精品解析：安徽省桐城中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

保密★考试结束前 桐城中学2026—2027学年度上学期第一次学情调研 高二数学试卷 考生须知： 1.本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂. 卷I 选择题（58分） 一、单选题（每小题5分） 1. 若|z|+z=3+i，则z=（ ） A. 1－i B. 1+i C. +i D. －+i 【答案】C 【解析】 【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+ x+yi=3+i，从而求出答案. 【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)， 依题意有+x+yi=3+i， 因此解得故z=+i. 故选：C. 2. 已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为， 因为，，，，相交，所以， 同理可得， 所以，故①正确； ②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，， 故②错； ③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错. 故选：B. 3. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（ ） A. 小明得了95分 B. 小明答对了95%的试题 C. 95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D. 小明排名在第95名 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义进行判断即可 【详解】解：第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值， 故选：C． 4. 已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 5. 已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解. 【详解】在中，设，则， 因为，即，所以为等边三角形， 以为邻边作平行四边形，设交于点， 可得， 则， 因为，取的起点为， 可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为； 当点为线段与圆的交点时，的最小值为； 所以. 故选：A. 6. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题： ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值. 以上命题中真命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质和四边形的判定定理可判断①；由正方形的性质可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由两平面相交的性质可判断④；由等积法和棱锥的体积公式可判断⑤. 【详解】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得， 同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确； 如果四边形是正方形，则， 因为，所以平面， 又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误； 当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面， 此时四边形垂直于平面，故③正确； 由与DC的延长线交于M，可得，且， 又因为平面，平面ABCD， 所以平面，平面ABCD， 又因为平面，平面ABCD， 所以平面平面， 同理平面平面， 所以BM，BN都是平面与平面ABCD的交线， 所以B，M，N三点共线，故④正确； 由于，平面， 则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值， 所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确. 故选:C. 【点睛】此题涉及的设问情况较多，有一定成立，有可能成立.对于一定成立的命题，需要利用定理加以证明，对于可能成立的问题举出例子即可说明其成立，利用反证法才能证明其不成立.故此类题在判断时，要学会选用适当的方法. 7. 已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解. 【详解】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得， 如图，设，则，且，于是， 所以， 当且仅当即时取等号 故四边形的面积最大值为， 故选：C. 8. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题给的限制条件与球的对称性，分析出该几何体也是同样处于对称的状态时，其外接球最小． 【详解】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为，因此，该球形容器的表面积的最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查球的表面积，结合传统文化，考查实际问题的理解能力，属于创新题． 二、多选题 9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数. 【详解】由正弦定理，，得， 若，，无解，A选项错误； 若，，得，恰有一个解，B选项正确； 若，，，有两解，有两个解，C选项错误； 若，，，恰有一个解，D选项正确. 故选：BD 10. 有10个连续排列的方格，每个方格可能被放置一枚棋子，且每个格子被放置棋子的概率均相等，已知前4格同时被放入棋子的概率为，甲和乙用该方格组进行游戏，游戏分两轮： 第一轮：棋子被放置后，选取第1个格子，若有棋子，则甲胜，否则乙胜； 第二轮：棋子被放置后，若这10个格子中，存在连续3格或以上被放入棋子，则甲胜，否则乙胜． 则（ ） A. 第一轮游戏是公平的 B. 第一轮游戏是不公平的 C. 第二轮游戏不公平，且甲胜率比乙低 D. 第二轮游戏不公平，且乙胜率比甲低 【答案】AD 【解析】 【分析】需要分别计算第一轮和第二轮游戏中甲、乙获胜的概率，再根据概率大小判断游戏是否公平. 【详解】根据条件，设每个格子被放入棋子的概率为p，则，A正确B错误； 研究前n个格子，设存在连续3格或以上有棋子的概率为p(n)，分两种情况： ①前n-1格已经存在连续3格或以上有棋子，概率为p(n-1)； ②前n-1格不存在连续3格或以上有棋子，则第n、n-2、n-1格有棋子， 第n-3格没有棋子，概率为 则 所以，所以C错误D正确． 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 当时，为四边形 C. 当时，为等腰梯形 D. 当时，与的交点满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各选项的条件作出对应的截面图形，再经判断即可得解. 【详解】对于A：时，点与重合，取中点，连，，如图所示， 正方体中，为中点，则，且，四边形为平行四边形， 有，且，取中点，连，， 由，，得四边形为平行四边形， 有，且，从而四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，对角线，， 的面积为，A正确； 对于B：过点，，的平面与平面交于直线，交于，如图所示， 平面平面，则，由等角定理知，，， 因，则，点必在线段上(不含点)，截面S为四边形，B正确； 对于C：连，，，，如图所示， 因，且，得四边形为平行四边形， ， ，则，，四边形是梯形， 而，截面为等腰梯形，C正确； 对于D：同A选项有为平行四边形，延长线交延长线于点，如图所示， 过作交于，交于，连，则，四边形为截面S， ，，而，，则，D错误. 卷Ⅱ非选择题（92分） 三、填空题（每小题5分） 12. 已知点是的内心，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用表示出，判断出的位置关系，利用三角形内心的特点结合角平分线定理即可计算出的值. 【详解】因为，即， 取中点，连接，则，故，故点共线， 又，故，且，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何图形中的应用，难度较难.此题可以推广为一般性结论：已知点是的内心，若，则. 13. 在中，，其外接圆半径，且，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解 【详解】因为， 所以 因为， 所以, 进而有， 于是 因为， 所以. 故答案为：1 14. 已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，，且，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过几何关系可得到，，，过作满足，过做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出即可求解 【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，， 由，所以， 因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，， 所以，，得，， 因为所以， 又，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以， 过作满足，则即为矩形与平面的交线， 过做垂直于点，连接，则即为所求， 在中，， 由可得， 所以，解得， 所以矩形与平面所成角的正切值为. . 故答案为：. 四、解答题 15. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的的值； （2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 【答案】（1） （2），根据（1），位居民月均用水量不低于吨的频率为. 由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为. （3） 【解析】 【分析】（1）由高组距频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为，计算出的值. （2）利用高组距频率，先计算出每人月均用水量不低于吨的频率，再利用频率样本容量频数，计算所求人数. （3）将前组的频率之和与前组的频率之和进行比较，得出，再估计月均用水量的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：月均用水量在的频率为. 同理，在等组的频率分别为. 由，解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设中位数为吨. 因为前组的频率之和为， 而前组的频率之和为， 所以，由，解得. 故可估计居民月均用水量的中位数为吨. 16. 已知． （1）化简：； （2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式可化简； （2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，解之得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，即，又，所以， 因为的面积，所以，解得，又，所以， 由，解得，所以. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题. 17. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2） 假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出. 【详解】（1）由题意知， 即， 由正弦定理得 由余弦定理得， 又. （2）， 则的周长 . ， ， 周长的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题. 19. 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，. （1）当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，， 所以，所以， 取的中点，连接，则且，且， 故四边形为矩形， 则，且，所以， 又由，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，则，所以， 又，、平面，所以平面. （ii） （2） 假设存在点，使得，延长与交于点，连接， 则平面平面， 设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角， 因为且，所以，点为的中点，则， 过点作垂直于，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以， 是二面角的平面角， 所以，， 由，得，所以、重合，由，得， 设，则，， 由勾股定理可得， 即，整理可得， 解得或（舍）， 所以存在点，当，有成立. 【解析】 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）取的中点为，的中点为，连接、、，计算出点到平面的距离以及线段的长，即可得出直线与平面所成角的正弦值； （2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算出三边边长，利用勾股定理求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 （i）略 （ii）取的中点为，的中点为，连接、、， 过在平面内作垂直于，垂足为， 又平面平面，平面平面，， 所以平面，为的中点， 所以，所以平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，平面， 所以，，平面， 得平面，因为，，， 所以， 由等面积法可得， 延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点， 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则，所以， 由，所以，； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点，使得，延长与交于点，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★考试结束前 桐城中学2026—2027学年度上学期第一次学情调研 高二数学试卷 考生须知： 1.本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂. 卷I 选择题（58分） 一、单选题（每小题5分） 1. 若|z|+z=3+i，则z=（ ） A. 1－i B. 1+i C. +i D. －+i 2. 已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（ ） A. 小明得了95分 B. 小明答对了95%的试题 C. 95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D. 小明排名在第95名 4. 已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题： ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值. 以上命题中真命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 10. 有10个连续排列的方格，每个方格可能被放置一枚棋子，且每个格子被放置棋子的概率均相等，已知前4格同时被放入棋子的概率为，甲和乙用该方格组进行游戏，游戏分两轮： 第一轮：棋子被放置后，选取第1个格子，若有棋子，则甲胜，否则乙胜； 第二轮：棋子被放置后，若这10个格子中，存在连续3格或以上被放入棋子，则甲胜，否则乙胜． 则（ ） A. 第一轮游戏是公平的 B. 第一轮游戏是不公平的 C. 第二轮游戏不公平，且甲胜率比乙低 D. 第二轮游戏不公平，且乙胜率比甲低 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 当时，为四边形 C. 当时，为等腰梯形 D. 当时，与的交点满足 卷Ⅱ非选择题（92分） 三、填空题（每小题5分） 12. 已知点是的内心，若，则______. 13. 在中，，其外接圆半径，且，则___________. 14. 已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，，且，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的正切值为______． 四、解答题 15. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的的值； （2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 16. 已知． （1）化简：； （2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值． 17. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 19. 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，. （1）当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $