第3章 第4节 利用导数研究函数的极值、最值（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦导数与函数核心模块，依据高考评价体系梳理了极值判断、单调性分析、最值求解、实际应用等考查维度，通过真题统计明确极值点判断（选择）、含参单调性讨论（解答）等高频题型，构建完整的解题思路体系。 课件亮点在于“真题情境+分层训练+素养导向”，如以2025全国二卷奇函数导数题为例，剖析分类讨论与符号运算技巧，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。设“易错警示”（如极值点与极值混淆）和“解题模板”，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准复习，提升备考效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A组　基础保分练 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1　　　　　　　　　 B.(1,-) C.-3 D.(-3,8) 解析:f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1, 所以函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知函数f(x)=ln x-x2,则函数f(x)(　　) A.既有极大值,也有极小值 B.有极大值,无极小值 C.有极小值,无极大值 D.既无极大值,也无极小值 解析:函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x== ,当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,无极小值. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有(　　) A.1个　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正,由题图可知,在区间(a,b) 内,导函数值先负后正的点只有1个,所以函数y=f(x)在区间(a,b) 内的极小值的个数是1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为(　　) A.4 B.3 C. D.5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x =3(cos xcos 2x-sin xsin 2x)+6cos x =3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x =3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cos x =3cos x(4cos2x-1) =3cos x(2cos x-1)(2cos x+1),x∈[0,], 所以当0<x<时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减, 所以函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为f()=sin π+6sin=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e,则a=(　　) A.1 B.2 C.e D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-a. 令f'(x)>0,得x>ea-1; 令f'(x)<0,得0<x<ea-1, 所以函数f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增. 则函数f(x)的极小值点是ea-1,无极大值点, 故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e, 解得a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知函数f(x)=x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(,1) B.[0,) C.(,1) D.[0,) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:函数f(x)=x++3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+== , 令f'(x)=0可得x=1或x=-4(舍去),当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.又因为函数f(x)在(a,2-3a)内有最小值,故0≤a<1<2-3a,解得0≤a<,所以实数a的取值范围是[0,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的结论中,一定正确的是(　　) A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上单调递减 C.当x∈[-1,t]时,若f(x)的最大值是2,则t的最大值为4 D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点 x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题中f'(x) 的图象可知,当x=0 时,函数f(x)取得极大值;当x=4 时,函数f(x) 取得极大值,即函数f(x) 有2个极大值点,故A正确;易知函数f(x) 在[0,2] 上单调递减,故B正确;当x∈[-1,t] 时,若f(x) 的最大值是2,则t 满足0≤t≤5,即t 的最大值是5,故C错误;令y=f(x)-a=0,得f(x)=a,当f(2)≤1, 1<a<2时,易知f(x)=a 有四个不相等的实数根;当1<f(2)<2,1<a<2时,易知f(x)=a 不一定有四个不相等的实数根,故函数y=f(x)-a 有4个零点不一定正确,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( 　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞), 则f'(x)=--=. 因为函数f(x)既有极大值也有极小值, 则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点, 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1,x2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 于是 即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0, 显然a2bc<0,即bc<0,故A错误,B,C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2026·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x, 求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=5(cos x-sin x), 令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ), 由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0, 由函数y=cos x可知当x∈(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x>0, 当x∈(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x<0,又x0为函数f(x)的极大值点, 则x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z), 所以sin x0=sin(-φ+2kπ)=cos φ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知函数f(x)=-ln x(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; 解:函数的定义域为(0,+∞),则f'(x)=-=-. 当a>0时,由f'(x)>0,可得0<x<a,由f'(x)<0,可得x>a. 此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞). 综上所述,函数f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求f(x)在[,e]上的最大值. 解:当0<a≤时,函数f(x)在[,e]上单调递减, 此时f(x)的最大值为f()=2-ae; 当<a<e时,函数f(x)在[,a)上单调递增,在(a,e]上单调递减, 此时f(x)的最大值为f(a)=-ln a; 当a≥e时,函数f(x)在[,e]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(e)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综上所述,[f(x)]max= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.某同学准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积最小值为(　　) A.4π B.6π C.8π D.9π B组　能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R. 当圆形铁片的面积最小时,R2最小.因为该漏斗的容积V=πr2h=2π, 解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0). 设y=x2+,x>0,则y'=2x-, 令2x-=0,可得x=, 当0<x<时,y'<0,函数单调递减,当x>时,y'>0,函数单调递增. 故当x=时,y取得最小值9,所以圆形铁片的面积的最小值为9π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则( 　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,故A正确; 当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,故B正确; f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误; 当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2, 则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x, 令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去), 当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增, 当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减, 则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(2026·安徽黄山模拟)已知函数f(x)=x2-aln x-a3,若f(x)有极小值且极小值大于0,求a的取值范围. 解:∵f'(x)=x-=,x>0, 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=, 当0<x<时,f'(x)<0,即f(x)单调递减, 当x>时,f'(x)>0,即f(x)单调递增, 所以当x=时,f(x)有极小值f()=a(1-ln a-a2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f()>0,得1-ln a-a2>0, 令F(a)=1-ln a-a2,a>0, 则F'(a)=--2a<0,所以函数F(a)在(0,+∞)上单调递减,又F(1)=0, 由F(a)>F(1),得a<1,则0<a<1. 综上,a的取值范围为(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2. (1)当a=4时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程; 解:当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4, 则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,所以切线方程为y+16=-3(x-0),化简得3x+y+16=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)讨论函数f(x)的单调性; 解:由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,x∈(-1,+∞), 当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,得-1<x<-1+,令f'(x)<0,得x>-1+, 所以f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减. 综上所述, 当a≤0时, f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围. 解:由(2)可知当a≤0时f(x)无极值点,当a>0时f(x)在x=-1+处有极大值, 可得f(-1+)≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2 ≥0. 令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+=. 因为2a2-a+1=2(a-)2+>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增. 因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以g(a)≥g(2),解得a≥2, 所以实数a的取值范围是[2,+∞). $