第1章 提升课2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与一元二次方程、不等式的应用”专题，依据高考评价体系梳理恒成立问题、根的分布两大核心考点，通过例题分析明确恒成立问题参数范围求解占60%、根的分布区间端点分析占55%的高频方向，归纳分类讨论、分离参数等方法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养落地”，如恒成立问题用分离参数求最值、更换主元转化函数，根的分布结合判别式、对称轴与端点值构建不等式组，培养数学思维与表达能力。设跟踪训练与易错点分析，助力学生掌握技巧，教师可高效规划复习提升备考效率。

提升课2　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 考点一　一元二次不等式的恒成立问题 [例1]　已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求实数m的取值范围; [解]　不等式f(x)<1, 即mx2-(m-1)x+m-2<0, 当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意; 当m≠0时, 有 解得m<. 综上所述,实数m的取值范围为(-∞,). (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,求实数m的取值范围; [解]　不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立, 即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈恒成立. 因为x2-x+1=(x-)2+>0, 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立, 由x∈, 得===≤=1, 当且仅当1-x=,即x=0时等号成立, 所以()max=1, 所以m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞). (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立,求x的取值范围. [解]　不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立, 即(x2-x+1)m+x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立, 令h(m)=(x2-x+1)m+x-3. 因为x2-x+1=(x-)2+>0, 所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0,2)上单调递增, 则h(0)=x-3≥0,解得x≥3, 所以x的取值范围为[3,+∞). 方法总结 恒成立问题求参数的范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立,可以用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论. 3.已知参数范围求函数自变量的范围常需要更换主元,把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解. 跟踪训练 1.(2026·广西南宁模拟)若命题“∀x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,2)　　　　　　　 B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(2,+∞) 解析:若命题“∀x∈R,x2+2x+3>m”是真命题,则m<(x2+2x+3)min.因为y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以m<2, 所以若命题“∀x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是[2,+∞). B 2.(2026·广东肇庆模拟)已知对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-∞,) C.(,+∞) D.(-∞,) D 解析:法一:令f(x)=ax2-2x+3a, 当a=0时,f(x)=-2x<0在[1,2]上恒成立,符合题意. 当a<0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向下,对称轴为直线x=<0,所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=4a-2<0,所以a<.又a<0,所以a<0符合题意. 当a>0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向上,对称轴为直线x=>0. ①若≤,即a≥,则f(x)max=f(2)=7a-4,由题意知,7a-4<0,得a<,而a≥,所以此时不符合题意;②若>,即0<a<,则f(x)max=f(1)=4a-2<0,解得0<a<. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,). 法二:分离参数,得a<, 要使对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,只需a<()min. 因为=,令g(x)=x+, 则由对勾函数的性质可知,g(x)在[1,)上单调递减,在[,2]上单调递增. 又g(1)=4,g(2)=,所以g(x)max=4, 所以()min=,所以a<. 3.对于0≤m≤4中的任意m,不等式x2+mx>4x+m-3恒成立,则x的取值范围是(　　) A.[-1,3] B.(-∞,-1] C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) D 解析:由题意,对∀x∈R,m∈[0,4],x2+mx>4x+m-3恒成立,等价于x2-4x+3>m(1-x)恒成立⇔(x-3)(x-1)>-m(x-1)恒成立,当x-1>0,即x>1时, x-3>-m, 则x>3-m对∀m∈[0,4]恒成立,所以x>(3-m)max=3,解得x>3;当x-1=0,即x=1时,不等式不成立;当x-1<0,即x<1时,x-3<-m,则x<3-m对∀m∈[0,4]恒成立,所以x<(3-m)min=-1,解得x<-1. 综上所述,x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). 考点二　一元二次方程根的分布 [例2]　(1)若函数f(x)=2ax2+3x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|-1<a<2} B. C.{a|-1≤a≤2} D. D [解析]　由函数f(x)=2ax2+3x-1, 若a=0,则f(x)=3x-1,令f(x)=0,即3x-1=0,解得x=,符合题意; 若a≠0,则令f(x)=0,即2ax2+3x-1=0,可得Δ=9+8a, 当Δ=0,即9+8a=0,即a=-时,f(x)=-x2+3x-1,令f(x)=0,解得x1=x2=,符合题意; 当Δ>0,即a>-且a≠0时,f(-1)·f(1)=(2a-4)(2a+2)≤0,解得-1≤a≤2,且a≠0; 若a=-1,则f(x)=-2x2+3x-1,令f(x)=0,即2x2-3x+1=0,解得x=1或x=,符合题意; 若a=2,则f(x)=4x2+3x-1,令f(x)=0,即4x2+3x-1=0,解得x=-1或x=,符合题意. 综上可得,实数a的取值范围为{a,或-1≤a≤2}. (2)已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大,另一个比2小,则实数m的取值范围是　　　　　　.  [解析]　令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m,显然二次函数f(x)的图象开口向上.因为f(x)=0的两根一个比2大,另一个比2小,则f(2)<0,即22+2(2m-1)+4-2m<0,解得m<-3, 所以实数m的取值范围是(-∞,-3). (-∞,-3) (3)若一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大于2,则实数a的取值范围为　　　　　.  [解析]　因为一元二次方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的两个根都大于2,令f(x)=x2-(2-a)x+(5-a), 所以解得-5<a≤-4, 故实数a的取值范围为(-5,-4]. (-5,-4] 方法总结 在求解方程根的分布问题时,主要从以下几个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解: 1.Δ的符号. 2.方程对应的函数图象的对称轴与所给区间的位置关系. 3.方程对应的函数在区间端点处函数值的符号. 跟踪训练 4.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围; 解:依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图, 得 解得-<m<-. 故实数m的取值范围为(-,-). (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围. 解:依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图, 得 解得-<m<1-. 故实数m的取值范围为(-,1-). $