12函数模型及应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及应用核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数等常见函数模型及实际应用步骤，知识梳理构建清晰体系，通过判断正误、选择填空、解答题等分层练习，结合题型解析（如会员人数增长模型选择）帮助学生突破建模与解模难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于结合环保、经济等真实情境设计案例（如污水治理设备优化），培养学生用数学眼光观察现实问题，通过函数模型对比分析（如指数与对数增长差异）发展数学思维，分层练习与真题演练（如天文学亮度计算）保障复习效果，助力学生提升用数学语言表达和解决实际问题的能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

函数模型及应用 一、知识梳理 1. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 “对勾”函数模型 2. 指数、对数、幂函数模型性质比较 性质 函数 在 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 的增大逐渐表现为与 轴平行 随 的增大 逐渐表现为 与 轴平行 随 值 变化而 各有不同 函数值的比较 存在一个 ,当 时,有 提醒 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变； “指数增长”先慢后快，其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 3. 利用函数模型解决实际问题的步骤 1. 审题:弄清题意，识别条件与结论，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题，搞清题中所给数量关系，初步选择数学模型； 2. 建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型; 3. 解模: 求解数学模型,得出结论; 4.还原: 将数学问题还原为实际问题. 二、练习题 1. 判断正误. (对的打“√”，错的打“✗”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. ( ) (2)函数 的函数值比 的函数值大. ( ) (3)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售后因库存积压降价，若按九折出售， 则每件还能获利. ( ) 2. 今年某种产品的产量是 ,如果保持 10% 的年增长率,那么经过 年 ,该产品的产量 满足 ( ) A. B. C. D. 3. 易错题 某商品在最近 30 天内的单价 (单位:元) 与时间 (单位:天)的函数关系是 ,销售量 (单位:件)与时间 (单位:天)的函数关系是 ,则在最近 30 天内, 这种商品的日销售金额最高为___元. 4. 某种动物的种群数量 (单位: 只) 与时间 (单位: 年) 的关系式为 ,若这种动物第 1 年有 100 只, 则到第 7 年它们发展到_____ 只. 5. 某城市客运公司确定客运票价格的方法是: 如果行程不超过 ，票价是0.5元/km， 如果超过 ,超过 的部分按 0.4 元 定价,则客运票价 (元) 与行程 (km) 之间的函数关系式是___. 题型 利用函数模型解决实际问题 6. 某应用软件从 2020 年上线开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加. 已知从 2020 到 2023 年，该软件会员每年年末的人数如表所示(注:第 4 年数据为截至 2023 年 10 月底的数据). 软件上线第 年 1 2 3 4 会员人数 千人 28 40 58 82 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算上线该应用软件 ) 年后会员人数 (千人),求出你所选择模型的解析式, 并预测 2023 年年末会员人数; ① , ② , ③ (2)为了更好地维护管理应用软件，该应用软件规定会员人数不能超过 千人，请根据(1)中你选择的函数模型求 的最小值. 7. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用, 以降低自来水的使用量. 经测算,企业拟安装一种使用寿命为 4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位:万元) 与设备的占地面积 (单位:平方米) 成正比,比例系数为 0.2 .预计安装后该企业每年需缴纳的水费 (单位:万元) 与设备占地面积 之间的函数关系为 . 将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为 (单位:万元). (1)要使 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 的取值范围; (2)设备占地面积 为多少时， 的值最小? 8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 ,其中星等为 的星的亮度为 . 已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A. B.10.1 C.lg 10.1 D. 9. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术, 为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系,其中 表示温度,单位是 表示压强,单位是 bar. 下列结论中正确的是 ( ) A. 当 时,二氧化碳处于液态 B. 当 时,二氧化碳处于气态 C. 当 时,二氧化碳处于超临界状态 D. 当 时,二氧化碳处于超临界状态 10. (多选) 噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ,则( ) A. B. C. D. 11. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改. 设企业的污水排放量 与时间 的关系为 , 用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱. 已知整改期内， 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论: ①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是___. 基础夯实 12. 通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为 ，则经过 秒后这段声音的声强变为 ，其中 是一个常数. 定义声音的声强衰减到原来的 所需的时间为 ,则 约为 ( ) 附: . A. B. C. D. 13. 某农贸市场出售西红柿, 当价格上涨时, 供给量相应增加, 而需求量相应减少, 具体调查结果如表: 表一:市场供给量 单价/(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量/ 50 60 70 75 80 90 表二:市场需求量 单价/(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量/t 50 60 65 70 75 80 根据以上提供的信息, 市场供需平衡点 (即供给量和需求量相等时的单价)应在区间 ( ) A. 内 B. 内 C. 内 D. 内 14. 金针菇被采摘后会很快失去新鲜度, 甚至腐烂, 所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存. 已知金针菇失去的新鲜度 与其被采摘后时间 (天) 满足的函数解析式为 . 若被采摘后 1 天，金针菇失去的新鲜度为 40%；若被采摘后 3 天,金针菇失去的新鲜度为 80%. 现在金针菇失去的新鲜度为 60%, 则被采摘后的天数为 ( ) (结果保留一位小数, ) A.1.5 B.1.8 C.2.0 D.2.1 15. 某学校科技创新小组准备模拟东风-31 弹道导弹的发射过程， 假设该小组采用的飞行器的飞行高度 (单位:米)与飞行时间 (单位:秒)之间的关系可以近似用函数 来表示. 已知飞行器发射后经过 2 秒时的高度为 10 米, 经过 6 秒时的高度为 30 米, 欲达到 50 米的高度, 需要 ( ) A. 15 秒 B. 16 秒 C. 18 秒 D. 20 秒 16. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型: ,其中, 表示每一轮优化时使用的学习率, 表示初始学习率, 表示衰减系数, 表示训练迭代轮数, 表示衰减速度.已知,某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5 , 衰减速度为 18 . 经过 18 轮迭代学习时, 学习率衰减为 0.4 , 则学习率衰减到 0.2 以下所需要的训练迭代轮数至少为 ( ) (参考数据: ) A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 17. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定:排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 . 已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为 ,现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理, 处理后废气中剩余二氧化硫的浓度 (单位: ) 与处理时间 (单位: 分钟) 满足关系式: ,那么从现在起至少经过___分钟才能达到排放标准. (参考数据: ,结果取整数) 18. 某地区上年度天然气价格为 2.8 元 ，年用气量为 . 本年度计划将天然气单价下调到 2.55 元 至 2.75 元 之间. 经调查测算,用户期望天然气单价为 2.4 元 ,下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数为 ). 已知天然气的成本价为2.3元 . (1)写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益 (单位:元) 关于实际单价 (单位: 元 ) 的函数解析式; (收益 实际用气量 (实际单价-成本价)) (2)设 ，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加 20% ? 能力提升 19. (多选)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例. 透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例. 在实际应用中,通常用吸光度 和透光率 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为 ，下表为不同玻璃材料的透光率: 玻璃材料 材料 1 材料 2 材料 3 0.6 0.7 0.8 设材料 1、材料 2、材料 3 的吸光度分别为 、 ,则 ( ) A. B. C. D. 20. (多选) 某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物体冷却模型:若物体原来的温度为 (单位:℃)，环境温度为 ,物体的温度冷却到 需用时 (单位:分钟), 推导出函数关系为 为正的常数. 现有一壶开水 放在室温为 的房间里,根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据: ) ( ) A. 函数关系 也可作为这壶开水的冷却模型 B. 当 时,这壶开水冷却到 大约需要 28 分钟 C. 若 ,则 D. 这壶开水从 冷却到 所需时间比从 冷却到 所需时间短 参考答案与解析 1. (1) 2. D 3. 506 4. 200 5. 6. (1) 由题中表格的数据可知, 函数是一个增函数, 且函数增长得越来越快, 故选择模型③较为合适, 由题中表格的数据可得 解得 所以函数模型的解析式为 , 预测 2023 年年末的会员人数为 (千人). (2)由题意可得 , 令 ,则 ,则 , 令 ,则函数 在 上单调递增,所以 ,即 , 因此 的最小值为 . 7. (1) 由题意得 , 由 ,即 ,解得 . 即设备占地面积 (单位: 平方米) 的取值范围为 . (2) , 当且仅当 时,等号成立. 所以设备占地面积为 15 平方米时, 的值最小. 8. A 依题意得 , 所以 , 所以 , 所以 . 故选 A. 9. D 对于 ,当 时, ,由题图可知,二氧化碳处于固态, 错误. 对于 ,当 时, ,由题图可知,二氧化碳处于液态, 错误. 对于 ,当 时, ,由题图可知,二氧化碳处于固态, 错误. 对于 ,当 时, ,由题图可知,二氧化碳处于超临界状态, 正确. 故选 D. 10. ACD 对于 ,由题意知 ,即 ,所以 ,故 正确. 对于 ,由题意知 ,所以 ,所以 ,故 A 正确. 对于 ,所以 , 所以 ,即 ,故 错误. 对于 ,所以 , 所以 ,因为 ,所以 ,故 D 正确,故选 ACD. 11. 答案 ①②③ 解析 设 ,易得甲、乙两个企业在 这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为 ,由题图易知 ,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对；由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；在 时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；由计算式 可知，甲企业在 这段时间内污水治理能力最弱，所以④错. 综上，正确结论的序号为①②③. 12. B 由题意知, ,即 , 等号两边同时取自然对数得 ,即 , 所以 . 故选 B. 13. C 当供给量和需求量均为 50 时, 供给单价和需求单价相差为 2 ; 当供给量和需求量均为 60 时, 供给单价和需求单价相差为 1; 当供给量和需求量均为 70 时, 供给单价和需求单价相差为 0.2; 当供给量和需求量均为 75 时, 供给单价和需求单价相差为 0.9; 当供给量和需求量均为 80 时, 供给单价和需求单价相差为 1.6. 当供给量和需求量均为 70 时, 供给单价和需求单价相差最小，所以市场供需平衡点 (即供给量和需求量相等时的单价) 应在区间 内. 故选 C. 14. B 由题意可得 两式相除可得 , 则 , 设 天后金针菇失去的新鲜度为 ,则 , 又 , , 则 ,故选 B. 15. C 由题意可得 解得 , 设达到 50 米的高度需要 秒. 则 ,解得 , 所以达到 50 米的高度需要 18 秒. 故选 C. 16. D 由题意得 ,依题意 ,则 ,则 由 ,得到 , 所以 , 所以所需要的训练迭代轮数至少为 74 , 故选 D. 17. 答案 16 解析 依题意知 ,即 ,取以 10 为底的对数得 ,即 ,则 ,则 , ,故至少经过 16 分钟才能达到排放标准. 18. 解析 (1) 由题意得 . (2)由题意可知要同时满足以下条件: 化简不等式可得 ,即单价最低定为2.6元 . 19. BCD 由 ,得 ,则 , ,即 选项错误; , B 选项正确; 选项正确; , ,所以 ,则有 ,又 ,则 选项正确. 故选 BCD. 20. BCD 对于 ,由 ,得 ,所以 ,故 . A 错误. 对于 ,由题意可知 正确. 对于 ,由 ,得 ,即 ,则 . 正确. 对于 ,设这壶开水从 冷却到 所需时间为 分钟, 则 ,设这壶开水从 冷却到 40°C 所需时间为 分钟,则 ,因为 ,所以 正确. 故选 BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $