精品解析：安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：高中数学 必修一、二+选修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，圆：，则直线与圆的位置关系一定是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 5. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互斥，则 D. 若对立，则 8. 已知为上的奇函数，，且在区间上单调递减.若，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方形中，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 2023年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子10米气步枪金牌，并打破世界记录，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 环数 10.5 10.6 10.3 10.5 10.3 10.6 10.7 10.7 10.5 10.6 则下列说法正确的是（ ） A. 成绩的众数是10.5环 B. 成绩的极差是0.4环 C. 成绩的25%分位数是10.5环 D. 平均成绩是10.4环 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 值域是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正六棱柱各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______. 13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 14. 已知，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 16. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）求使不等式成立的的取值范围. 18. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数； （2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率. 19. 如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）求直线DF与平面所成角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：高中数学 必修一、二+选修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 4. 已知直线：，圆：，则直线与圆的位置关系一定是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线恒过定点，判断点在圆的内部，从而可得结果． 【详解】因为直线的方程为， 所以直线恒过定点， 对于点，因为， 所以在圆的内部， 则直线与圆一定相交，故选C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，以及直线过定点问题，属于基础题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点. 5. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，函数的图象与的图象重合，可得，从而得解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得到， 其图象与的图象重合， 则，所以， 又，所以的最小值为3. 故选：B 7. 已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若互斥，则 D. 若对立，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的包含关系与概率之间的关系判断AB，根据互斥事件和对立事件的概率关系判断CD. 【详解】选项A：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项B：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项C：若  和  互斥，则 ，故 ，而非 ，错误. 选项D：若  和  对立，则  为必然事件，故 ，正确. 故选：D. 8. 已知为上的奇函数，，且在区间上单调递减.若，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的奇偶性和单调性，再根据单调性比较大小. 【详解】因为为上的奇函数，所以是偶函数， 又因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增； 又，，所以， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方形中，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 10. 2023年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子10米气步枪金牌，并打破世界记录，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 环数 10.5 10.6 10.3 10.5 10.3 10.6 10.7 10.7 10.5 10.6 则下列说法正确的是（ ） A. 成绩的众数是10.5环 B. 成绩的极差是0.4环 C. 成绩的25%分位数是10.5环 D. 平均成绩是10.4环 【答案】BC 【解析】 【分析】根据众数、极差、百分位数、平均数的定义一一计算即可. 【详解】对A，数据中有3个和3个，所以众数是，，A选项错误； 对B，极差是最大值与最小值的差，，所以B选项正确； 对C，将数据从小到大排列，，所以其分位数是第3个数，为，所以C选项正确； 对D，数据的平均成绩为：，D选项错误， 故选：BC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错误； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出底面正六边形外接圆的半径，进而求出外接球的半径，即可得解. 【详解】因为，所以正六边形的的外接圆半径， 所以球O的半径， 所以球O的表面积为. 故答案为： 13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线平行求得，即可求两平行线之间的距离. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 故答案为：3. 14. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得，利用，结合二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由，可得，则， 则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【小问1详解】 ∵平面平面 ∴， 又  两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. 【小问2详解】 由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角正切值为. 16. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，又，从而， 由得， 从而， 所以的面积. 【小问2详解】 由， 又，当且仅当时取等号， 从而，所以， 又因为中，，从而， 所以的范围是. 17. 已知函数是定义在上奇函数. （1）求的值； （2）求使不等式成立的的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解. （2）利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，所以，解得， 所以， ， 即，所以函数是定义在上的奇函数. （2）由，即， 因为为单调递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立； 当时，则， 解得，此时 综上所述，使不等式成立的的取值范围为. 18. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数； （2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率. 【答案】（1），分位数为26.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，利用百分位数的求解方法得到分位数； （2）求出两组人数比值为，则在，中分别抽取2人，4人，利用列举法求解古典概型的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得. 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以样本数据的分位数在内，设为x， 则，解得， 故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的分位数为26.5. 小问2详解】 由频率分布直方图可知BMI值在内的频数为， 在内的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层随机抽样的方法抽取6人，则在，中分别抽取2人，4人， 记这组2人的编号分别为，，这组4人的编号分别为，，，， 从这6人中随机抽取2人， 故样本空间， 共15个样本点， 设事件“抽取到的2人的BMI值不在同一组”， 则，共8个样本点， 故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为. 19. 如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）求直线DF与平面所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证平面，从而得证面面垂直； （2）直线DF与平面所成角为，记，设（），由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大值． 【小问1详解】 因为，，，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 连结FK，由（1）可知，直线DF与平面所成角，记． 在图1中，因为，所以， 又因为，所以． 又因为，所以． 设（），由，得，解得． 在图2中，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为，所以的最大值为， 即直线DF与平面所成角的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$