解答题 17.（2026苏州常熟一模）4名同学跳绳：130，136，140，134 （1）求平均数； （2）计算方差； 【答案】：(1)135；(2)13；(3)极差仅看最值，方差利用全部数据 【解析】：(1)(130+136+140+134)÷4=135 (2)平方和25+1+25+1=52，方差52÷4=13 18.（2024镇江扬中期末）一组数据：12，14，16，18，20 （1）求极差； （2）计算方差； （3）若每个数据+2，新极差、新方差分别是多少？ 【答案】：(1)8；(2)8；(3)极差8，方差8 【解析】：(1)20−12=8；(2)平均数16，平方和16+4+0+4+16=40，方差40÷5=8； (3)数据平移，极差、方差均不变。 19．某校初三学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．表是甲班和乙班成绩最好的5名学生的比赛成绩． 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 102 97 103 500 乙班 99 100 95 109 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题： （1）甲班的优秀率为60%，则乙班的优秀率为　40%　 ； （2）甲班比赛成绩的方差S甲2＝，求乙班比赛成绩的方差； （3）根据以上信息，你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班？简述理由． 解：（1）×100%＝40%，∴乙班的优秀率为40%，故答案为：40%； （2）乙班的平均数为：×（99+100+95+109+97）＝100，乙班的方差为：＝[（99﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（109﹣100）2+（97﹣100）2]＝； （3）应该把团体第一名的奖状给甲班，理由如下：因为甲班的优秀率比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好． 20．某小学体育老师为了了解所任教的甲、乙两班学生的跳绳水平，对两个班的学生进行了跳绳测试，现从两个班分别随机抽取了20名学生的测试结果进行整理，描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为五组：A.155≤x＜160，B.160≤x＜165，C.165≤x＜170；D.170≤x＜175；E.175≤x≤180），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为： 甲班 159 162 173 155 168 176 164 168 163 168 164 171 166 173 175 168 177 170 171 176 乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172，甲乙两班抽取的学生成绩数据统计表如图表： 班级 甲班 乙班 平均数 168 172 中位数 168 b 众数 c 172 方差 41.2 27.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b、c的值：a＝　40　 ；b＝　172.5　 ；c＝　168　 ． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班的学生哪个班跳绳水平较高？请说明理由（一条理由即可）． （3）若甲、乙两班总人数为100人，且都参加了此次测试，估计此次测试成绩优秀（x≥175）的学生人数是多少？ 解：（1）乙班D组所占的百分比为35%，∴a%＝1﹣35%﹣10%﹣10%﹣5%＝40%，∴a＝40， 乙班ABC三组人数为20×（10%+10%+5%）＝5（人），中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，由D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172可得处在第10、11位的两个数的平均数为(172+173)÷2＝172.5，因此b＝172.5，甲班出现次数最多的是168，因此众数是168，即c＝168．故答案为：40，172.5 168． （2）乙班的成绩较好，理由：乙班的平均数、中位数、众数都比甲班的大，方差比甲班小． （3）100×＝30（人）， 答：此次检测成绩优秀（x≥175）的学生人数大约是30人． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025昆山期末）下列不属于描述离散程度的统计量是（ ） A.极差 B.方差 C.四分位距 D.中位数 【答案】：D 【解析】：中位数描述数据集中趋势，其余三者衡量波动离散程度。 2.（2026射阳三模）一组数据方差为0，说明（ ） A.数据只有1个 B.所有数据全部相等 C.无极端值 D.平均数为0 【答案】：B 【解析】：方差为0，每个数据与平均数差值均为0，全部数值相同。 3.（2024宿豫期末）极端超大数值会直接增大（ ） A.四分位距 B.方差 C.中位数 D.Q1 【答案】：B 【解析】：方差含平方运算，极端值会大幅拉高平方和，四分位数不受影响。 4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选（　　） 甲 乙 平均数 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】丙的平均数＝＝9，丙的方差＝[1+1+1＝1]＝0.4， 丁的平均数＝＝8.2，丁的方差为[0.04×5+0.64×2+1.44×2+3.24]＝0.76∵丙的方差最小，平均成绩最高，∴丙的成绩最好，故选：C． 5．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数相等，每个旅游团游客的平均年龄都是30岁，年龄的方差分别是 导游小明喜欢带游客年龄相近的旅游团，则在这四个团中，他应选（  ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】D 【解析】方差表示数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，游客年龄越相近.题目中四个团的年龄方差分别为，，，，∵，∴丁团的方差最小，游客年龄最相近，故选丁团． 6．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（  ） A．中位数是 B．众数是 C．方差是 D．平均数是 【答案】D 【解析】由方差计算公式可知，这组样本数据为，样本容量，将数据从小到大排序为，，∵中位数为中间两个数的平均数，即，∴A选项说法正确；∵出现次数最多，∴众数是，∴B选项说法正确；∵平均数，∴D选项说法错误；计算方差得，∴C选项说法正确． 7．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 【答案】C 【解析】∵的平均数为，∴，可得， 新数据的平均数 ∵原方差， 新数据的方差， 化简得，因此新数据的平均数为，方差为． 8．某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（  ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【解析】∵原数据总和为，原平均数为，新数据总和为，新平均数为，∴平均数不变，排除A． ∵原数据中都出现次，都是众数，新数据中仍都出现次，众数不变，∴众数不变，排除B．将原数据从小到大排序得：， 去掉最低分和最高分，得到新数据排序为：，∵原数据中位数为第、个数的平均数，即，新数据中位数为第、个数的平均数，即，∴中位数不变，排除C．∵去掉一个最低分和一个最高分后，新数据波动变小，∴方差发生变化． 9．初二某班有49人，在一次数学测试中，小王因特殊原因没有参加本次测试，老师统计了其他48人的平均分为102分，方差．后来小王进行了补考，成绩为102分．则关于该班49人的成绩分析，下列说法正确的是（  ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】∵48人的平均分为102分，∴48人的总分为，∵小王补考成绩为102分， ∴49人的总分为，∴49人的平均分为，∴平均分不变． ∵原方差，∴， ∴新方差，∴方差变小． 综上，平均分不变，方差变小． 10．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法正确的是（   ） A．地的平均气温的最大值小于地的平均气温的最大值 B．地的平均气温的中位数大于地的平均气温的中位数 C．地的平均气温的方差小于地的平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】D 【解析】A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，该项错误；B、A地的中位数比B地的中位数低，该项错误；C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误；D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； （二）填空题 11.（2024沛县期末）离散程度是描述一组数据____大小的指标。 【答案】：波动 【解析】：核心定义，离散程度即数据起伏波动。 12.（2025常熟期中）箱线图箱体宽度等于____。 【答案】：四分位距IQR 【解析】：箱体左右边界为Q1、Q3，宽度差值为四分位距。 13.（2025扬中期末）数据4，4，6，6，平均数5，方差=____。 【答案】：1 【解析】：平方和1+1+1+1=4，4÷4=1。 14.（2025宝应期末）方差数值越____，数据稳定性越好。 【答案】：小 【解析】：方差越小，数据偏离均值程度越低，波动越小。 15.（2025仪征期中）原数据方差9，数据全部×4，新方差=（ ） 【答案】：144 【解析】：42×9=16×9=144。 ．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差　　 （填“变小”、“不变”或“变大”）． 【答案】变大 【解析】∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：变大． 16．计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 【答案】10 【解析】由给出的方差算式可得，这组数据为，，，，数据个数为，计算这组数据的平均数：，离差平方和为：，代入计算得． 17．一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 【答案】平均数 【解析】根据题意可得2025表示该组数据的平均数． 18．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为．把这5名同学引体向上的个数分为两组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．最恰当的分组是第__________种． 分组 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组；第二组 18.8 第二种 第一组；第二组 6.7 第三种 第一组；第二组 14.7 第四种 第一组；第二组 22.8 【答案】二 【解析】根据题意，最恰当的分组符合组内离差平方和最小原则，将四种分法的组内离差平方和比较大小，得，第二种分组的组内离差平方和最小，因此最恰当的分组是第二种. 20．将个数据，，，，分成和两组，这种分组情况的组内离差平方和是______． 【答案】10 【解析】∵对于分组，平均数为，∴该组的离差平方和为，∵对于分组，平均数为， ∴该组的离差平方和为，∴这种分组情况的组内离差平方和为． （三）解答题 21．科研人员选出5株不同的植物，在同等实验条件下，测量了它们的高度（单位：)，分别为13，15，18，20，22，将其分成和两组，求这种分组情况的组内离差平方和． 解：第一组数据为13，15，第二组数据为18，20，22，∴第一组平均数为：，第一组的组内离差平方和为：； 第二组平均数为：，第二组的组内离差平方和为：，∴总的组内离差平方和为：． 22．若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； (2)记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； 解：（1）甲8轮得分的平均数为：； 乙8轮得分的平均数为： （2） ，． 23．AI的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 解:（1）B系统的平均数， A系统数据中，众数为：， （2）B系统的方差为： ，则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：，则不满足准确性标准，∴A系统和C系统满足条件，则A系统误差绝对值的平均数为：，∴，当时，中位数为，不满足条件；当时，中位数为，不满足条件；当时，中位数为，满足条件；则C系统误差绝对值的平均数为：，∴，∵∴，当时，中位数为：1，则满足条件；故的最大整数值为：4． 24.市教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 志愿服务活动次数频数分布表 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 解：（1）．（2） （3）∵和共有（人），、和共有（人），共抽取了50名学生志愿者，∴数据按从小到大排列后的第25个和第26个数据是内的第7个和第8个数据，均为23，∴中位数为． （4）甲班平均数为，乙班平均数为，丙班平均数为，∵丙班在三个班级中活跃度排名居中，∴，∴，∵为整数，∴或或，当时，丙班平均数为，与甲班平均数相同， ∵甲班的方差为， 丙班的方差为，∵，∴甲班优于丙班，∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、甲班、丙班，不符合题意；当时，丙班平均数为，与乙班平均数相同，∵乙班的方差为，丙班的方差为，∵，∴丙班优于乙班，∴三个班级的排名由前到后依次为丙班、乙班、甲班，不符合题意；当时，丙班平均数为，∵，∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、丙班、甲班，符合题意；综上所述，． 25.综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 解：（1）设一次函数解析式是，，，时，，则，解得：，一次函数的解析式是； （2）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，； （3）由题意可知：对于 ，的值为，的值为，其中对应的值最小为，即的偏差最小，为最优函数表达式； （4）准确性较高．因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程，因此数据准确性较高． 26.已知甲、乙两组各10名学生测试成绩： 甲组：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 箱线图如下图（不完整） 请完成下列问题： (1) 分别求出甲组、乙组成绩的极差； (2) 求乙组数据的四分位数Q1、Q2、Q3与四分位距； (3) 计算甲组成绩的方差； (4) 结合极差、四分位距、方差三个统计量，对比分析甲、乙两组成绩的分布与稳定性。 解：(1) 求甲乙两组极差 极差公式：极差=最大值-最小值，甲组极差：100-60=40，乙组极差：96-70=26 答案：甲组极差40，乙组极差26 (2) 乙组四分位数、四分位距（共10个数据，n=10）中位数Q2：第5、6个数平均值 Q2==90，下四分位数Q1：前5个数（70,75,80,82,88）的中位数，即第3个数：Q1=80 上四分位数Q3：后5个数（92,92,93,95,96）的中位数，即第3个数：Q3=93，四分位距 IQR=Q3-Q1=93-80=13答案：Q1=80，Q2=90，Q3=93，四分位距13 （3）计算甲组方差：甲组数据：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100. 求平均数甲：=（60+70+70+80+89+91+92+96+98+100）÷10=84.6 ② 计算每一组离差平方：(60-84.6)2=605.16，(70-84.6)2=213.16，两个70：213.16×2=426.32，(80-84.6)2=21.16，(89-84.6)2=19.36，(91-84.6)2=40.96，(92-84.6)2=54.76 (96-84.6)2=129.96，(98-84.6)2=179.56，(100-84.6)2=237.16 ③ 平方和相加：605.16+426.32+21.16+19.36+40.96+54.76+129.96+179.56+237.16=1714.4 ④ 方差s2甲==171.44 答案：甲组方差为171.44 (4) 综合对比分析① 极差：甲组40＞乙组26，甲组最高分与最低分差距更大，整体分数分散；②四分位距：乙组四分位距13，甲组可算出IQR_甲=96-70=26，13<26，乙组中间50%中等学生成绩更集中；③ 方差：甲组方差171.44，远大于乙组（可算出乙方差约70.44），甲组整体成绩波动远大于乙组；总结：乙组学生测试成绩整体更集中、发挥更稳定；甲组高低分差距悬殊，成绩两极分化明显。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $