第二十五章 一元二次方程 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程单元基础卷，覆盖概念、解法及应用，融合流感传播、新能源汽车等现实情境与赵爽弦图等文化素材，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、根的判别式等|第8题以流感传播考建模，体现数学语言| |填空题|5/15|根的定义、双循环赛制|14题篮球比赛情境，培养数据意识| |解答题|8/75|解法应用、几何建模|23题赵爽弦图几何解法，发展几何直观与创新意识|

第二十五章 一元二次方程 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间90分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 6．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 7．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 8．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 9．方程的根是（     ） A． B． C． D． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程__________． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 13．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）解方程． （1）（用公式法）； （2）（用适当的方法）． 17．（8分）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 18．（8分）意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 19．（8分）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 20．（9分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）当时，求的值． 21．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 22．（10分）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 23．（12分）综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间90分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 5．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 6．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 7．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 8．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 9．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】移项，得，提取公因式，得，或，解得． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】，，解得，．关于的一元二次方程是“倍根方程”，分两种情况：①当时，即，此时，②当时，即，此时．综上所述，代数式的值为或． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程__________． 【答案】（答案不唯一） 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【解析】∵原方程是关于的一元二次方程，∴且，解第一个等式，得或，解不等式，得，∴． 13．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【解析】∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即，∴ ． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【解析】设参加小组赛的球队有支，∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为，根据题意，得，解得，，∵球队数量为正整数，∴舍去，∴，故参加小组赛的球队有8支． 15．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【解析】由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，，∴矩形的长为，根据矩形和正方形的面积相等，得，整理得，解得，（舍去），∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）解方程． （1）（用公式法）； （2）（用适当的方法）． 【答案】解：（1）移项，得． ， ， ， ，； （2） 或 解得，． 17．（8分）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 18．（8分）意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 【答案】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 19．（8分）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 20．（9分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）当时，求的值． 【答案】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 21．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 22．（10分）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 23．（12分）综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）；；【解析】观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即，那么大正方形的面积可以表示为，因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即．化简可得，进一步变形为．∴∴或，因为为正数，所以，即原方程的一个正根是． （3）画图如下： ， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章一元二次方程单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 (满分120分，考试时间90分钟) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的) 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-x B.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 0.2+3= 2.将一元二次方程2x-x(x-3)=3化为一般形式，正确的是() A.5x-x2=3 B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0 D.5x-x2-1=0 3.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若9a+3b+c=0,则 它的一个根是() A.X=3 B.x=-月 C.X=-3 D.x=月 4.一元二次方程x2-2x-5=0根的情况为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 5.已知x1,x2是一元二次方程x2+3x=0的两根，则x1x2的值是() A.0 B.2 C.-2 D.4 6.关于x的方程x2一4x+3=0,下列说法错误的是（) A.二次项系数为1 B.常数项为0 C.一次项系数为-4 D.适合用因式分解法解方程 7.已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=3的一个根，则代数式a2+2a的 值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 8.秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保 持室内通风等.若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，列方程为() A.x+(1+x)=81 B.1+x+x2=81 C.1+x+x(1+x)=81 D.x+x(1+x)=81 9.方程x(x-5)=x-5的根是() A.X1=X2=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=1,x2=5 D.x1=0,x2=-5 10.新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实 数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方 程”.若关于x的一元二次方程mx2-(2m+n)x+2n=0是“倍根方程"，则代数 式2m-"的值为（) m+2n A.3或-号 B.域- c.-或-日 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程 12.己知关于x的方程(m+n-1)xm+m2+1一m+nDx+mn=0是一元二次方 程，则m+n的值为 13.若，B是方程x2+2x-6=0的两个实数根，则a2+3a+B的值为 14.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小 组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶 段共比赛56场，则参加小组赛的球队有」 支 15.在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸剪成如图1 所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形 的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽a= cm. ① ② ② ① ② ① ① ② 图1 图2 2 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(10分)解方程. (1)5x2-18=9x(用公式法)： (2)2x2-7x+3=0(用适当的方法). 17.(8分)阅读下列解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下 列问题。 解：x2-2x-9=0.① x2-2x+1-9=0.② (x-1)2-9=0.③ x-1=3或x-1=-3.④ x1=4,x2=-2.⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)； (2)请你写出正确的解答过程. 18.(8分)意大利物理学家伽利略(GalileoGalilei,1564一1642)曾 在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高 度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样.已知h(单 位：m)与（单位：s)满足关系式h=29t2,其中g=9.8m/s2,h=50m, 求铁球的落地时间t.(精确到0.1s) 19.(8分)某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客 房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10 元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个 房间支出20元/天的维护费用.若该青年旅社希望每天纯收入为 14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯 收入=总收入一维护费用) 20.(9分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实 数根x1,X2· (1)求m的取值范围. (2)当x子+x3=6x1x2时，求m的值. 21.(10分)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正 逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车1月份销售量为3 万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递 增，3月份的销售量达到5.07万辆.某汽车销售公司抢占先机，购进 一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能 源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时， 平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若 该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元. (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆 汽车的售价. 6 22.(10分)在“精准扶贫"工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m 的墙AB建造面积为450m2的矩形区域来养鹤鹑，该单位准备修建长 为65m的篱笆，并提供以下两种方案： muiiiiiiiiiiiuitl B C B D 图1 图2 (1)如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围 成，则在墙AB上借用的CPF的长度为多少？ (2)如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展BF,构 成矩形ADEF,篱笆由BF、EF、DE和AD构成，求BF的长. > 23.(12分)综合与实践. xx+10 x+10 x+10 x+10x 图1 图2 (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax=b2 的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形ABC,其中∠C=90°， AC=b,BC=,在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的其中一个 正根是哪段线段的长？说明你的理由. (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也 记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程x2+10x=36为例， 因为x2+10x=36,所以有x(x+10)=36.如图2，用4个长都是 (x+10),宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中， 大正方形的面积可以表示为 (用含x的代数式表示)： 另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 等于4×36+100，故可得原方程的一个正根是 (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程x2+2x一 4=0的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长 度)