25.3 实际问题与一元二次方程（6知识点+8大题型+针对训练）【暑假自学讲义】2026-2027学年九年级数学上册讲义

25.3实际问题与一元二次方程 学习目标导航 1.经历利用一元二次方程解决实际问题的全过程，掌握从具体情境中分析数量关系并建立数学模型的方法。 2.能够运用一元二次方程解决几何图形面积、增长率、利润等实际生活中的综合应用问题。 洞悉◆教材知识 知识点1 列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3）列方程； （4）解方程； （5）检验根的合理性； （6）作答． 知识点2 增长率与降低率问题 1. 设初始量为 ，平均增长（或降低）率为 ，经过 次变化后的最终量为 ，则等量关系为 。其中增长用“ ”，降低用“ ”。 2. 降低率 的取值范围必须在 之间；解方程时通常采用直接开平方法，注意正负两个根的取舍。 知识点3 几何图形面积问题 1.修路问题： 矩形场地内修等宽道路，常采用“平移法”将道路移至边缘，剩余绿地面积直接表示为 (长-x)(宽-x)。 2.镶边问题： 在矩形四周加等宽边框，新矩形的长和宽均需加上 。 3.求出未知数 后，必须检验其是否小于原矩形的边长，避免出现边长为负数的荒谬结果。 知识点4 销售与利润问题 核心公式： 总利润 = 单件利润 销售量。 解题策略： 通常设降价或涨价的金额为 。若每降价 元，多售 件，则降价 元后，单件利润变为“原利润 ”，销售量变为“原销量 ”。将这两个代数式相乘等于目标总利润即可列出方程。 易错点提示： 需关注题目中是否有“为了减少库存”、“尽快售出”等隐含条件，若有，在方程出现两个正根时，应选择降价幅度更大（销量更多）的那个解。 知识点5 比赛与互赠问题 单循环赛/握手问题： 每两队之间只比赛一场，或两人之间只握手一次，总次数公式为 （ 为队伍数或人数）。 互赠贺卡/礼物问题： 甲给乙送，乙也给甲送，属于双向行为，总份数公式为 。 易错点提示： 人数或队伍数 必须为正整数，解出的负根直接舍去。 知识点6 数字与行程问题 数字问题： 熟练掌握多位数的代数表示法。例如，设两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则该数应表示为 ，切忌直接写成 。 行程问题： 依然围绕“路程=速度 时间”展开。在一元二次方程的应用中，常结合勾股定理（如直角三角形路线）或面积公式来构建等量关系。 核心题型◆归纳 【题型1】传播问题 【题型2】握手、循环比赛问题 【题型3】增长率问题 【题型4】面积问题 【题型5】销售问题 【题型6】数字问题 【题型7】几何动点问题 【题型8行程问题】 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1】传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 【题型2】握手、循环比赛问题 3．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应邀请个队参赛， 根据题意得，， 即， 故选：． 4．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 【题型3】增长率问题 5．11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据：，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：D． 6．目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解年平均增长率的含义，并根据其列出相应的方程． 根据初始销量，年平均增长率与增长后的销量之间的关系，结合题目中给定的2024年销量和计划达成的销量列出方程． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 【题型4】面积问题 7．如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查理解题意的能力，解题的关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 设路宽为，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积是，可列方程求解． 【详解】解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得， ， 故选：B． 8．如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)8米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． （1）因为设的长为米，则米，即可解答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，（不合题意舍去）， 当时，， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 【题型5】销售问题 9．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 10．商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种台灯的销售单价上涨x元，则每件的利润为元，销售量为件，再根据总利润为单价利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设这种台灯的销售单价上涨x元， 由题意得，， 整理得， 解得或（由于销售单价不得低于40元且不得超过60元，故舍去）， ， 答：销售单价应定为50元． 【题型6】数字问题 11．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：根据题意得：，     解得：，（舍去）， 故的值为， 故选：B． 12．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 【题型7】几何动点问题 13．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 14．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 【题型8行程问题】 15．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 16．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 一、单选题 1．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 【答案】D 【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 解得：或， ∴这个两位数为35或53，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程． 2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（    ） A．（1＋x）2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝91 【答案】B 【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共91，列出方程即可． 【详解】设主干长出x个支干，根据题意，得 1＋x＋x2＝91 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 3．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由题意可知这是一道典型的双循环的题目，从而可以列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 4．红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 二月份和三月份的总产量为750台，利用平均增长率x表示各月产量，列出方程即可． 【详解】解：∵一月份产量为200台，月平均增长率为x， ∴二月份产量为，三月份产量为， 又∵二、三月份共生产750台， ∴． 故选：A． 5．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方程即可． 【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的倍， ∴第二次钉入木板的长度为，第三次钉入木板的长度为， 又∵钉子受击次后恰好全部进入木板，总钉长为，即三次钉入长度和为， ∴列方程得． 6．设，为实数，且满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，，得，由①②得，再运用立方和公式进行因式分解，对每个分解的式子进行判断，即可推出，即可求解． 【详解】设，，得， 由①②得：， ， ， ∵， ∴， ∴，即． 二、填空题 7．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为___________． 【答案】或 【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：当时，方程为： 即， 解得：（舍去），； ∴此时， 当时，方程为：， 解得：（舍去），， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解． 8．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：），若，则x的值为_______． 【答案】4或/或4 【分析】按照定义的新运算可得：，从而整理可得：，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， ∴x的值为4或， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程﹣因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键． 9．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是________． 【答案】7 【分析】由的差倒数正好是得到，求得，整体代入，计算整理后即可得到答案． 【详解】解：∵的差倒数正好是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7 【点睛】此题考查了分式方程、分式的加法、完全平方公式等知识，整体代入是解题的关键． 10．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 三、解答题 11．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求x的值； (3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（/棵） 0.4 1 0.4 【答案】(1)； (2)x的值为10； (3)这批植物不可以全部栽种到这块空地上． 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意； （3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：，可得，推出b的最大值为214，此时，再求出实际植物面积即可判断. 【详解】（1）解：； （2）解：由题意：， 解得或8， ∵时，，不符合题意， ∴x的值为10； （3）解：∵， ∴时，y有最大值162， 设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：， ∴， ∴b的最大值为214，此时， 需要种植的面积， ∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 学习目标导航 1.经历利用一元二次方程解决实际问题的全过程，掌握从具体情境中分析数量关系并建立数学模型的方法。 2.能够运用一元二次方程解决几何图形面积、增长率、利润等实际生活中的综合应用问题。 洞悉◆教材知识 知识点1 列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3）列方程； （4）解方程； （5）检验根的合理性； （6）作答． 知识点2 增长率与降低率问题 1. 设初始量为 ，平均增长（或降低）率为 ，经过 次变化后的最终量为 ，则等量关系为 。其中增长用“ ”，降低用“ ”。 2. 降低率 的取值范围必须在 之间；解方程时通常采用直接开平方法，注意正负两个根的取舍。 知识点3 几何图形面积问题 1.修路问题： 矩形场地内修等宽道路，常采用“平移法”将道路移至边缘，剩余绿地面积直接表示为 (长-x)(宽-x)。 2.镶边问题： 在矩形四周加等宽边框，新矩形的长和宽均需加上 。 3.求出未知数 后，必须检验其是否小于原矩形的边长，避免出现边长为负数的荒谬结果。 知识点4 销售与利润问题 核心公式： 总利润 = 单件利润 销售量。 解题策略： 通常设降价或涨价的金额为 。若每降价 元，多售 件，则降价 元后，单件利润变为“原利润 ”，销售量变为“原销量 ”。将这两个代数式相乘等于目标总利润即可列出方程。 易错点提示： 需关注题目中是否有“为了减少库存”、“尽快售出”等隐含条件，若有，在方程出现两个正根时，应选择降价幅度更大（销量更多）的那个解。 知识点5 比赛与互赠问题 单循环赛/握手问题： 每两队之间只比赛一场，或两人之间只握手一次，总次数公式为 （ 为队伍数或人数）。 互赠贺卡/礼物问题： 甲给乙送，乙也给甲送，属于双向行为，总份数公式为 。 易错点提示： 人数或队伍数 必须为正整数，解出的负根直接舍去。 知识点6 数字与行程问题 数字问题： 熟练掌握多位数的代数表示法。例如，设两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则该数应表示为 ，切忌直接写成 。 行程问题： 依然围绕“路程=速度 时间”展开。在一元二次方程的应用中，常结合勾股定理（如直角三角形路线）或面积公式来构建等量关系。 核心题型◆归纳 【题型1】一元二次方程的定义 【题型2】一元二次方程的一般形式 【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值 【题型4】一元二次方程的解 【题型5】一元二次方程的解的估算 【题型6】由一元二次方程的解求字母的值 【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值 【题型8】由实际问题列一元二次方程 针对训练 题型解析◆精准备考 【题型1】传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【题型2】握手、循环比赛问题 3．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【题型3】增长率问题 5．11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（   ） A． B． C． D． 6．目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 【题型4】面积问题 7．如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【题型5】销售问题 9．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？ 【题型6】数字问题 11．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【题型7】几何动点问题 13．如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 14．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【题型8行程问题】 15．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 16．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 针对训练 一、单选题 1．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（    ） A．（1＋x）2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝91 3．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 4．红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 5．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 6．设，为实数，且满足，则（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为___________． 8．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：），若，则x的值为_______． 9．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是________． 10．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 三、解答题 11．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求x的值； (3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（/棵） 0.4 1 0.4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $