3.9 函数的零点与方程的解 复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，按定义与定理、零点区间确定、个数判断、参数求解等七个题型系统架构知识网络，通过考点梳理、方法提炼、真题训练的教学流程，帮助学生构建从基础到综合应用的解题体系。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“题型-方法-应用”三层突破策略，如嵌套函数零点问题通过内外层函数分解训练逻辑推理能力，设置基础到综合的分层例题，配合高考真题演练，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

§3.9 函数的零点与方程的解·复习讲义 目录 题型1：确定函数零点所在区间 3 题型2：判断函数零点个数 4 题型3：利用函数零点情况求参数 5  已知函数零点所在的区间求参数 5  已知函数零点或方程根的个数求参数 6 题型4：嵌套函数的零点问题 7  判断嵌套函数的零点个数 7  由嵌套函数的零点情况求参数 8 题型5：函数零点大小的比较 8 题型6：函数零点的和、差、积、商问题 9 题型7：二分法 10 1. 函数的零点 (1) 定义：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2) 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即，使得，这个 也就是方程的解． 提醒 (1)符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但不能确定零点的个数． (2)并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． (3)若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内至多有一个零点． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤： (1) 确定区间，验证，给定精度ε. (2) 求区间的中点. (3) 计算. 若, 则就是函数的零点；若，则令 (此时零点). 若，则令(此时零点) (4) 判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)；否则重复第(2) —(4) 步. 题型1：确定函数零点所在区间 方法提炼 函数零点所在区间的判断方法： (1) 定理法：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点．此法适用于能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负的题型. (2) 图像法：适用于容易画出函数图像的题型，通过观察图像与轴在给定区间是否有交点来判断. (3) 解方程法：当易解时，直接解方程的根，然后看所求得的根是否落在给定区间上. 【例1.1.】 函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 题型2：判断函数零点个数 方法提炼 判断函数零点个数的常用方法： (1) 代数法：令，方程有多少个解，则就有多少个零点. (2) 函数零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 图像法 ①画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. ②将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. 【例2.1.】 （2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【例2.2.】 已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数，则方程的实根的个数是______________． 【例2.4.】 函数的零点个数为______. 【例2.5.】 已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【例2.6.】 方程在上的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型3：利用函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. ①方程有个根的图象与直线有个交点． ②方程有根． (3) 数形结合法：有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 · 已知函数零点所在的区间求参数 【例3.1.】 设是方程的解，且，则整数______________． 【例3.2.】 若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 设为整数，且函数在区间内正好有两个不同零点，所有满足条件的整数的和为______. 【例3.5.】 已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． · 已知函数零点或方程根的个数求参数 【例3.6.】 （2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【例3.7.】 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【例3.8.】 已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.9.】 设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【例3.10.】 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.11.】 函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 题型4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 （多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【例4.2.】 （多选）已知函数，则方程的实数根个数可能为（   ） A．1 B．5 C．6 D．9 【例4.3.】 若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.4.】 已知函数为定义在上的单调函数，且，若函数在内有唯一零点，则实数的取值范围是______. 【例4.5.】 设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________. 【例4.6.】 已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5：函数零点大小的比较 【例5.1.】 已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 题型6：函数零点的和、差、积、商问题 【例6.1.】 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【例6.2.】 设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【例6.3.】 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例6.5.】 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 题型7：二分法 【例7.1.】 用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（    ） A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 【例7.2.】 用二分法求函数零点的近似解，可以取的初始区间是（      ）. A． B． C． D． 【例7.3.】 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【例7.5.】 用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.9 函数的零点与方程的解·复习讲义 目录 题型1：确定函数零点所在区间 3 题型2：判断函数零点个数 7 题型3：利用函数零点情况求参数 14  已知函数零点所在的区间求参数 14  已知函数零点或方程根的个数求参数 18 题型4：嵌套函数的零点问题 24  判断嵌套函数的零点个数 24  由嵌套函数的零点情况求参数 27 题型5：函数零点大小的比较 30 题型6：函数零点的和、差、积、商问题 34 题型7：二分法 40 1. 函数的零点 (1) 定义：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2) 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即，使得，这个 也就是方程的解． 提醒 (1)符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但不能确定零点的个数． (2)并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． (3)若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内至多有一个零点． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤： (1) 确定区间，验证，给定精度ε. (2) 求区间的中点. (3) 计算. 若, 则就是函数的零点；若，则令 (此时零点). 若，则令(此时零点) (4) 判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)；否则重复第(2) —(4) 步. 题型1：确定函数零点所在区间 方法提炼 函数零点所在区间的判断方法： (1) 定理法：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点．此法适用于能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负的题型. (2) 图像法：适用于容易画出函数图像的题型，通过观察图像与轴在给定区间是否有交点来判断. (3) 解方程法：当易解时，直接解方程的根，然后看所求得的根是否落在给定区间上. 【例1.1.】 函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、对数函数单调性的应用 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【例1.2.】 若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 【例1.3.】 已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】指数式与对数式的互化、比较对数式的大小、判断零点所在的区间 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 【例1.4.】 已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】按照和两种情况讨论，结合题意可设，，进而结合零点存在性定理分析判断即可. 【详解】由， 当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点， 可设，要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 综上所述，函数在一定存在零点. 故选：C. 题型2：判断函数零点个数 方法提炼 判断函数零点个数的常用方法： (1) 代数法：令，方程有多少个解，则就有多少个零点. (2) 函数零点存在定理：不仅要求函数图像在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. (3) 图像法 ①画出函数图像，图像与轴交点的个数就是函数的零点个数. ②将函数拆成，则函数的零点个数即为和的图像的交点个数. (4) 利用函数性质：利用函数的单调性确定函数图像的起伏，则其零点个数不难得到；若函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. 【例2.1.】 （2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【难度】0.38 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（含参）、零点存在性定理的应用 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 【例2.2.】 已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 【例2.3.】 函数，则方程的实根的个数是______________． 【答案】2 【难度】0.6 【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 【例2.4.】 函数的零点个数为______. 【答案】1 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】先判断函数在上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【例2.5.】 已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用、函数对称性的应用 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 【例2.6.】 方程在上的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】将问题转化为函数图象交点的个数，利用函数导数与单调性，函数的极值，作出图象，根据交点个数即可得出结论. 【详解】方程在上的根的个数等价于函数与函数在上的交点个数， 由，则， 因为，所以令， 又，所以解得：， 令，解得：， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 令，则， 则函数与函数在上的大致图象为： 由图可得：函数与函数在上有个交点， 所以方程在上有个根. 题型3：利用函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路： (1) 直接法：利用零点存在定理构造关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围. (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. ①方程有个根的图象与直线有个交点． ②方程有根． (3) 数形结合法：有个零点方程有个实数根函数与的图像有个交点 · 已知函数零点所在的区间求参数 【例3.1.】 设是方程的解，且，则整数______________． 【答案】2 【难度】0.82 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. 【例3.2.】 若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【例3.3.】 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【例3.4.】 设为整数，且函数在区间内正好有两个不同零点，所有满足条件的整数的和为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由可得，令，其中，则直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，结合可得结果. 【详解】由可得，令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ，由可得，如下表所示： 减 极小值 增 极大值 减 又因为，，则，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因为，故实数的取值集合为， 因此满足条件的整数的和为. 【例3.5.】 已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】写出分段函数，分、两种情况讨论，结合图象讨论即可. 【详解】函数， 二次函数与图象的对称轴均为直线， 当时，函数在上单调递增， 此时在区间上至多有一个实数根，不满足题意，则， 作出函数的图象，如图， 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在区间上有两个不等实数根， 所以函数在区间上不单调，则或， 故实数的取值范围为. · 已知函数零点或方程根的个数求参数 【例3.6.】 （2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 【例3.7.】 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据零点所在的区间求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 【例3.8.】 已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 【例3.9.】 设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】先求得，得到的单调性，求得的最小值，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极小值，也是最小值， 因为函数在上恰有一个零点，可得， 又因为，所以，解得. 【例3.10.】 定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 【例3.11.】 函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.38 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】原题条件转换为函数与函数得图象有三个交点，故只需画图分析即可得解. 【详解】由已知得， 则， 所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称， 又， 进而有，所以函数是以4为周期的周期函数. 由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点， 当直线与函数图象在上相切时， 由，即， 故方程有两个相等的实根. 由，解得， 当时，，作出函数与函数的图象如图：    由图知当直线与函数图象在上相切时，， 数形结合可得在上有三个零点时，实数满足， 再根据函数的周期为4， 可得所求的实数的范围为. 题型4：嵌套函数的零点问题 · 判断嵌套函数的零点个数 方法提炼 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： (1) 确定内层函数和外层函数； (2) 确定外层函数的零点； (3) 确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 【例4.1.】 （多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对A：令，数形结合可知，或或；令，，， 又因为，故， 数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确； 对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根， 故方程有且仅有一个解，故B错误； 对C：令，数形结合可知，或或；令， 由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解， 故方程有且仅有五个解，故C错误； 对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解， 故方程有且仅有一个解，D正确. 故选：AD. 【例4.2.】 （多选）已知函数，则方程的实数根个数可能为（   ） A．1 B．5 C．6 D．9 【答案】ABD 【难度】0.5 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【详解】令，则. 因为，，当或时，单调递增；当时，单调递减，且，，且的值域为R，图像如图： 故当或时均有一个根，当时单调递增且值域为；当时单调递增且值域为； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有3个根，且单调递减且值域为； 故当或时均有一个根，即方程有一个实数根，故A正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程有5个实数根，故B正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程也有5个实数根； 故当时均有3个根，分别为，，，此时方程有9个实数根，故D正确. 【例4.3.】 若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究方程的根 【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数. 【详解】，且，是极值点， 则，故 令，则方程即为 ，解得或， 因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4． · 由嵌套函数的零点情况求参数 方法提炼 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： (1) 先根据解析式画出内（外）层函数图象； (2) 令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； (3) 内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例4.4.】 已知函数为定义在上的单调函数，且，若函数在内有唯一零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据单调性得出，求出，再利用求出，最后结合零点存在性定理可得. 【详解】因为为单调函数，所以存在唯一实数，使， 令，则， 又且为单调函数，，故， 则， 因为在内有唯一零点，且在上单调递增， 所以，得， 故实数的取值范围是. 【例4.5.】 设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围. 【详解】的图像为： 设， 则转化为， 关于的函数恰好有6个零点， 有两个不同的根， 且，则对应的值有个，对应的值有个， ，， ，， ， 实数的取值范围是. 故答案为：. 【例4.6.】 已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 题型5：函数零点大小的比较 【例5.1.】 已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.69 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 【例5.2.】 已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】比较零点的大小关系、比较对数式的大小 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 【例5.3.】 已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】比较零点的大小关系、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 【例5.4.】 已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、比较零点的大小关系 【分析】问题转化为函数，，和的图象的交点问题，结合图象判断即可. 【详解】依题意，令，则，，， 则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图，    当直线为时，； 当直线为或时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为移动到左端的直线时，始终有. 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：C. 题型6：函数零点的和、差、积、商问题 【例6.1.】 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.61 【知识点】求零点的和、分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 【例6.2.】 设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.54 【知识点】求零点的和 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 【例6.3.】 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、指数式与对数式的互化、对数函数图象的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 【例6.4.】 已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】求零点的和、利用导数研究函数的零点、简单复合函数的导数、函数对称性的应用 【分析】求出函数的定义域，结合导数确定函数的单调性及零点个数，再利用对称性求出零点和. 【详解】函数，由，得或， 而，则， 即是函数图象的对称中心，， 函数在上单调递减，而在上单调递增， 则函数在上单调递减，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，当从大于2的方向趋近于2时，， ，则函数在上有唯一零点， 由对称性知函数在有唯一零点，两个零点和为2， 所以函数的零点之和为2. 故选：B 【例6.5.】 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 【答案】D 【难度】0.49 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得， 令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以， ， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误. 故答案选D. 题型7：二分法 【例7.1.】 用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（    ） A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点、用二分法求近似解的条件 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 【例7.2.】 用二分法求函数零点的近似解，可以取的初始区间是（      ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】求出在上单调递减，由零点存在性定理得到答案. 【详解】由题意可知，的定义域为，且在上单调递减， 又，， ， 由零点存在性定理得，唯一的零点所在区间为. 故选：B 【例7.3.】 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 【例7.4.】 用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 【例7.5.】 用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $