河南省禹州市2026-2027学年高三上学期开学联考数学试卷

HN202609 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据68，56，50，42，39，62，35，30的极差为（ ） A．32 B．36 C．38 D．40 2．在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．若直线与曲线相切，则实数（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 8．在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则（ ） A． B．的虚部为 C．是纯虚数 D． 10．已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（ ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 11．在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆：（）的右焦点，则的离心率为________． 13．已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有2条对称轴，则的取值范围为________． 14．甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数（）． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 19．（17分） 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． HN202609 高三数学・答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析 （1）列联表为 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 估计老年人患白内障的概率为， 非老年人患白内障的概率为. （2）零假设为：患白内障与年龄无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关. 16.解析 （1）∵， ∴. ∵，∴为锐角， ∴. ∴在中，由余弦定理得， ∴. （2）由题可得， ∴在中，由正弦定理得， ∴. ∴， ∴. 17.解析 （1）如图，取的中点为，连接，. ∵为的中点， ∴，. ∵，∴. ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵平面，平面， ∴平面. （2）连接. ∵，， ∴，均为等边三角形， 取线段的中点，连接，， 则，，且. ∵平面平面，平面平面， 且平面，平面， ∴，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则 取，则，，∴平面的一个法向量为 设平面的法向量为，则 取，则，，∴平面的一个法向量为 ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 18.解析 （1）由，得， 化简得，即，整理得， 所以. 因为，即，由余弦函数的图象可得. 即原不等式的解集为. （2）由题知，， 设， 则， ∴当时，，当或时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∵，， ∴当时，，即， ∴在上单调递减. （3）由题意知，， 则. 当时，，，此时. 设， ∴， ∴在上单调递增， 又在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， ∴当时，，当时，. 综上，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ∴在上有且只有一个极小值点. 19.解析 （1）设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又， ∴，， ∴的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 由得， ∴，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）∵，∴， ∴， ∴， 将其代入，解得，，且， ∴， 解得，故（负值舍去）， ∴直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，， ∴， ∴ ， 设，则， ∴， 设， 则， ∴在上单调递减，故，∴， ∴， ∴面积的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $