精品解析：湖北省孝感市楚天协作体2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 3. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 4. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值. 【详解】，的定义域为，，所以是奇函数， 令，，在定义域上单调递减， 对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数， 由，得，因为为奇函数，，所以， 又因为为减函数，则，， 、均为正实数， ， 当且仅当，即，时等号成立. 5. 已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（ ） A. 11 B. 18 C. 29 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】先由根和系数的关系得到，，再结合变形得到，代入计算出结果. 【详解】由根与系数的关系得，， 则， 又，， 所以，，， 即. 6. 某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可. 【详解】设甲答对的题数为随机变量， 由题意可知服从的二项分布，即， 所以， 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分， 所以， . 7. 某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（ ）种不同的安排方案． A. 160 B. 320 C. 480 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】按ChatGPT模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】①甲负责ChatGPT模型：从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种； 剩余4人分配到Sora、GPT-4两种模型，共有种，剩余4人全在Sora模型或GPT-4模型，有2种，所以此类方案数：种. ②乙负责ChatGPT模型：有种. ③甲、乙都不负责ChatGPT模型：从剩余4人中选2人负责模型，有种. 甲负责Sora模型，则乙负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种， 乙负责Sora模型，则甲负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种， 所以此类方案数：种. 故共有种不同的安排方案. 8. 设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（ ） A. 在上为单调函数 B. 在有最大值 C. 在恰好有8个零点 D. 若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象，观察在上的图象判断选项A、B，观察在上的零点即可判断选项C；根据条件分析出函数与的图象至少有4个交点，结合图象得出不等式组，解不等式组判断选项D． 【详解】由题意作出函数图象如下： 由在区间上图象可知，在区间上为非单调函数，故A错误； 在区间上，，没有最大值，故B错误； 在区间上有5个零点，在内有1个零点， 故在恰好有6个零点，故C错误； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，故D正确． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若样本点都落在同一条直线上，则相关系数 B. 已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则， D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据判断；对于B，根据残差公式计算即可判断；对于C，根据指对互化转化即可判断；对于D，根据独立性检验思想方法判断即可. 【详解】对于A，当样本点都落在同一条直线上，则相关系数，故错误； 对于B，当时，，故样本数据点的残差为，故正确； 对于C，由题知，即，故，，正确； 对于D，，所以，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%，故正确. 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得. 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，D正确. 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是奇函数得关于(1,0)中心对称；联立两个等式推导周期，再逐一判断奇偶性、函数值与求和. 【详解】因为是奇函数，所以，且奇函数在 0 处有定义，则，图像关于(1,0)中心对称， 因为，则， 代入①式得，即周期为4. 选项A，，代入①式得，即，A正确； 选项B，假设，则时，，因为，所以，矛盾，假设不成立，B错误； 选项 C，，周期为4，则，， ，则一个周期内， 则，C正确； 选项 D，，周期 4，则周期也为 4， ， 则， ，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法，令，根据的定义域为，有，即可求的定义域. 【详解】对于，令，则， 所以，即的定义域为. 故答案为： 13. 已知，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，，即， 因为，且与互斥， 所以， 即，解得. 所以. 14. 已知函数，．若关于的不等式有解，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义域得出，分和两种情况讨论， 时，通过换元法化简原不等式，构造函数并求导，利用函数单调性和特殊值得出等价条件，进而求出函数最大值；时，同理得出等价条件，进而讨论求解，综合两种情况得出的取值范围． 【详解】由可知，故， 若，则，代入不等式整理得： ，即， 构造单调函数，则，故严格递增， 则不等式变形为， 由单调性可知，约去正数得， 由不等式有解得存在使得成立，等价于， 令，求导得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值为，故； 若，则，同理可得，即， 令，求导得，故在上单调递增， 值域为，存在满足，故都满足条件， 综上，． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 16. 暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． （1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； （2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 【答案】（1）与具有较强的线性相关性. （2），5.6（千人） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案； （2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案. 【小问1详解】 由， ， 所以（或）， 所以与具有较强的线性相关性． 【小问2详解】 ，， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【解析】 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 【小问2详解】 ①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛．经过小组赛的激烈对决后，班和班进入决赛．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．假设每局比赛中，班获胜的概率为0.6，班获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立． （1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下班获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对班更有利； ②随着的增大，班获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【答案】（1） 2 3 0.52 0.48 （2）① ，，， 时，5局3胜制对班更有利 ②随着的增大，班获胜的可能性变大，证明如下： 由①可知，， 下面讨论局与前局的递推关系： （ⅰ）若前局中班恰好赢了局，则后两场班都要赢才能获胜， 其概率为，即 （ⅱ）若前局中班恰好赢了局，则后两场班至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即 （ⅲ）若前局中班至少赢了局，则后两场班无论输赢都获胜， 其获胜概率为 ， ， ，，即． ∴随着的增大，班获胜的可能性变大． 【解析】 【分析】（1）当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为2，3，根据题意求出对应概率，列出分布列，求期望即可； （2）①分别列出获胜各种情况的概率求和即可计算，，比较大小即可分析得出结论；②求出的大小，再分析与的关系，即可证明. 【小问1详解】 当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为2，3， ， ， 所以的分布列为： 2 3 0.52 0.48 【小问2详解】 ①因为每局比赛中，班获胜的概率为， 由题可知为3局2胜制时，班获胜的概率，班获胜的情形有两种：或， 所以， 为5局3胜制时，班获胜的概率，班获胜的情形有三种：或或， ， 所以， 所以时，5局3胜制对班更有利， ②略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）讨论关于的方程的零点个数； （3）设函数有两个极值点，（），证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 （2） 当时，无意义，方程零点个数为0， 当或时，方程有两个零点， 当时，方程有一个零点. （3）由已知，， 则， 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得， 即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ∵由对勾函数知在上单调递增， ， ，即，得证． 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性； （2）令，则将方程的零点个数转化为函数的零点个数，求导得到，令，可得或，对分类讨论即可得到函数的单调性，利用零点存在性定理即可得到函数零点的个数. （3）由题得到，则，函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，得到， 且，，所以，要证，只需证，令，，利用导数分析函数的单调性，即可证明，即得证． 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ①当时：对恒成立，时，单调递减； 时，单调递增 ②当时，当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； ③当时：恒成立，在单调递增； ④当时：当时，单调递增； 当时，单调递增；时，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 【小问2详解】 令．由题可知与的定义域均为，故． ． 令，可得或． 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点； 若，则，单调递增，此时，有一个零点； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点． 综上，当或时，有两个零点，当时，有一个零点. 所以当或时，方程有两个零点， 当时，方程有一个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 2. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 3. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 5. 已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（ ） A. 11 B. 18 C. 29 D. 47 6. 某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（ ） A. B. C. D. 7. 某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（ ）种不同的安排方案． A. 160 B. 320 C. 480 D. 540 8. 设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（ ） A. 在上为单调函数 B. 在有最大值 C. 在恰好有8个零点 D. 若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若样本点都落在同一条直线上，则相关系数 B. 已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则， D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 已知，，，则_________． 14. 已知函数，．若关于的不等式有解，则的取值范围为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 16. 暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． （1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； （2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛．经过小组赛的激烈对决后，班和班进入决赛．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．假设每局比赛中，班获胜的概率为0.6，班获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立． （1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下班获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对班更有利； ②随着的增大，班获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）讨论关于的方程的零点个数； （3）设函数有两个极值点，（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $