安徽省华师联盟2027届高三9月份开学质量检测数学试题

机密★启用前 高三9月开学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出 去，那么甲同学进出小区的方式共有 A.4种 B.9种 C.12种 D.16种 2.经过点P(1,一1)且与直线2x十y一4=0平行的直线方程为 A.2x+y-7=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y+1=0 3.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2)且P(X<1)=0.3,则P(X<3|X>2)= A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 4.若函数f(x)=x3+2ax2一8x十4在区间（一1,2）上是单调函数，则实数a的取值范围是 A[-1,2J B[0,] c.(-o D.[] 5.已知A(一2,0)，B(1,0),若圆(x-5)2十(y-4)2=r2(r>0)上存在点P满足PA 2PB,则实数r的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知F是抛物线C:y=4x的焦点，A(一1,4)，线段AF的垂直平分线与抛物线C的交 点坐标为 A.(4,4)或(4，-4)B.(4,-4) C.(1,2) D.(4,4) 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S6一S3=9,S1o=24,若Sk=0,则k= A.14 B.15 C.16 D.17 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知函数f(x)=(e-mx2)(alnx-mx),若]m∈R,使得函数f(x)≤0在x∈(0，+oo)上 恒成立，则实数a的取值范围为 B[] c[o,] D.(-,] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是 A.一组数据(x:,y:)的线性回归方程为y=4x十2，若x=1,则y=6 B.若随机变量X满足E(2X)=2,则E(X十3)=7 C.若随机变量X的方差D(X)=3,则D(2X-1)=12 D.若随机变量X一B3,)则P(X=2)=号 10.已知数列{an}的前n项和Sn=2+1一2十n,则 A.a1=1 B.a =2"+1 C.令bn=n(am一1)，Tm为数列{bn}的前n项和，则Tn=（n一1)·2m+1十2 D.1+1+1+…+1>2 2 al a2 a3 an 3 2m+1+1 11.如图，CF⊥平面ABCD,CD∥AB,CF∥DE,AB=CF=3CD=3DE=3,AD=BC=√2， 则下列说法正确的是 A.AE⊥BE B.直线CF与直线AE夹角的余弦值为5 C.BD⊥平面ADE D.平面ADE与平面ABE的夹角的正弦值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若(ax+6) 的展开式中x2的系数为6，则。+的最小值为 18.已知双南线C号养=1a0,6>0)的左，右焦点分别为RR过右焦点R,的直线 交双曲线右支于A,B两点，若△ABF,为正三角形，则双曲线C的离心率= 14.已知数列{an}共有6项，a:∈{-1,1}，i=1,2,3,4,5,6,数列{an}的前n项和为Sm,若 Sm≤2对n∈{1,2,3,4,5,6}恒成立，则这样的数列{an}的个数为 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 设公差不为0的等差数列{am}的前n项和为Sm,且S3=6,a1,2,a4成等比数列. (1)求{am}的通项公式； (2)设bn=3am十am,求数列{bn}的前n项和Tn 16.(本小题满分15分) 某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题. 题目：你对本店铺售后服务整体评价为 A.非常满意B.比较满意C.不太满意 D.很不满意 平台规定：只有选择A或B,才视为“满意”；选择C或D,则视为“不满意”， 甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别 随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”(A或B)的人 数为80人，乙店顾客选择“满意”(A或B)的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样 本估计总体，以频率估计概率. (1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是 等可能的，求该顾客选择“不满意”(C或D)的概率； (2)从甲、乙两家店铺的有顾客中各随机抽取2名，设X为这4名顾客中选择“满意” (A或B)的人数，求X的分布列和数学期望. 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 所示，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=号BD,AD=DC,AB⊥BC,PA (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD; (2)若AC=4,PB=2E,二面角P-AC-B的平面角为行 (i)求平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值； (i)设点E为四棱锥P-ABCD外接球面上的一点，求点E到平面PAD距离的最大 值，并求此时点E的坐标. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(r)=e . (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1<x2<x3,证明：x1十2x2十x3>2. 19.(本小题满分17分) 已知P是圆O:x2十y2=4上一动点，PD⊥x轴，垂足为D,点W为线段PD的中点，点 W的轨迹为曲线T (1)求曲线Γ的方程； (2)设直线1是过原点O的一条动直线，直线1与圆O交于M,N两点，A(2,0),直线 MA,NA与曲线Γ的交点分别为点B,C. ()是否存在直线1，使得四边形OBAC为平行四边形？使得四边形OBAC为梯形？ 若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. (ii)求△ABC面积的最大值. 高三数学试题第4页（共4页）高三9月开学质量检测·数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D A D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2(5分，其他结果均不得分) 13.√3(5分，其他结果均不得分) 14.36(5分，其他结果均不得分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案】(1)a,=n(2)3+1十m2+n-3 2 【命题意图】本题主要考查数列的概念、数列的基本量法来确定通项公式、等比数列的性质、等比数列 的求和、数列的分组求和法等知识；考查基本计算能力、数据运算能力、考查等式的推理的思想；体现 综合性、实用性 【试题解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则得S6 3a2=6 a2=2 4分 a1·a4=a号(2-d)(2+2d)=4d=1 则a1=1,∴.an=n; +……………………………………………………+…………………………………+……… 5分 (2)bn=3。十an=3”+n, .{bn}的前n项和T,=(3十32十33+…+3m)十(1+2+3+…十n) 8分 =3(1-3")+n(1+n)_3+ 1-3 2 +00中）多-31++-3 22 …13分 2 16.【答案11D号 (2)X的分布列见解析，E(X)=3.1 【命题意图】本题主要考查条件概率、全概率公式及分布列、数学期望等知识；考查模型识别能力、数据 处理能力、模型的建立和运用能力；考查模型中数据应用的思想，数学在实际应用中的实用思想；体现 应用性、综合性 【试题解析】(1)记事件F=“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件E=“抽取1名顾客来自于乙店铺”， 事件M=“顾客选择满意”，…1分 高三数学试题参考答案第1页（共6页） 根据题意可知P(F)=P(E)=3,P(MP)=告，PMFD=号，P(ME)=,PME)= 4 …3分 则P)=P(F)·PM)+P(·PE)-X号+号×0： 5分 (2)设事件G=“甲店铺的顾客选择‘满意'(A或B)”,事件H=“乙店铺的顾客选择满意'(A或B)”, 由题意可知，P(G)= 0-专P(D-是则PG)-gP(H 4 6分 X的可能取值为0,1,2,3,4，…7分 Px=0)=(传)×（号）广=0 8分 PX=1w=cx号×号×仔)+（信）Cxx满 9分 Px=2)=G(告)×()+()C()+Cx告×C×x-a 44001 11分 PX=3)=C×告×号×（圣）+（告）'Cx2×-18 4400 12分 PX==(停)x(广= 13分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 73 168 144 400 400 400 400 400 则E(X)三0X400+1X4+2X 73 +3×168+4×144 =3.1. …………… 400 400 `400 400 15分 17.【答案】(1)详见解析(2)（①4四 35 m2+2.(2,2四，-2） 7 【命题意图】本题主要考查立体几何、空间向量中的面面垂直、面面角、三棱锥的外接球、点到面的最值 等知识；考查题意转换能力、整体分析能力；知识运用技巧性思想；体现应用性、综合性、开放性、思 维性. 【试题解析】(1)如图(1)所示，连接AC,取AC的中点为O,因为AB=BC,所以BO⊥AC,又因为AD =DC,所以DO⊥AC,所以B,O,D三点共线，即O=AC∩BD,所以AC⊥BD;…2分 又因为PA=PC,O为AC中点，所以AC⊥PO,BD,POC平面PBD,BD∩PO=O,所以AC⊥平面 PBD,又因为ACC平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD; ………4分 (2)因为PO⊥AC,BO⊥AC,则∠POB即为二面角P-AC-B的平面角，即 ∠POB- 因为AC=4,AB⊥BC,O为AC中点，所以BO=2,又因为PB=2√3，在 △POB中，由余弦定理得：PB=0B+OP2-20B·OPeos号，所以12=4 图(1) 高三数学试题参考答案第2页（共6页） 十OP2+2OP,即OP2+2OP-8=0,因为OP>0,所以OP=2.…5分 因为BA=BC,BD=BD,DA=DC,所以△BAD≌△BCD,又因为∠ABC=受，则∠ABD=∠CBD=平 又因为AC=4,∠ABC=交，BA=BC,所以BA=BC=2√2，即BD=V2AB=4. 记过点O且与平面ABCD垂直的直线为之轴，因为平面PBD⊥平面ABCD,所以之轴在平面PBD 内.再以OA,OB为x,y轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示. 则O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,-13). …6分 (i)设平面PAD的一个法向量为m1=(x1,M,),AD=(一2，-2,0)，PA =(2,1,-√5)， n·A方=-2.x-2y=0 由 ,令x1=3,则y=一√5，刘=1，则m1= n1·PA=2m+y-√51=0 图(2) (5,一√5,1)；… ……8分 设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,2,2),BC=(-2,-2,0),Pi=(0,3,-5), n2·BC=-2.x2-2y2=0 由 ,令x2=1,则y2=一1,2=一√3，则n2=(1,-1,一√5).…9分 n2·Pi=3y2-√3&2=0 设平面PAD与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos(m1,m,川=%：n,l √3 3 n·n,√7x5√35' 侧sn0=0即平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值为4V0 35；… …10分 (i)由上分析可知，OA=OB=OC=OD=OP=2,所以点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，且外 接球半径为2.…… 因为OA=(2,0,0),平面PAD的一个法向量为1=(W3,一√3,1)， 则点0到平面PAD的距离d=O·n-2E_2V2I n√7 7 所以点E到平面PAD距离的最大值为，22十2，并且此时OEL平面PAD.…12分 7 设E(x,y,2),所以有OE∥n1,且OE=2,则有x2+y2十2=4①，二 =y =②， 令 y √5一√5 =z=t,即x=√3t,y=一√3t,之=t, 代入①得：3+3+=4，即r=专，所以1=29或=2 7 所以.-2，)成(-2.2T，9) ……………………13分 当(2-2厘，24)时应-(2耳-2,2耳，29)， 高三数学试题参考答案第3页（共6页） 此时点E到平面PAD的距离为：A它.=2-2匹，所以不符合题意，盒：…14分 n 当(-2②，2厘，-2)，A范=(-2④-22四，-29). 此时点E到平面PAD的距离为： A它·=2+22I,所以符合题意， n 7 所以点E的坐标为(-2②，2V2匹，-2)】 …15分 7 18.【答案】(1)单调递增区间为：（一∞，0），(1，十∞)；单调递减区间为：(0,1)，极小值为e2,无极大值 (2)详见解析 【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合，函数的单调性和极值，恒成立问题、函数的构造等知识： 考查函数和导数理解深层次能力、知识点的应用能力；考查导数的综合思想；体现综合性、逻辑性、创 新性、整体性。 【试题解析】(1)函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0}，………1分 (x)=2ex:-2ez_2e"(r-1) …3分 令f(x)=0,得x=1,当x>1或x<0时，f(x)>0;当0<x<1时，f'(x)<0,…5分 所以函数f(x)的单调递增区间为：（一∞，0），(1，十∞)；单调递减区间为：(0,1)，…6分 当x=1时，函数f(x)取极小值，且极小值为f(1)=e2,无极大值；…7分 (2)当x十∞时，f(x)→+∞；当x→0时，f(x)→十∞；当x→一∞时，f(x)→0，再由其单调性和极 值，作出函数f(x)的大致图象如图所示： 若f(x)=f(x2)=f(x)=t,且x1<x2<x3,则t>e2,x <0,0x2<1<x3.……8分 因为f(x1)=f(x2)=f(x3),则f(x1)>e2,又因为f(-1) =e2<e2,且函数f(x)在(-o,0)上单调递增，所以一1< 4<0,则0<-<1，则f(-)=e>e >=f) f(x2),又因为函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以一x1< x2,即x1十x2>0;…10分 要证：x1十2x2十x3>2,又因为x1十x2>0,即证：x2+x3>2. 出=，得，爱-爱两边同时收对数：山货=加曾即2n-2m=2a-2 即名=1即证十>2n写合 ,二，即证ln-ln>22 …13分 x3+x2 x3一1 即证：ln分>2会令4会因为>>0，所以>1，即证：血>2号>10.…14分 2x3十1 T2 I? 令s=a12>1D. 高三数学试题参考答案第4页（共6页） 则g0=一21》-名>0，所以60在1，中0)上第消造指，…15分 又因为t>1,所以g(t)>g(1)=0,所以x2十x3>2成立；… 16分 因为x十x2>0且x2十x3>2,所以十2x2十x3>2.…17分 19.【答案】1)千十Y=1(0y≠0)(2)（①）不存在直线1，使得四边形0BAC为平行四边形：当直线方程为 y=士2，Ex时，四边形OBAC为梯形() 25 【命题意图】本题主要考查曲线轨迹的求法、椭圆与圆综合、平面几何在椭圆中的综合应用、面积的最 大值等知识；考查信息分析能力、题意转换能力、整体分析能力；数据处理的技巧性思想；体现应用性、 综合性、开拓性. 【试题解析】(1)设W(x,y),其中y≠0，则P(x,2y),…… …1分 因为点P在圆x2十y2=4上，所以x2十4y2=4,……………2分 所以曲线的方程为：买十y2=1(y≠0)。………4分 (2)设直线BC的方程为：=my十，与闻线r的方程为：苦+y=1联立， 得：(m2+4)y2+2mny+n2-4=0, m2+4y十y2=-2mn 设B(),C(),则有y为=”4， 。。+…。。。。 m2+4’ 6分 因为点A(2,0)在圆O上，且MN是圆O的直径，所以MA⊥NA,即BA⊥CA, 所以·a产2‘产2-1，即a-2-2)+n的=0， 因为x1=my1十n,x2=my2十n,所以(my1+n-2)(my2+n-2)+y1y2=0, 即(m2十1)y1y2十m(n-2)(y1十y2)十(n-2)2=0,… 7分 所以(m+1+ma-2n2+-2=0. 化简整理得：5一16n十12=0，解得n三6或n=2(舍)， 8分 所以直线BC的方程为：x=my十号，即直线BC恒过定点E(停，0)小，即直线OA与BC相交于点 (号，0，而（号0）不是线段OA的中点，即OA与BC不可能互相平分，所以四边形OBAC不可能为 平行四边形，即不存在直线l使得四边形OBAC为平行四边形；……10分 若四边形OBAC是梯形，则有OC∥AB或OB∥AC. 当OC∥AB时，因为AB⊥AC,所以OC⊥AC,即MA⊥VA,OC⊥NA,又因为点O为线段MN的中 点，所以点C为线段NA的中点.设C(xo,y%),因为A(2,0),以V(2x。一2,2y),因为点C在曲线 西+场=1 下上，点N在圆O上，则有 (2x-2)2+(2y0)2=4 高三数学试题参考答案第5页（共6页） =号 2 3 解得=2（合）或=号 即 或 y,-22 2√2 3 y%= 3 所以N-号）或N(-号-）.所以直线1的方程为：y=-2x或y=2E:…1分 同理，OB∥AC时，求得直线1的方程也为y=一2W2x或y=2√2x. 即直线l的方程为y=一2√2x或y=2√2x时，四边形OBAC为梯形；…12分 (iSae=1AE到·l,一为=2×(2-号）lm为=号0，+w)-4为 +m2+4-51 m2+4 5 m2+4, ……14分 ,………15分 25 6t+0 令么一十源在[8十一)上单周递增，所以当=8时，即m=0时，以取最小值Sam取最大值：且最 大值为号 ……17分 高三数学试题参考答案第6页（共6页）