第1章 第4节 基本不等式（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了最值求解、条件不等式、实际应用三大考查方向，通过真题与模拟题分析明确选择填空占比60%、解答题渗透40%的考点权重，归纳出“1的代换”“配凑法”“换元转化”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“分层训练+真题突破+素养导向”策略，如以2026湖南长沙模拟题为例，通过换元法将复杂条件转化为基本不等式形式，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，结合工程估算费用问题（第5题）建立数学模型，发展数学语言中的模型观念。特设“易错点警示”（如忽视等号成立条件）和“技巧模板”，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准实施分层教学，提升复习效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A组　基础保分练 1.若x<0,则关于x+下列结论正确的是(　　) A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2 解析:因为x<0,所以-x>0,-x+≥2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤ -2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　) A.9　　　　　　　　　 B.18 C.9 D.27 解析:因为m>0,n>0, 由基本不等式m+n≥2得, m+n≥18,当且仅当m=n=9时,等号成立, 所以m+n的最小值是18. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由x+3y=5xy,可得+=5, 则3x+4y=(3x+4y) = ≥=5, 当且仅当=且x+3y=5xy, 即x=1,y=时取等号. 故3x+4y的最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)× (宽+4).在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,平整每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:元)是(　　) A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设矩形场地的长为x米,则宽为米, 故W=(x+4)(+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以估算平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知x>y>0且4x+3y=1,则+的最小值为 (　　) A.10 B.9 C.8 D.7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由x>y>0得2x-y>0,x+2y>0, 令a=2x-y,b=x+2y,则a+2b=4x+3y, 由4x+3y=1得a+2b=1, 故+=(a+2b) =5++≥5+2=9, 当且仅当=,且a+2b=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即a=b=时,等号成立, 也即2x-y=,x+2y=, 即x=,y=时,等号成立, 故+的最小值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4,则x2+y2的最小值是8 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析: A选项,对于函数y=2x+(x<0), 2x+=-[(-2x)+]≤-2=-4, 当且仅当-2x=,即x=-1时等号成立,所以A选项正确; B选项,y==+≥ 2=2, =无实数解,所以等号不成立,所以B选项错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C选项,对于函数y=x+(x>-2),x+2>0, x+=x+2+-2≥2-2=6, 当且仅当x+2=,即x=2时等号成立,所以C选项正确; D选项,由基本不等式得≥()2, 所以x2+y2≥2·()2=2×22=8, 当且仅当x=y=2时等号成立,所以D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(多选)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是(　 　) A.+的最小值为4 B.xy的最大值为 C.+的最小值为2 D.x2+4y2的最小值为 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:对于A,+=+=++2≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故A正确;对于B,xy=×x×2y≤×()2=×=,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故B正确;对于C,(+)2=x+2y+2≤3+2 =3+3=6,则+≤,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故C错误;对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×=,当且仅当x=,y=时取等号,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.函数f(x)=x2+的最小值是 .  解析:由f(x)=x2+=x2+2+-2 ≥2-2=4-2=2, 当且仅当x2+2=,即x=0时,等号成立. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知0<x<,则y=x(1-2x)的最大值为 .   解析: y=x(1-2x)=·2x(1-2x)≤·[]2=, 当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.若正实数x,y满足x+3y=1,且不等式a≤有解,则a的最大值为(　　) A. B. C. D. C B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:因为x>0,y>0,x+3y=1, 则=+ =(x+3y) =++10 ≥2+10=16, 当且仅当=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x=y=时,等号成立, 所以0<≤.因为不等式a≤有解,所以a小于等于的最大值,所以a≤, 即a的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(多选)(2026·云南保山模拟)若实数a,b满足3(a-b)2=6-4ab,则下列不等式正确的是(　 　) A.b-a≥- B.-≤ab≤ C.≤a2+b2≤3 D.a+b> ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由3(a-b)2=6-4ab, 得3a2+3b2=6+2ab≥6ab,得ab≤,当且仅当a=b=±时,等号成立, 同理得,3a2+3b2=6+2ab≥-6ab,得ab≥-,当且仅当a=-b=±时,等号成立, 综上可得,-≤ab≤,故B正确; 由3(a-b)2=6-4ab可得ab=[6-3(a-b)2],则有-≤≤, 解得0≤(a-b)2≤3,则-≤b-a≤,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由-≤ab≤及3a2+3b2=6+2ab得,-≤≤, 解得≤a2+b2≤3,故C正确; 由3a2+3b2=6+2ab, 得3(a+b)2=6+8ab, 即ab=, 因为-≤ab≤,则-≤≤,则-≤a+b≤ ,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,根据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗 费用的总和,那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h= 厘米.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由题意及N(h)=,可得N(0)==10,即m=40,∴N(h)=. 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108(万元),当且仅当=3(3h+4),即h=厘米时,F(h)达到最小值. 4．(2026·湖南长沙模拟)已知a>b>0，且ab＝2，则＋＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：因为ab＝2，a>b>0， 所以＋＋＝＋＝＋≥2＝4， 当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－时等号成立， 所以＋＋的最小值为4. $