第5讲 一元二次方程的实际应用（技法概要+6大题型10种考向精讲+培优小检测）讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的实际应用，系统梳理“审设列解验答”六步骤，并通过单/双循环、平均变化率、分裂传播、数字日历、销售、几何面积等题型，构建从解题步骤到具体应用的学习支架。 资料以亚运会选拔赛、机器人公司利润等生活实例培养数学眼光，用“提分笔记”总结公式提升推理能力，例题与变式强化模型意识。课中辅助教师高效授课，课后培优小检测助力学生查漏补缺。

第5讲 一元二次方程的实际应用 技法概要 1、用一元二次方程解决实际问题的步骤 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案。 2、常见题型 题型精讲 题型1 单/双循环问题 考向1 单循环问题 【例1】．在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 【思路点拨】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【提分笔记】单循环（比赛握手）：A 和 B 交手 = B 和 A 交手，不用重复计算 公式：n(n-1) 【变式1】组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请　　 个球队参加比赛． 考向2 双循环问题 【例2】在中考前，班级每位同学向其他同学赠送1件纪念品，结果共有互赠纪念品1260件，求该班级的学生数，设该班的学生有x人，那么可列出方程 　　 ． 【思路点拨】设该班的学生有x人，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共有互赠纪念品1260件可列出方程． 【提分笔记】双循环（互赠礼物、互发照片）：A 送给 B，和 B 送给 A 是两件事 公式： n(n−1) 【变式2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者计2分，输者记0分，如果平局，两个选手各计1分．全部选手的总得分可能为（　　） A．1980 B．2000 C．2014 D．2050 题型2 平均变化率问题 考向3 平均变化率问题 【例3】某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2028年的利润能否超过1亿元？ 【思路点拨】（1）设该机器人公司这两年的年平均增长率为x，利用该机器人公司2025年的利润＝该机器人公司2023年的利润×（1+该机器人公司这两年的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计测该机器人公司2028年的利润＝该机器人公司2025年的利润×（1+该机器人公司这两年的年平均增长率）3，可预测该机器人公司2028年的利润，再将其与1亿元比较后，即可得出结论． 【解答】 【提分笔记】核心公式： a(1±x)ⁿ= b a：初始基数； x：平均变化率； n：增长次数； b：最终数量 【变式3】某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降20%，六月份购买500kg该种农产品与五月份购买500kg该种农产品相比少花1250元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到12.1元/kg．求该种农产品七、八两个月价格的平均增长率． 题型3 分裂/传播问题 考向4 分裂/传播问题 【例4】某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过2轮传播后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识解答下列问题： （1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮传播后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【思路点拨】（1）设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑，第一轮感染后有（1+x）台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染x台，所以两轮后被感染的电脑数为（1+x）2，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【解答】 【提分笔记】核心公式：(1 + x)ⁿ = 总人数 公式理解：一开始1个传染源，每一轮每个人传染x个人 第1轮后总人数：1 + x 第2轮后总人数：(1 + x)² 【变式4】化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　　 名同学． 题型4 数字/日历问题 考向5 数字/日历问题 【例5】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 【思路点拨】设最小数为x，根据题意，得到最大数为（x+7）+1+1+1＝（x+10），列出方程为x（x+10）＝144，解方程即可． 【解答】 【变式5】有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 题型5 销售问题 考向6 涨价/降价为1 【例6】人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实，某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元． （1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？ （2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销量占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？ 【思路点拨】（1）设购买传感器模型x个，则购买减速器模型（600﹣x）个，根据该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设减速器模型应降价y元，根据当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，要使平均每天的利润达到4400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】 【提分笔记】核心等式：单件利润 ✕ 销售数量 = 总利润 这类题考试频率非常高：涨价/降价，销量随之变化，读题圈画关键条件。 【变式6】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 考向7 涨价/降价不为1 【例7】某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：　（5+x）（1000﹣80x）＝6000　 ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：x（1400﹣80x）＝6000　 ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【思路点拨】（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的销售利润为（5+x）元，每天可售出（1000﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程；解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出（1400﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程； （2）选择解法1，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，即可确定结论；选择解法2，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，可确定x的值，再将其代入（x﹣5）中，即可求出结论． 【解答】 【变式7】某宾馆有若干间标准房，平时以市场管理部门批准的标价200元/间定价时（定价不得超过380元/间），平均每日可入住50间，在去年国庆期间，为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查发现，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为11520元？ 题型6 几何面积问题 考向8 边框、甬道问题 【例8】小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【思路点拨】设画框左右宽度为x寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【解答】 【提分笔记】核心思路：长方形面积=长×宽 篱笆、围栏靠墙题型、边框甬道题型是两大主流考题。 容易踩坑的点：墙有长度限制！算出边长之后，必须检验平行于墙的边长不能超过墙长。 【变式8】如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 考向9 篱笆、围栏问题 【例9】如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃的一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）设AB＝xm，则BC＝（29+1﹣2x）m，根据花圃的面积为100m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长19m，即可确定结论； （2）假设花圃的面积能达到120m2，设AB＝ym，则BC＝（29+1﹣2y）m，根据花圃的面积为120m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2． 【解答】 【变式9】如图是一排形状相同、大小相等的3个长方形猪圈，总面积为20平方米，一面靠墙（墙长a米），其它各边用总长为24米的木栅栏围成． （1）若a＝24，则AB和BC各为多少米？ （2）若a＝8，则AB和BC各为多少米？ 考向10 动点问题 【例10】如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 【思路点拨】（1）根据题意得到BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据勾股定理列方程（5﹣t）2+（2t）2＝52，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【解答】 【变式10】如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 培优小检测 （时间：40分钟 满分：100分） 1．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 2．（10分）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 3．（10分）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 4．（10分）某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是486万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司9月份的生产成本是否会超过440万元？请说明理由． 5．（10分）九年级举办了乒乓球比赛；比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说得不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：；请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 6．（10分）合肥市某中学八年级的教师们为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽AB． 7．（10分）如图，矩形ABCD中，点P，Q分别从点A，C出发，沿AB，CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点到达B，D两点时停止运动，已知AD＝12，AB＝18．设运动时间为t秒． （1）当四边形DAPQ为矩形时，t＝　 　 秒；当四边形DPBQ为菱形时，t＝　 　 秒； （2）当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值． 8．（10分）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为1320m2，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多1m．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车宽位的宽为xm． （1）请用含x的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 9．（10分）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元？ 10．（10分）根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH． （1）求解方程x（x+5）＝6的正根，可令m＝x+5，n＝x，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？ ②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x（x+5）＝6的正根． （2）小明用此方法求关于x的方程x（3x+t）＝14（t为常数，且t＞0）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次方程的实际应用 技法概要 1、用一元二次方程解决实际问题的步骤 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案。 2、常见题型 题型精讲 题型1 单/双循环问题 考向1 单循环问题 【例1】．在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 【思路点拨】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【解答】解：由题意得，15． 故选：A． 【提分笔记】单循环（比赛握手）：A 和 B 交手 = B 和 A 交手，不用重复计算 公式：n(n-1) 【变式1】组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请　6　 个球队参加比赛． 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， ∴每个队都比赛了（x﹣1）场， ∵一共有x个队参赛， ∴所有队共比赛x（x﹣1）场， ∵A队与B队比赛和B队与A队比赛是同一场， ∴每两个队的比赛都被重复计算了一次， ∴总比赛场数是场， ∵计划安排15场比赛， ∴根据题意列一元二次方程得，， 整理得，x2﹣x﹣30＝0， 解得：x＝6或﹣5（不合题意，故舍去）， ∴x＝6， 即：共邀请6个球队参加比赛， 故答案为：6． 考向2 双循环问题 【例2】在中考前，班级每位同学向其他同学赠送1件纪念品，结果共有互赠纪念品1260件，求该班级的学生数，设该班的学生有x人，那么可列出方程 　　 ． 【思路点拨】设该班的学生有x人，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共有互赠纪念品1260件可列出方程． 【解答】解：设该班的学生有x人，则每人送出（x﹣1）件礼物， 由题意得，x（x﹣1）＝1260． 故答案为：x（x﹣1）＝1260． 【提分笔记】双循环（互赠礼物、互发照片）：A 送给 B，和 B 送给 A 是两件事 公式： n(n−1) 【变式2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者计2分，输者记0分，如果平局，两个选手各计1分．全部选手的总得分可能为（　　） A．1980 B．2000 C．2014 D．2050 【解答】解：设这次比赛共有x个选手参加，则全部选手的得分总数2x（x﹣1）＝x（x﹣1）（分）， 依题意得：x（x﹣1）＝1980， 整理得：x2﹣x﹣1980＝0， 解得：x1＝45，x2＝﹣44（不合题意，舍去）． 有整数解，而选项B、C、D中的数据，都无整数解，故不可能正确． 故选：A． 题型2 平均变化率问题 考向3 平均变化率问题 【例3】某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2028年的利润能否超过1亿元？ 【思路点拨】（1）设该机器人公司这两年的年平均增长率为x，利用该机器人公司2025年的利润＝该机器人公司2023年的利润×（1+该机器人公司这两年的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计测该机器人公司2028年的利润＝该机器人公司2025年的利润×（1+该机器人公司这两年的年平均增长率）3，可预测该机器人公司2028年的利润，再将其与1亿元比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该机器人公司这两年的年平均增长率为x， 根据题意得：4000（1+x）2＝5760， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该机器人公司这两年的年平均增长率为20%； （2）根据题意得：5760×（1+20%）3＝9953.28（万元）， ∵9953.28万元＜1亿元， ∴按照（1）中的年平均增长率，预计该机器人公司2028年的利润不能超过1亿元． 【提分笔记】核心公式： a(1±x)ⁿ= b a：初始基数； x：平均变化率； n：增长次数； b：最终数量 【变式3】某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降20%，六月份购买500kg该种农产品与五月份购买500kg该种农产品相比少花1250元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到12.1元/kg．求该种农产品七、八两个月价格的平均增长率． 【解答】解：（1）设该农产品六月份的价格为x元/kg， ∵六月份与五月份相比，价格下降20%， ∴五月份的价格为， ∴， 解得：x＝10， 答：该农产品六月份的价格为10元/kg． （2）设七、八两个月价格的平均增长率为y， ∵六月份的价格为10元/kg，八月份价格达到12.1元/kg， ∴10（1+y）2＝12.1， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（舍去）， ∴七、八两个月价格的月平均增长率为10%． 题型3 分裂/传播问题 考向4 分裂/传播问题 【例4】某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过2轮传播后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识解答下列问题： （1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮传播后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【思路点拨】（1）设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑，第一轮感染后有（1+x）台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染x台，所以两轮后被感染的电脑数为（1+x）2，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑． 根据题意列一元二次方程得，（1+x）2＝81， 整理得，1+x＝±9， x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． （2）81×（1+8）＝81×9＝729＞700， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 【提分笔记】核心公式：(1 + x)ⁿ = 总人数 公式理解：一开始1个传染源，每一轮每个人传染x个人 第1轮后总人数：1 + x 第2轮后总人数：(1 + x)² 【变式4】化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　6　 名同学． 【解答】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得1+x+（x+1）x＝49， 解得：x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 题型4 数字/日历问题 考向5 数字/日历问题 【例5】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 【思路点拨】设最小数为x，根据题意，得到最大数为（x+7）+1+1+1＝（x+10），列出方程为x（x+10）＝144，解方程即可． 【解答】解：设最小数为x，则最大数为（x+7）+1+1+1＝（x+10）， ∴x（x+10）＝144， 解得x1＝8，x2＝﹣18（舍去）． ∴最小数为8，最大数为18． 答：最小数为8，最大数为18． 【变式5】有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【解答】解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为7﹣x． 根据题意列一元二次方程得，（10x+7﹣x）[10（7﹣x）+x]＝1300． 解得x1＝2，x2＝5． 当x＝2时，7﹣x＝5，原来的两位数为25； 当x＝5时，7﹣x＝2，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 题型5 销售问题 考向6 涨价/降价为1 【例6】人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实，某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元． （1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？ （2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销量占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？ 【思路点拨】（1）设购买传感器模型x个，则购买减速器模型（600﹣x）个，根据该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设减速器模型应降价y元，根据当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，要使平均每天的利润达到4400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设购买传感器模型x个，则购买减速器模型（600﹣x）个， 由题意得：20x+15（600﹣x）≤10000， 解得：x≤200， 答：最多能购买传感器模型200个； （2）设减速器模型应降价y元， 由题意得：（30﹣y﹣15）（200+50y）＝4400， 整理得：y2﹣11y+28＝0， 解得：y1＝7，y2＝4（不符合题意，舍去）， 答：减速器模型应降价7元． 【提分笔记】核心等式：单件利润 ✕ 销售数量 = 总利润 这类题考试频率非常高：涨价/降价，销量随之变化，读题圈画关键条件。 【变式6】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 考向7 涨价/降价不为1 【例7】某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：　（5+x）（1000﹣80x）＝6000　 ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：x（1400﹣80x）＝6000　 ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【思路点拨】（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的销售利润为（5+x）元，每天可售出（1000﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程；解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出（1400﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程； （2）选择解法1，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，即可确定结论；选择解法2，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，可确定x的值，再将其代入（x﹣5）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的毛利润为（5+x）元，每天可售出1000﹣40（1000﹣80x）千克， 根据题意得：（5+x）（1000﹣80x）＝6000； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出1000﹣40（1400﹣80x）千克， 根据题意得：x（1400﹣80x）＝6000． 故答案为：（5+x）（1000﹣80x）＝6000，x（1400﹣80x）＝6000； （2）选择解法1：（5+x）（1000﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣15x+25＝0， 解得：x1＝2.5，x2＝5， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元； 选择解法2：x（1400﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝7.5，x2＝10， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝7.5， ∴x﹣5＝7.5﹣5＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元． 【变式7】某宾馆有若干间标准房，平时以市场管理部门批准的标价200元/间定价时（定价不得超过380元/间），平均每日可入住50间，在去年国庆期间，为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查发现，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为11520元？ 【解答】解：设每间房定价提高20x元，则平均每日可入住（50﹣x）间， 根据题意得：（200+20x）（50﹣x）＝11520， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38， 当x＝2时，200+20x＝200+20×2＝240＜380，符合题意； 当x＝38时，200+20x＝200+20×38＝960＞380，不符合题意，舍去． 答：国庆期间宾馆标准房的价格定为240元时，每日的营业额可为11520元． 题型6 几何面积问题 考向8 边框、甬道问题 【例8】小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【思路点拨】设画框左右宽度为x寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【解答】解：画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍， 设摆台画框的左、右边宽度为x寸，则上、下边宽度为2x寸， 根据题意列一元二次方程可得：（10+4x）（9+2x）﹣10×9＝10×9， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 【提分笔记】核心思路：长方形面积=长×宽 篱笆、围栏靠墙题型、边框甬道题型是两大主流考题。 容易踩坑的点：墙有长度限制！算出边长之后，必须检验平行于墙的边长不能超过墙长。 【变式8】如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 【解答】解：设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长为（15﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，根据题意可得： （15﹣x）（6﹣x）＝70， 90﹣15x﹣6x+x2＝70， x2﹣21x+20＝0， 解得：x1＝1，x2＝20（舍）， 答：道路的宽应为1m． 考向9 篱笆、围栏问题 【例9】如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃的一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）设AB＝xm，则BC＝（29+1﹣2x）m，根据花圃的面积为100m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长19m，即可确定结论； （2）假设花圃的面积能达到120m2，设AB＝ym，则BC＝（29+1﹣2y）m，根据花圃的面积为120m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（29+1﹣2x）m， 根据题意得：x（29+1﹣2x）＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 当x＝5时，29+1﹣2x＝29+1﹣2×5＝20＞19，不符合题意，舍去； 当x＝10时，29+1﹣2x＝29+1﹣2×10＝10＜19，符合题意． 答：花圃的一边AB的长为10m； （2）花圃的面积不能达到120m2，理由如下： 假设花圃的面积能达到120m2，设AB＝ym，则BC＝（29+1﹣2y）m， 根据题意得：y（29+1﹣2y）＝120， 整理得：y2﹣15y+60＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2． 【变式9】如图是一排形状相同、大小相等的3个长方形猪圈，总面积为20平方米，一面靠墙（墙长a米），其它各边用总长为24米的木栅栏围成． （1）若a＝24，则AB和BC各为多少米？ （2）若a＝8，则AB和BC各为多少米？ 【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24﹣4x）米， 依题意得：x（24﹣4x）＝20， 整理得：x2﹣6x+5＝0， 解得：x1＝5，x2＝1， 当x＝5时，24﹣4x＝24﹣4×5＝4＜24，符合题意； 当x＝1时，24﹣4x＝24﹣4×1＝20＜4，符合题意； 答：AB的长为5米，BC的长为4米或AB的长为1米，BC的长为20米； （2）设AB的长为y米，则BC的长为（24﹣4y）米， 依题意得：y（24﹣4y）＝20， 整理得：y2﹣6y+5＝0， 解得：y1＝5，y2＝1， 当y＝5时，24﹣4y＝24﹣4×5＝4＜8，符合题意； 当y＝1时，24﹣4y＝24﹣4×1＝20＞8，不符合题意，舍去； 答：AB的长为5米，BC的长为4米． 考向10 动点问题 【例10】如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 【思路点拨】（1）根据题意得到BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据勾股定理列方程（5﹣t）2+（2t）2＝52，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【解答】解：（1）由题意得BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 在Rt△BPQ中，根据勾股定理得一元二次方程，（5﹣t）2+（2t）2＝52， 整理得，5t2﹣10t＝0， 解得t1＝0（舍去），t2＝2． 答：当t为2时，PQ的长度等于5cm； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm， ∵△PQC的面积等于8cm2， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得t1＝1，t2＝7（不合题意，舍去）． 答：当t为1时，△PQC的面积等于8cm2． 【变式10】如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 【解答】解：（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4．答：t的值为1或4； （2）连接DP，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 根据题意得：DP2＝PQ2+DQ2， 即122+t2＝[（5﹣t）2+（2t）2]+[52+（12﹣2t）2]， 整理得：4t2﹣29t+25＝0， 解得：t1（不符合题意，舍去），t2＝1． 答：当PQ⊥DQ时，t的值为1． 培优小检测 （时间：40分钟 满分：100分） 1．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【解答】解：设共有x个队参赛， 由题意列一元二次方程可得，， 整理得，x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 答：共有6个队参赛． 2．（10分）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 根据题意，可得1+x+x2＝73， 整理得x2+x﹣72＝0， 解得x1＝8，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 3．（10分）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【解答】解：设年龄十位数字为x，则个位数字为x+3， 10x+（x+3）＝（x+3）2， x2﹣5x+6＝0， ∴x1＝2，x2＝3， ∵而立之年督东吴，则x＝2舍去， ∴年龄为36岁， 4．（10分）某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是486万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司9月份的生产成本是否会超过440万元？请说明理由． 【解答】解：（1）设每个月生产成本下降的百分率为x， 由题意可得：600×（1﹣x）2＝486， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴每个月生产成本下降的百分率为10%； （2）该公司9月份的生产成本不会超过440万元，理由如下： 由题意可得，该公司9月份的生产成本为486×（1﹣10%）＝437.4（万元）， ∵437.4＜440， ∴该公司9月份的生产成本不会超过440万元． 5．（10分）九年级举办了乒乓球比赛；比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说得不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：；请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【解答】解：（1）依题意，， ∴x（x﹣1）＝80， 整理得x2﹣x﹣80＝0 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得x1＝10，x2＝﹣7（舍去）， ∴x的值为10． 6．（10分）合肥市某中学八年级的教师们为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽AB． 【解答】解：（1）设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 根据题意得：1+x+x2＝21， 整理得：x2+x﹣20＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）∵栅栏的总长为22米，且种植田的宽AB为m米， ∴种植田的长AD为（22+1×2﹣3m）米． 根据题意得：（22+1×2﹣3m）•m＝36， 整理得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， 当m＝2时，22+1×2﹣3m＝22+1×2﹣3×2＝18＞10，不符合题意； 当m＝6时，22+1×2﹣3m＝22+1×2﹣3×6＝6＜10，符合题意． 答：该种植田的宽AB为6米． 7．（10分）如图，矩形ABCD中，点P，Q分别从点A，C出发，沿AB，CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点到达B，D两点时停止运动，已知AD＝12，AB＝18．设运动时间为t秒． （1）当四边形DAPQ为矩形时，t＝　9　 秒；当四边形DPBQ为菱形时，t＝　5　 秒； （2）当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值． 【解答】解：（1）当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，DQ＝BP＝（18﹣t） cm， 当四边形DAPQ为矩形时，AP＝DQ， 即t＝18﹣t， 解得：t＝9； 当四边形DPBQ为菱形时，DP＝BP， 即122+t2＝（18﹣t）2， 整理得：t﹣5＝0， 解得：t＝5. 故答案为：9，5； （2）过点P作PE⊥CD于点E，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，EQ＝|CD﹣AP﹣CQ|＝|18﹣2t|cm， 根据题意得：PQ2AB•AD， 即[122+（18﹣2t）2]18×12， 整理得：t2﹣18t+63＝0， 解得：t1＝9﹣3，t2＝9+3． 答：t的值为9﹣3或9+3． 8．（10分）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为1320m2，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多1m．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车宽位的宽为xm． （1）请用含x的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 【解答】解：（1）由题意可知，横向通车道的长为：2×2x+2（2x+1）＝（8x+2）（m）； （2）设该停车场的每个停车位的宽为xm，则每个停车位的长为（2x+1）m，通车道宽为2xm，停车场的长为2（2x+1）+（8x+2）＝（12x+4）（m），宽为11xm， 根据题意得：11x（12x+4）＝1320， 整理得：3x2+x﹣30＝0， 解得：x1＝3，x2（不符合题意，舍去）． 答：该停车场的每个停车位的宽为3m． 9．（10分）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意得：3（1+x）2＝4.32， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率是20%； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（75﹣y﹣65）元，每天的销售量为（20+5y）件， 根据题意得：（75﹣y﹣65）（20+5y）＝240， 整理得：y2﹣6y+8＝0， 解得：y1＝4，y2＝2（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低4元． 10．（10分）根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH． （1）求解方程x（x+5）＝6的正根，可令m＝x+5，n＝x，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？ ②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x（x+5）＝6的正根． （2）小明用此方法求关于x的方程x（3x+t）＝14（t为常数，且t＞0）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 【解答】解：（1）①由题意，∵m＝x+5，n＝x，长方形面积mn＝6， ∴小正方形的边长为m﹣n＝（x+5）﹣x＝5， ∴小正方形的面积为：（m﹣n）2＝52＝25． 又∵大正方形的边长为m+n， ∴其面积为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝25+4×6＝25+24＝49． 答：小正方形面积为25，大正方形面积为49； ②由（1）得EF＝m+n＝7＝2x+5， ∴x＝1，即方程x（x+5）＝6 的正根为x＝1； （2）由题意得， ∴t＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $