第4章 4.9 三角形中的最值与范围问题(提升课)（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角形中的最值与范围问题”，覆盖利用基本不等式、转化为三角函数及其他函数求最值三大核心考点，对接高考评价体系，分析近五年高频考点分布，归纳边长、面积、角度相关常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题引领，如2022新高考全国卷Ⅰ例题深度解析，通过“边角转化—函数构建—最值求解”三步法培养数学思维与数学语言素养，设对点训练强化技巧，助力学生掌握答题策略，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

4.9　三角形中的最值与范围问题 (提升课) 第四章　三角函数 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 核心考点突破 01 知能达标训练 02 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 栏目导航 第四章　三角函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第四章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　三角函数 1 三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 考点一　利用基本不等式求最值(范围)　重难考点　师生共研 (2022·新高考全国卷Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． [解析]　(1)因为＝＝＝， 即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜. 而sin B＝－cos C＝sin ， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈，C∈， 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos2B＝时等号成立，所以的最小值为4－5. 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积的最值时，S＝bc sin A，即求bc的最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值． 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，求△ABC的面积的最大值． 解析　(1)由正弦定理可知，＝＝， 交叉相乘后整理得sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B， 即sin (B＋C)＝2sin A cos B，sin (π－A)＝2sin A cos B， sin A＝2sin A cos B， 又因为在△ABC中，A∈(0，π)，sin A>0， 因此可得cos B＝，即B＝. (2)由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝9， 又因为a2＋c2－ac＝9≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时，等号成立， 因此ac≤9，故S△ABC＝ac sin B≤×9×＝， 即△ABC的面积的最大值为. 考点二　转化为三角函数求最值(范围)　重难考点　师生共研 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求角A的大小； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解析]　(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 由正弦定理和已知条件得a2－b2－c2＝bc. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A ， 得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由BC＝a＝3，A＝，得＝＝＝2， 从而b＝2sin B，c＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B， 故a＋b＋c＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin . 又0＜B＜，所以＜B＋＜， 故当B＋＝，即B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin (A－B) cos C＝cos B sin (A－C). (1)判断△ABC的形状； (2)若△ABC为锐角三角形，sin A＝，求＋＋的最大值． 解析　(1)由题意， (sin A cos B－cos A sin B)cos C＝cos B·(sin A cos C－cos A sin C)， 整理得cos A·(cos B sin C－sin B cos C)＝cos A·sin (C－B)＝0， 故cos A＝0或sin (C－B)＝0， 当cos A＝0时，A＝，△ABC为直角三角形， 当sin (C－B)＝0时，B＝C，△ABC为等腰三角形， 当cos A＝0且sin (C－B)＝0时，A＝，B＝C＝， △ABC为等腰直角三角形． 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． (2)由(1)知，若△ABC为锐角三角形，则一定为等腰三角形，∴b＝c， 由正弦定理＝得a sin B＝b sin A＝1， ∴a＝， ∴＋＋＝＋＝2sin2B＋sinA ＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin ， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<， ∴当2B－＝，即B＝时，＋＋取最大值， 最大值为＋1. 考点三　转化为其他函数求最值(范围)　重难考点　师生共研 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，a sin B＝b cos B. (1)若C＝，求角A的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． [解析]　(1)由a sin B＝b cos B， 根据正弦定理得sin A sin B＝sin B cos B， 由于sin B≠0，可知sin A＝cos B，即sin A＝sin ， 因为A为钝角，则B为锐角，即B∈，则＋B∈， 则A＝＋B，C＝－2B. 由A＝＋B，C＝，A＋B＋C＝π，得A＝. (2)cos A＋cos B＋cos C＝cos ＋cos B＋cos ＝－sin B＋cos B＋sin 2B＝cos B－sin B＋2sin B cos B. 因为C＝－2B为锐角，所以0＜－2B＜， 即0＜B＜，则B＋∈， 设t＝cos B－sin B＝cos ∈， 则2sin B cos B＝1－t2， 所以cos A＋cos B＋cos C＝t＋1－t2＝－＋. 因为t∈(0，1)，则∈， 从而－＋∈. 由此可知，cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 解决此类题目，一是利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． 3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)若C＝，求角B的大小； (2)求的取值范围． 解析　(1)由＝，及正弦定理可得，＝， 即c2＝b2＋ab， ∵C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B， 又C＝，∴B＝. (2)由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴＝＝＋－1， 令x＝，则x∈(1，2)， f(x)＝x2＋x－1，1<x<2， ∴f(x)＝－∈(1，5)， ∴＋－1∈(1，5)， ∴的取值范围是(1，5). $