第2章 第12节 函数模型及应用（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数模型应用、导数与不等式等核心考点，依据高考评价体系梳理了指数函数、对数函数增长差异，实际问题数学建模等考查要求，通过真题分析明确函数建模占比45%、运算求解占30%的高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题情境+模型构建+运算技巧”的备考策略，如2024北京卷生物丰富度指数题，用数学语言建立对数模型，培养数学眼光和建模意识，通过均值不等式求最值（第8题）、对数运算简化（第5题）等技巧指导，帮助学生掌握解题方法，教师可据此开展针对性训练，提升复习效率。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A组　基础保分练 1.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示, 结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中, 当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x增长速度最快,h(x)=log2x 增长速度最慢,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2024·北京卷)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1　　　　　　　 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析:由题意,得=2.1,=3.15,若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,故ln =ln ,所以=. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某放射性物质在衰减过程中,其质量y与年数t满足关系式y=m0e-kt(m0为初始质量,m0>0,k为常数,e≈2.718).已知该放射性物质经过4年,其质量变为初始质量的,若再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的 (　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:依题意,m0=m0e-4k,则e-4k=, 再经过8年,即t=12时,y=m0e-12k=m0(e-4k)3=m0,所以再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表所示. 小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … ? … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(参考数据: 10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　　) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 答案:B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题中数据可知,当x=1时,y=5,两个函数模型都符合; 当x=0.1时,由y=5+lg x,得y=5+lg 0.1=4,与表中的数据符合,而y=5+lg =5.1,与表中的数据不符,所以选择模型y=5+lg x更合适,此时令y=4.7,则lg x=-0.3,所以x=10-0.3≈0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2026·广东深圳模拟)某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301) (　　) A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元, 则5 000(1+20%)x>12 800,即1.2x>2.56, 则x·lg 1.2>lg 2.56=lg=lg 256-2=8lg 2-2, 即x>≈≈5.16, 所以x=6,即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)对某智能手机进行续航能力测试(测试6 h结束),得到了剩余电量y(单位:百分比)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断中正确的有(　 　) A.测试结束时,该手机剩余电量为85% B.该手机在5 h时电量为0 C.该手机在0~3 h内电量下降的速度比3~5 h内下降的速度更快 D.该手机在5~6 h进行了充电操作 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:A选项,测试结束时,由题图可知,电量是85%, A选项正确; B选项,由题图可知,在5 h时刻,电量剩余为30%, B选项错误; C选项,由题图可知,在0~3 h内电量下降的速度平均为≈16.7%, 在3~5 h内下降的速度平均为≈10%,前者更快,C选项正确; D选项,由于在5~6 h期间电量上涨,可知进行了充电操作,D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)(2026·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生,以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播.在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2).但在实际生活中,常用声音的声强级D(dB)来度量,声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D=alg I+b,经过多次测定,得到如下数据: 声强I(W/cm2) 10-11 10-10 m 声强级D(dB) 10 20 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100),其声强为I1;鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110),其声强为I2;飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135,145),其声强为I3,则(　　) A.b-a=110 B.m=10-8 C.<I2< D.I1I3> 答案:ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意可得 即所以b-a=110,故A正确; 因为D=10lg I+120,所以30=10lg m+120,解得m=10-9,故B错误; 由100<10lg I2+120<110,得<I2<,故C正确; 设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1<100,100<D2<110,135<D3<145,所以D1+D3>2D2,所以10lg I1+120+10lg I3+120>2(10lg I2+120),所以lg I1+lg I3>2lg I2,即lg(I1I3)>lg ,所以I1I3>,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+)L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用y的最低值是 　　　　　元.  600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:行车所用时间t=h,由题意可得行车总费用为y=×6×(4+)+=+(50≤x≤100). y=+≥2=600,当且仅当=,即x=70 时,等号成立.所以当x=70 时,这次行车的总费用y 最低,最低费用为600元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  解析:由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg 1.2≥lg 2,所以n-1≥=≈≈3.810,所以n≥4.810. 因为n∈N*,所以n的最小值为5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.某动力电池生产企业为提高产能,计划投入7 200万元购买一批智能工业机器人,使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本为(800x2-400x)万元,每年电池销售收入为7 600万元,设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元. (1)写出y关于x的函数关系式,并求该电池生产企业从第几年开始盈利. 解:由题意可得y=7 600x-(800x2-400x)-7 200=-800(x2-10x+9)(x∈N*), 由y>0得1<x<9且x∈N*,∴该企业从第2年开始盈利. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种. 方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2 000万元价格处理; 方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以5 200万元的价格处理. 问哪种方案更合理?并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:方案二更合理,理由如下: 方案一:∵y=-800(x2-10x+9)=-800(x-5)2+12 800, ∴当x=5时,y取到最大值12 800, 若此时处理掉智能机器人,总利润为12 800+2 000=14 800(万元). 方案二:年平均盈利额=-800(x+)+8 000≤-1 600+8 000=3 200(万元), 当且仅当x=3时,年平均盈利额最大, 若此时处理掉智能机器人,总利润为3 200×3+5 200=14 800(万元). 综上,两种方案总利润都是14 800万元,但方案一需要五年,方案二仅需三年即可,故方案二更合理. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2026·江苏南通模拟)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-kt)来测定在时间t(min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆,心理学家测定在5 min后该学生记忆了20个单词,则该学生记忆38个单词大约需要　　　　min.  B组　能力提升练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:已知A=200,当t=5时,L=20,将这些值代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得20=200×(1-e-5k), 可得=1-e-5k,即0.1=1-e-5k,可得e-5k=0.9, 两边同时取对数可得ln e-5k=ln 0.9, 可得-5k=ln 0.9,则k=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将L=38,A=200,k=-,代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得38=200×(1-) 可得=1-,即0.19=1-, 可得=0.81,两边同时取对数可得ln =ln 0.81, 可得t=ln 0.81. 因为ln 0.81=ln 0.92=2ln 0.9,所以t=2ln 0.9,可得=2,解得t=10. 故该学生记忆38个单词大约需要10 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.根据某高科技公司多年的经营数据,发现该公司每年的利润y(单位:万元)与研发投入x(单位:万元)满足函数关系式y=klog2(x>100),且当x=200时,y=350. (1)若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元? 解:当x=200时,y=350,所以350=klog2,解得k=350,所以y=350log2(x>100), 令y=700,可得700=350log2,解得x=400, 所以明年的研发投入应该为400万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化? 解:设今年的研发投入为x1万元,利润为y1万元,明年的研发投入为x2万元,利润为y2万元, 所以y1=350log2,y2=350log2, 根据题意可得350log2-350log2=y2-y1=175, 所以log2(×)=,所以log2=,所以==,所以x2=x1. 所以明年的研发投入应该提高至今年的倍. $