精品解析：安徽临泉田家炳实验中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学开学考 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据一共6个数，中位数是，极差为， 所以=，解得. 又因为，所以该组数据的第60百分位数是第4项. 3. 已知，把通过四舍五入精确到小数点后()位的近似值，分别记为，，，.若从，，，中任取1个数，则满足的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，，， 从，，，中任取1个数，结果有4种， 其中满足的有，共2种，故所求概率. 4. 在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图， 因为，所以为异面直线与所成的角. 因为平面，平面，所以. 又，所以. 5. 在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受的重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，当时，则（ ） A. B. 越小越费力，越大越省力 C. 当时， D. 的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量分解即直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断AB，将角的值代入计算判断C，举反例判断D. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且， 则有，即，A正确， 对于B，由A可知，为定值，越小，越大， 越小，故越小越省力，越大越费力，B错误， 对于C，当时，有，则，C正确， 对于D，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，D错误， 6. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理得， 则，即， 所以，故. 由正弦定理得. 7. 设，在复平面内对应的点为Z，则满足的点Z的集合形成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】表示复平面内点Z到点的距离，又， 所以点Z的集合形成的图形为以为圆心，3和5为半径所对应的圆环， 故其面积为. 8. 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 在中由余弦定理求得，即知为等边三角形，又由已知，若的外接圆的圆心为有为菱形，则平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】在中，，即，又， ∴为等边三角形 根据题意，有如下示意图： 如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH. 由题意可得，且，. ∴由上知：且，又， ∴，由，平面ABC. 设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有， ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的性质确定三棱锥一面的外接圆圆心，由三棱锥外接球球心与面的外接圆圆心的关系以及已知线段的长度求球体半径，即可求球体的体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年递减 B. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元 C. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为6.3% D. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过10% 【答案】BCD 【解析】 【详解】2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年增长，A项错误； ，2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为从小到大排列的第2个数，即亿元，B项正确； 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为，C项正确； 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数为： ，D项正确. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则的面积S的最大值为 D. 若为锐角三角形，且，则边上的高的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角函数性质结合内角和定理化简判断；对B，由大边对大角可得，结合正弦定理进而判断；对C，由余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式求解；对D，由正弦定理可得，，利用三角形面积公式可得边上的高的表达式，利用三角恒等变换化简求解. 【详解】对于A，在中，由，因为三角形内角， 故或，则或， 因此为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，由，，得， 由正弦定理可得，所以只有一解，因此有唯一解，故B错误； 对于C，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号， 则，故C正确； 对于D，因为是锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理可得，则，， 设边上的高为h，由，得， 所以 ， 由，得，可得， 所以，即边上的高的取值范围为，故D正确. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明. 【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，， 又底面是菱形，，是等边三角形， 又为的中点， 又，，在平面内，且相交于点， 平面，故选项A正确； B选项：由选项A知，平面，又平面，， 即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确； C选项：∵平面， ， 平面，，， 又平面平面，是二面角的平面角， 设，则，， 在直角中，，即， 故二面角的大小为，故选项C正确； D选项：因为平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量满足，，则____. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以. 13. 欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】 【解析】 【分析】根据随机数表法的读取规则，读取第4个被抽取的样本的编号. 【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，19（重复划掉），50，……，第4个被抽取的样本的编号为50. 故答案为：50. 14. 某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的单次闯关的成功率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一名选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为____. 【答案】##0.1575 【解析】 【分析】通过每一关都要分为一次闯关成功和两次闯关成功，从而分别求得概率，再由独立事件乘法公式计算可得. 【详解】因为每一关都有两次闯关机会， 所以通过第一关的总概率，通过第二关的总概率， 所以选手能进入第三关的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由z为实数，可得，解得或； 【小问2详解】 由z为纯虚数，可得，解得； 【小问3详解】 因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16. 如图，在正四棱锥中，分别为的中点，分别为棱上的一点，且，. （1）证明：四点共面. （2）证明：三条直线交于一点. 【答案】（1）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以且， 又因为分别为棱上的一点，且，，所以且， 所以且，所以四点共面. （2）由（1）知且，所以直线相交，记交点为，所以， 又因为平面，所以平面，同理可得平面， 又因为平面平面，所以，即三条直线交于一点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，连接，由相似得到即可证明； （2）根据题意，设直线相交于点，再由平面且平面得到即可证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 17. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； （3）已知落在内的样本平均分是，方差是，落在内的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，和，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据频率算出及格率. （2）根据频率和为及平均数公式求出，，用分层抽样确定各区间抽取个数，通过列举样本空间求概率. （3）根据分层抽样的平均值和方差公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，，所以及格率为. 【小问2详解】 由题意可知， 平均分， 解得，，由分层随机抽样可知，在内抽取的分数个数为， 分数记为，，在内抽取的分数个数为，分数记为，，， 从这个分数中随机抽取个分数，样本空间， 共有10个结果，设选取的个分数都在内为事件， 则，共有3个结果，所以. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，这份答卷分数在内的份数为， 分数在内的份数为，所以， 总方差. 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，. （1）若，证明：. （2）在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. （3）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）如图，过点作，交于点，则与相交，设， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，得到线面垂直，再根据已知条件证明线面垂直即可证明； （2）通过寻找二面角的平面角，利用几何法计算即可； （3）利用线面平行的判定定理，通过构造平面内的平行线来寻找点，连接，，连接，得到即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由于是边长为的等边三角形，， 则是的中点，过点作，交于点， 由（1）可知， 平面，平面，所以， 为的中点，为的中点，所以， ， 所以，，平面， 平面， 又平面，，所以为二面角的平面角， ，所以，， ，即， 又，， 即二面角的正切值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面， 连接，设，连接，所以，，所以， 又，所以，即， 又平面，平面，所以平面. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴的正半轴上，，，E，F分别为的中点，求的最大值. 【答案】（1）2. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义求出，再由仿射坐标系的定义运算，结合数量积的运算律即可求得； （2）根据仿射坐标系的定义运算结合条件求出，利用向量的夹角公式列方程求出，即可求出答案； （3）设，由题意将分别用线性表示，利用向量数量积的运算律化简成，利用正余弦定理和三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合三角函数的性质即可求得其最大值. 【小问1详解】 由题意可知的夹角为，由平面向量数量积的定义可得. 因为，所以， ，故. 【小问2详解】 由，得，且， 所以， ，， ， 因为的夹角为，则，解得， 又，则，故. 【小问3详解】 依题意，设，且，， 因为F为BC的中点，所以， 因为E为BD的中点，同理可得， 所以， 由题意知，则， 在△OBC中，依据余弦定理得，即， 代入上式得. 在△OBC中，由正弦定理，设， 则，且，所以， 则 ，其中为锐角，且. 因为，所以， 故当时，取最大值， 故此时取得最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学开学考 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 3. 已知，把通过四舍五入精确到小数点后()位的近似值，分别记为，，，.若从，，，中任取1个数，则满足的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受的重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，当时，则（ ） A. B. 越小越费力，越大越省力 C. 当时， D. 的范围为 6. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，在复平面内对应的点为Z，则满足的点Z的集合形成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年递减 B. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元 C. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为6.3% D. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过10% 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则的面积S的最大值为 D. 若为锐角三角形，且，则边上的高的取值范围为 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量满足，，则____. 13. 欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 14. 某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的单次闯关的成功率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一名选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为实数，求的值； （2）若z为纯虚数，求的值； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 如图，在正四棱锥中，分别为的中点，分别为棱上的一点，且，. （1）证明：四点共面. （2）证明：三条直线交于一点. 17. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； （3）已知落在内的样本平均分是，方差是，落在内的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，和，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，. （1）若，证明：. （2）在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. （3）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴的正半轴上，，，E，F分别为的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $