第3章 第2节 利用导数研究函数的单调性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的单调性”核心考点，依据高考要求梳理了导数与单调性关系、单调区间求解（多项式不超过三次）等考查维度，通过知识表格化梳理、常用结论归纳，明确导函数图象识别、含参函数单调性讨论等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模”策略，如例3含参函数单调性讨论中对参数m的分类（m≥0、-1<m<0等），培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）素养。设自我评价与分层训练，帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第二节　利用导数研究函数的单调性 第三章　一元函数的导数及其应用 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.　2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在 区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上__________ f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上__________ f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 知识点二　利用导数判断函数单调性的步骤 第一步,确定函数f(x)的定义域; 第二步,求出导数f'(x)的零点; 第三步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 常用结论 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 自我评价 1.(多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是(　　) A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(2,3)上f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递减 BC 解析:在区间(-2,1)上,当x∈(-2,-)时,f'(x)<0,当x∈(-,1)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(-2,-)上单调递减,在区间(-,1)上单调递增,A错误;在区间(2,3)上,f'(x)<0,所以f(x)单调递减,B正确;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(3,4)上单调递减,在区间(4,5)上单调递增,C正确,D错误. 2.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性为(　　) A.先增后减　　　　　　 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:因为在区间(0,π) 上,f'(x)=-sin x-1<0恒成立,所以f(x) 在(0,π) 上单调递减. D 3.函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　 　.  解析:由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(,+∞). (-∞,-2),(,+∞) 4.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是　　　　　.  解析:因为f(x)=kx-ln x,所以f'(x)=k-(x>0).因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k≥1. [1,+∞) 关键能力　重点探究 考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性 [例1]　如图是函数f(x)及其导函数f'(x)在同一坐标系中的图象,则图象正确的为(　　) C [解析]　对于A,若单调递减的曲线为函数f(x)的图象,则其导函数f'(x)的图象应恒为负值,且从左往右呈现先增后减的趋势,导函数的图象不符合题意;若单调递减的曲线为导函数f'(x)的图象,则函数f(x)的图象应呈现先增后减的趋势,此时原函数的图象不符合题意,A错误.对于B,若先增后减的曲线为函数f(x)的图象,则其导函数f'(x)的图象应呈现先为正后为负的趋势,导函数的图象不符合题意;若先增后减的曲线为导函数f'(x)的图象,则函数f(x)的图象应呈现先增后减的趋势,此时原函数的图象不符合题意,B错误.对于C,若过原点的曲线为导函数f'(x)的图象,另一条曲线符合f(x)的图象,C正确.对于D,若先减后增的曲线为导函数f'(x)的图象,则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势,显然f(x)的图象不符合;若先减后增的曲线为函数f(x)的图象,则另一条曲线应呈现先为负后为正的变化规律,显然f'(x)的图象不符合,D错误. 方法总结 由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. 由导函数图象识别原函数图象的依据:若f'(x)>0,则f(x)单调递增;若f'(x)<0,则f(x)单调递减. 跟踪训练 1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) D 解析:由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象可知, 当x<0时,f'(x)<0,所以y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,可排除A,C; 当0<x<2时,f'(x)>0,所以y=f(x)在(0,2)上单调递增,可排除B; 当x>2时,f'(x)<0,所以y=f(x)在(2,+∞)上单调递减,D均符合,故D正确. 考点二　不含参数的函数的单调性 [例2]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-ln x),则当x<0时,f(x)的单调递增区间为 (　　) A.(-∞,-e)　　　　　 B.(-e,0) C.(-∞,0) D.(-1,0) D [解析]　当x>0时,f(x)=x(1-ln x),则f'(x)=-ln x, 所以当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减. 方法总结 确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 跟踪训练 2.若函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　.  (0,1) 解析:f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=, 令φ(x)=-ln x-1(x>0), φ'(x)=--<0, φ(x)在(0,+∞)上单调递减,且φ(1)=0, ∴当x∈(0,1)时,φ(x)>0,即f'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,即f'(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1). 考点三　含参数的函数的单调性 [例3]　已知函数f(x)=ex+me-x+(m-1)x,讨论f(x)的单调性. [解]　由f(x)=ex+me-x+(m-1)x, 得f'(x)=ex-me-x+m-1=, 当m≥0时,ex+m>0恒成立,令f'(x)=0,解得x=0, 且当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 即函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 当m<0时,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(-m), ①当-1<m<0时,x2<x1,则当x∈(-∞,ln(-m))∪(0,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(ln(-m),0)时,f'(x)<0, 即函数f(x)在(-∞,ln(-m))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(-m),0)上单调递减; ②当m=-1时,x1=x2,即f'(x)≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增; ③当m<-1时,x2>x1,则当x∈(-∞,0)∪(ln(-m),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln(-m))时,f'(x)<0, 即函数f(x)在(-∞,0)和(ln(-m),+∞)上单调递增,在(0,ln(-m))上单调递减. 综上所述,当m≥0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-1<m<0时,函数f(x)在(-∞,ln(-m))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(-m),0)上单调递减;当m=-1时,函数f(x)在R上单调递增;当m<-1时,函数f(x)在(-∞,0)和 (ln(-m),+∞)上单调递增,在(0,ln(-m))上单调递减. 方法总结 讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内划分,还要确定导数为零的点和函数的间断点. 跟踪训练 3.已知函数f(x)=-x2+x-mln x,m∈R,讨论f(x)的单调区间. 解:f'(x)=-2x+1-=-(x>0), 设y=-2x2+x-m(x>0),对称轴为x=>0,Δ=1-8m,令Δ=0⇒m=, 当m≥时,y≤0,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当0<m<时,y=0有两个不相等的正根,, 所以在(0,),(,+∞)上f'(x)<0,在(,)上f'(x)>0, f(x)在(0,),(,+∞)上单调递减,在(,)上单调递增. 当m≤0时,y=0有一个正根,即在(0,)上f'(x)>0,在(,+∞)上f'(x)<0, f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 综上,当m≥时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当0<m<时,f(x)的单调递减区间为(0,),(,+∞),单调递增区间为(,); 当m≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). $