精品解析：湖北部分学校2026-2027学年高三上学期9月开学学业评估数学试卷

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为（ ）． A. 9 B. 10 C. 11 D. 11.5 【答案】B 【解析】 【详解】因为8×75%＝6，且数据为从小到大排列，其上四分位数为．故选B． 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 4. 已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（ ）． A. 7 B. 20 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层随机抽样，按比例计算从B层抽取的样本量，利用古典概型的组合数公式列出该概率的表达式，进而求解总体个体数. 【详解】设B层中含有的个体数为n，则总体中的个体数为， 则从总体中抽取一个容量为8的样本，应从B层中抽取2个． 由题意知B层中的甲、乙均被抽到的概率为，解得， 所以总体的个体数为28． 5. 的展开式中，的系数为（ ）． A. 8 B. 36 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【详解】方法1：可以看作8个连乘，要得到， 在8个因式中，必有7个因式选，余下的1个因式选， 故其系数为． 方法2：， 因为展开式的通项为， 的展开式的通项为， 所以的通项为，，． 令，得， 所以，，或，． 当，时，得； 当，时，得， 故的系数为． 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，， 设，则，且， 所以， 函数为二次函数，开口向下，对称轴为， 当或时，取得最小值，最小值为． 7. 在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理，得， 所以，，， 所以， ， 由题意知动点P的轨迹所覆盖的图形是以OB，OC为邻边的平行四边形， 其面积． 8. 已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解答本题的关键是构造辅助函数，先根据图象对称平移关系推出是奇函数，再构造，结合已知导数不等式得到的导数符号，判断的单调性；利用为偶函数转化自变量，结合单调性比较函数值大小，最后化简变形得到选项中的不等关系. 【详解】因为的图象关于点对称，所以为奇函数， 令，则为偶函数，且， 由题意知当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，即， 所以，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由，得，又，得. 由，得， 所以，所以． 又，即，所以，故， 所以，所以的最小正周期为，即A正确； ， 所以为偶函数，即B正确； 又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确； 当时，， 故在上单调递减，即D正确． 10. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（ ）． A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 对任意点，直线与直线异面 D. 存在点，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，当为点时，利用线面垂直可证明；选项B，利用线面的位置关系可判断；选项C，当点为点时，与相交；选项D，当为的中点时，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而有. 【详解】对于选项A，在矩形中，，，，所以四边形为正方形.所以. 又因为平面，平面，所以. 当为点时，，从而可证得平面. 又平面，所以，故A正确； 对于选项B，当点位于点时，与相交；当点在线段上除点的其他位置时， 因为平面，平面，，平面， 所以，与为异面直线，故B错误； 对于选项C，当点为点时，与相交，故C错误； 对于选项D，当为的中点时，取的中点，连接， 在中，分别为中点，所以. 又，所以.同理可得. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以，故D正确． 11. 已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（ ）． A. 的焦点坐标为 B. 直线与相切 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量投影向量，直接使用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意知在上的投影向量为. 13. 已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值. 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值，为， 即的最大值为. 14. 在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补体法，得到几何体的外接球，利用外接球的截面性质即可求解. 【详解】如图，将正四面体ABCD放入到一个正方体中， 因为，，且AB，CD到平面的距离分别为2和8，二者之和为10， 所以该正方体的棱长为10，正四面体的外接球也是该正方体的外接球， 所以球心为该正方体的中心，记为O，则O到的距离， 又球的半径， 所以截面圆的半径，所以所求截面面积． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 （1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； （2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． （2） X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【15题详解】 零假设：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 【16题详解】 在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为， 所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为， 由题意知， 所以，， ，， ． 其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以（或）． 16. 在数列中，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的前n项和． 【答案】（1）证明：因为，所以， 又，所以，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 所以 ． 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 18. 已知动点，点，点P到直线的距离为d，满足的点P的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于，两点． （1）求C的方程； （2）记，F关于y轴的对称点为． （ⅰ）若，，求t的最大值及t取最大值时的正切值； （ⅱ）若，且A不是C与x轴的交点，，证明：为等腰三角形． 【答案】（1） （2）（ⅰ）， （ⅱ）证明：易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以， 所以或， 由（i）知， 所以， 又，且，所以，解得. 由（i）可求得 所以线段AB的中点坐标为，记为点D， 则直线的斜率为， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）将转化为坐标表示，化简可得的方程； （2）（i）若的斜率不存在，则的方程为，与的方程联立，即可求得，，从而得；若的斜率存在，设的方程为，与联立，结合弦长公式及两点间的距离公式，分别求得，从而表示出，并求得的最大值及此时直线的方程，并求得的值； （ii）易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以，所以或，结合（i）的运算，根据求得，再由斜率乘积为证明边边上的中线与垂直，即可得为等腰三角形. 【小问1详解】 由题意得， 两边平方，得，即， 故C的方程为. 【小问2详解】 （i）若的斜率不存在，则的方程为，代入，得，，，所以. 若的斜率存在，设的方程为， 代入并整理得 则， 所以 由（1）知C为双曲线，易知，所以， 所以， 同理. 所以 所以. 综上所述，，，此时的方程为. ， （ii）略 19. 已知集合为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数，，使得不等式，则称直线为函数，在上的隔离直线． （1）求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在R上的隔离直线； （2）若直线为函数，在上的隔离直线，求的取值范围； （3）证明：函数，在上过原点的隔离直线仅有一条； （4）函数，在R上是否存在隔离直线？若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）切线为，是在上的隔离直线 （2） （3）证明：设，在上过原点的隔离直线为，则 ， 所以，. 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，所以函数，在上过原点的隔离直线仅有一条. （4）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，结合作差法及隔离直线的定义判断即可. （2）根据隔离直线的定义得到不等式，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）根据隔离直线的定义，结合作差法证明即可. （4）求出，的公切线，根据隔离直线的定义，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系证明该公切线为隔离直线即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 又， ， 所以在上恒成立， 所以切线是，在上的隔离直线. 【小问2详解】 因为是，在上的隔离直线， 所以，使得，， 对，则，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 对，则，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【小问4详解】 因为，，所以，， 所以点为函数的图象与的图象的公共点. 又，所以， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即切线方程为. 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以，即在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 所以在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以， 所以和在上存在隔离直线，其方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为（ ）． A. 9 B. 10 C. 11 D. 11.5 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（ ）． A. 7 B. 20 C. 28 D. 32 5. 的展开式中，的系数为（ ）． A. 8 B. 36 C. 16 D. 32 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 7. 在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 10. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（ ）． A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 对任意点，直线与直线异面 D. 存在点，使得 11. 已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（ ）． A. 的焦点坐标为 B. 直线与相切 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示） 13. 已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 14. 在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 （1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； （2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 在数列中，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的前n项和． 17. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 18. 已知动点，点，点P到直线的距离为d，满足的点P的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于，两点． （1）求C的方程； （2）记，F关于y轴的对称点为． （ⅰ）若，，求t的最大值及t取最大值时的正切值； （ⅱ）若，且A不是C与x轴的交点，，证明：为等腰三角形． 19. 已知集合为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数，，使得不等式，则称直线为函数，在上的隔离直线． （1）求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在R上的隔离直线； （2）若直线为函数，在上的隔离直线，求的取值范围； （3）证明：函数，在上过原点的隔离直线仅有一条； （4）函数，在R上是否存在隔离直线？若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $