第3章 第4节 利用导数研究函数的极值、最值-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的极值、最值”核心考点，依据高考评价体系明确极值条件、求法及最值步骤等考查要求，通过梳理考点权重，归纳判断极值点、求极值最值、参数问题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以含参函数极值求解、闭区间最值分类讨论为例，运用导数符号分析与逻辑推理方法，培养数学思维与模型意识，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

第四节　利用导数研究函数的极值、最值 第三章　一元函数的导数及其应用 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件.　2.能利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值.　3.会用导数研究生活中的最优化问题. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的极值 1．函数的极小值与极小值点 如图，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都 f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就称____是函数y＝f(x)的一个极小值，此时 称为f(x)的一个极小值点． 大于或等于 f(x0) x0 2．函数的极大值与极大值点 如图，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都 f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就称_____是函数y＝f(x)的一个极大值，此时 称为f(x)的一个极大值点． 小于或等于 f(x0) x0 知识点一　函数的极值 知识点二　函数的最大(小)值 1.函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 连续不断 常用结论 1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若连续函数f(x)在区间(a,b)上只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数在区间(a,b)上的最值点. 自我评价 1.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　) A.1个　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 A 解析:由导函数f'(x)的图象知, 在x=-2处,f'(-2)=0,且其两侧导数符号为 左正右负,所以-2是f(x)的极大值点; 在x=-1处,f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,所以-1是f(x)的极小值点; 在x=0处,f'(0)=0,且其两侧导数符号都为正,所以0不是f(x)的极值点; 在x=2处,f'(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,所以2是f(x)的极大值点. 综上,f(x)的极小值点的个数为1. 2.函数y=x+2cos x在区间[0,]上的最大值是(　　) A.+1 B.+ C.+ D. 解析:对于函数y=x+2cos x,y'=1-2sin x. 当0<x<时,y'=1-2sin x>0,当<x<时,y'=1-2sin x<0, 所以函数y=x+2cos x在区间(0,)上单调递增,在区间(,)上单调递减, 所以ymax=+2cos=+. C 3.(湘教选择性必修第二册P35例5改编)函数f(x)=x3-4x+4的极大值为　　　　,极小值为　　　　.  解析:因为f(x)=x3-4x+4, 所以f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2), 由f'(x)>0,得x<-2或x>2, 由f'(x)<0,得-2<x<2, 故f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增, 在(-2,2)上单调递减,故f(x)的极大值为f(-2)=,极小值为f(2)=-. - 4.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9.若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=　　　　　.  解析:f'(x)=3x2+2ax+3.由题意知,x=-3是方程f'(x)=0的根,所以3× (-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.经检验,当a=5时,f(x)在x=-3处取得极值. 5 关键能力　重点探究 考点一　求函数的极值问题 角度1　根据函数的图象判断函数的极值(点) [例1]　(多选)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.-3是函数y=f(x)的极值点 B.-1是函数y=f(x)的极小值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.-2是函数y=f(x)的极大值点 AC [解析]　由题图知f'(-3)=0且两侧符号相反,故A正确;在(-3,1)上y=f'(x)≥0(当且仅当x=-1时等号成立),所以y=f(x)在(-3,1)上单调递增,故B,D错误,C正确. 角度2　求函数的极值 [例2]　求函数g(x)=ax-ln(x+1)(a∈R)的极值. [解]　由题意知g(x)=ax-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞), g'(x)=a-. ①当a≤0时,g'(x)=a-<0在(-1,+∞)上恒成立,g(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-1,+∞)上无极值; ②当a>0时,令g'(x)=a->0,则x>-1,令g'(x)=a-<0,则-1<x<-1, 所以当x>-1时,g(x)单调递增,当-1<x<-1时,g(x)单调递减, 所以g(x)在x=-1处,取得极小值g(-1)=1-a+ln a,无极大值. 综上所述,当a≤0时,g(x)在(-1,+∞)上无极值, 当a>0时,g(x)在(-1,+∞)上有极小值1-a+ln a,无极大值. 方法总结 求函数f(x) 的极值或极值点的步骤 1.求导数f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域. 2.求方程f'(x)=0的根. 3.检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定函数的极值或极值点. 跟踪训练 (2)求函数f(x)的极值点个数． 当a＞e时，m(x)min＝m(1)＝e＜a， 故存在x1∈(0，1)和x2∈(1，＋∞)，使得m(x1)＝m(x2)＝a， 当0＜x＜x1时，f′(x)＞0， 当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0， 当x＞x2时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(x1，x2)上单调递减，在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，所以x1为函数f(x)的极大值点，x2为函数f(x)的极小值点． 综上所述，当a≤e时，f(x)无极值点；当a＞e时，f(x)有2个极值点． 考点二　利用导数求函数的最值 [例3]　已知函数f(x)=aln x-x(a≠0),当a>0时,求函数f(x)在(0,2]上的最大值. [解]　f'(x)=-1=,x>0,令f'(x)=0,解得x=a, ①若0<a<2, 当0<x<a时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,a)上单调递增, 当a<x≤2时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(a,2]上单调递减, ∴f(x)max=f(a)=aln a-a. ②若a≥2, 当0<x≤2时,f'(x)≥0,∴f(x)在区间(0,2]上单调递增, ∴f(x)max=f(2)=aln 2-2. 综上所述,当0<a<2时,f(x)max=aln a-a, 当a≥2时,f(x)max=aln 2-2. 方法总结 1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 2.若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 跟踪训练 2.(2025·全国一卷)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]的最大值. 解:f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x. 因为x∈[0,],故2x∈[0,],故sin 2x≥0, 当0<x<时,cos 3x>0,即f'(x)>0, 当<x<时,cos 3x<0,即f'(x)<0, 故f(x)在(0,)上为增函数,在(,)上为减函数, 故f(x)在[0,]上的最大值为f()=5cos-cos=3. 考点三　函数极值、最值的应用 角度1　根据极值求参数 [例4]　(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a=(　　) A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 C [解析]　f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a), 当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值.当a≠0时,令f'(x)=0得x=0或x=, 若>0即a>0, 则在(-∞,0),(,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 在(0,)上,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=处取得极小值,即f()=()3-a×()2=-4,解得a=3; 若<0即a<0, 则在(-∞,),(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 在(,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=0处取得极小值,即f(0)=0-a×0=0≠-4,不满足题意. 综上,实数a=3. 方法总结 已知函数极值点或极值求参数的两个关键点 1.列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. 2.验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意:已知极值情况求参数范围时要注意等价转化思想与数形结合思想的应用. 角度2　根据最值求参数 [例5]　(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)=+ln x在区间[1,e]上的最小值为,则a=(　　) A.1 B. C. D. D [解析]　因为f(x)=+ln x(x>0), 所以f'(x)=-=, 当a≤0时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 此时f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(1)=a+ln 1=,解得a=,不符合题意,舍去. 当a>0时,令f'(x)<0,得0<x<a;令f'(x)>0,得x>a,所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. ①当0<a≤1时,f(x)在区间[1,e]上单调递增, 所以最小值为f(1)=a≤1,不符合题意,舍去; ②当1<a<e时,f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增, 所以最小值为f(a)=1+ln a=,解得a=; ③当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减, 所以最小值为f(e)=+ln e=, 解得a=,不符合题意,舍去. 综上所述,a=. 方法总结 已知函数的最值求参数,可以先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数. 跟踪训练 3.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　　.  -4 解析:由题意有f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2). 因为2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2, 当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4), 当x∈(-∞,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意, 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 4.(2026·湖南常德模拟)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0, 函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞), 当x≤1时,若a=0,则f(x)=1>0,没有最小值, 由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0, 因此解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞). [1,+∞) 1．已知函数f(x)＝＋ln x. (1)若a＝e，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 解：依题意，f′(x)＝－＋，故f′(1)＝0， 又f(1)＝1，故所求切线方程为y－1＝0. 解：依题意f′(x)＝－＋＝＝(－a). 令m(x)＝，x＞0，则m′(x)＝，所以当0＜x＜1时，m′(x)＜0；当x＞1时，m′(x)＞0， 所以函数m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以m(x)min＝m(1)＝e， 当a≤e时，m(x)≥a恒成立，所以f′(x)≥0， 函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值点． $