周周练1 空间向量(范围：1.1)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量基础概念与运算，通过递进式题型设计构建“概念-运算-几何应用”逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题1-4、9-10|数量积、投影、模长计算|从向量坐标运算到夹角公式推导，夯实运算基础| |概念辨析|题7-8|基底判定、共面条件|通过反例与证明深化基底、共线共面概念理解| |几何应用|题6、12-14|结合棱柱、圆锥、折叠模型|以空间几何体为载体，体现向量工具性，发展几何直观|

周周练1　空间向量(范围：1.1) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝(　　) A．－ B．－4 C．4 D． 解析：选B.向量a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，由a·b＝1，得1＋8＋2t＝1，所以t＝－4. 2．(2026·遵义月考)已知空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，则向量b在向量a上的投影是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，所以a·b＝2×3＋(－2)×0＋(－1)×1＝5，a2＝22＋(－2)2＋(－1)2＝9，所以向量b在向量a上的投影是a＝(2，－2，－1)＝. 3．(2026·北大附中期中)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M为AA1的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b＋c 解析：选A.＝＋＝－＋.又因为M为的中点，得＝，所以＝－＋＝－＋＝a－c＋b. 4．已知空间向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a⊥(a＋2b)，则〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由|a|＝，|b|＝1， a⊥(a＋2b)，可得a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝0，解得a·b＝－1， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 5．(2026·广东月考)已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足＝4－2＋λ，则λ＝(　　) A．5 B．2 C．－1 D．－2 解析：选D.＝4－2＋λ，即－＝4－2＋λ， 即＝5－2＋λ， 因为A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，所以5－2＋λ＝1，所以λ＝－2. 6．(2026·邢台月考)如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，SA＝AB，C是半圆弧的中点，D是线段OB的中点，则cos 〈，〉＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.如图， 连接OC，因为C是半圆弧的中点，所以OC⊥OB，又SO⊥平面ABC，所以OC，OB，OS两两垂直， 则以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 设AB＝4，所以SA＝AB＝4，SO＝2，则A(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，S，则＝(0，－2，－2)，＝(－2，1，0)，则cos 〈，〉＝＝＝－. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．给出下列命题，其中正确的有(　　) A．若非零空间向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c B．若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基底，则a，b，c必定共面 C．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一组基底，则a，b共线 D．已知{a，b，c}是空间向量的一组基底，则{c，a＋b，a－b}也是空间向量的一组基底 解析：选BCD.当非零空间向量a＝(1，2，3)，b＝(0，－3，2)，c＝(3，0，0)时，满足a⊥b，b⊥c，但a与c不平行，A错误； 三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基底，则它们必定共面，B正确； 能构成空间的一组基底的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一组基底，即向量a，b与任何一个向量均共面，则a，b共线，C正确； 若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，可知a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故{c，a＋b，a－b}可以构成空间向量的一组基底，D正确． 8．(2026·惠州月考)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ.若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk，其中x，y，z∈R，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列说法正确的有(　　) A．已知a＝(2，1，1)θ，b＝(4，2，2)θ，则a∥b B．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O­ABC的表面积S＝ 解析：选AC.对于A，a＝(2，1，1)θ，b＝(4，2，2)θ，则a＝2i＋j＋k，b＝4i＋2j＋2k， 可知b＝2a，则a∥b，故A正确； 对于B，a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－6i·k＋6j·k－4k2＝4＋12×1×1×cos θ－6×1×1×cos θ＋6×1×1×cos θ－4＝12cos θ，因为0<θ<π，且θ≠，则cos θ≠0，所以a·b≠0，故B错误； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k) ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确； 对于D，||＝|i|＝1，||＝|j|＝1，||＝|k|＝1， ||＝|－|＝|j－i|＝＝ ＝＝1， ||＝|－|＝|k－j|＝＝ ＝＝1， ||＝|－|＝|k－i|＝＝ ＝＝1， 可得三棱锥O­ABC是棱长为1的正四面体，其表面积S＝4××12×＝，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知A(x，－3，5)，B(0，y，2)，C(2，7，－1)三点共线，则x＋y＝________． 解析：由题意可知，＝(－x，y＋3，－3)，＝(2－x，10，－6)， 由A，B，C三点共线可知＝λ(λ∈R)，所以 解得即x＋y＝0. 答案：0 10．在空间直角坐标系中，向量a满足|a|＝3，且与向量b＝(1，1，1)的夹角的余弦值为，请写出向量a的一个坐标________． 解析：设a＝(x，y，z)， 由 得 则向量a的一个坐标为(1，2，2). 答案：(1，2，2)(答案不唯一，坐标(x，y，z)满足即可) 11．已知空间向量，，两两垂直，空间中点A满足||＝||＝||＝1，记＝＋＋，则||的取值范围为________. 解析：不妨设O为坐标原点，B1(a，0，0)，B2(0，b，0)，B3(0，0，c)，则P(a，b，c). 设A(x，y，z)，则有(x－a)2＋y2＋z2＝x2＋(y－b)2＋z2＝x2＋y2＋(z－c)2＝1， 所以(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＋2(x2＋y2＋z2)＝3， 由||2＝(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2，及||2＝x2＋y2＋z2， 得||2＝3－2||2∈[0，3]， 所以||∈. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知空间中三点A(1，－2，4)，B(－1，－1，7)，C(－2，2，3). (1)设|c|＝2，c∥，求c的坐标；(6分) (2)求△ABC的面积．(7分) 解：(1)由已知得＝(－1，－1，7)－(1，－2，4)＝(－2，1，3)， 因为c∥，设c＝λ，λ∈R， 所以|c|＝|λ|·||＝|λ|×＝|λ|＝2， 解得λ＝±2, 所以c＝2＝(－4，2，6)或c＝－2＝(4，－2，－6). (2)由题可得＝(3，－4，1)，＝(1，－3，4)， 所以||＝＝，||＝＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝， 又〈，〉∈[0，π]，所以sin 〈，〉＝＝， 所以△ABC的面积S＝||·||·sin〈，〉＝×××＝. 13．(本小题满分15分)已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(7分) (2)求以a，b为一组邻边的平行四边形的面积S.(8分) 解：(1)根据题意，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，则＝(2，1，－2)， 若c∥，设c＝t＝(2t，t，－2t)， 又由|c|＝3，则4t2＋t2＋4t2＝9， 解得t＝±1，故c＝(2，1，－2)或(－2，－1，2). (2)根据题意，a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1，0，－2)， 则||＝＝，||＝＝，·＝－1， 则cos A＝cos 〈，〉＝＝－，故sin A＝，故S＝||·||·sin A＝××＝3. 14．(本小题满分15分)如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝2，AD＝8，DC＝5，E，F分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图2，连接AD，BC，BE. (1)求证：EF⊥AD；(7分) (2)若Q为线段BE上一动点，BF⊥DE，求CQ的最小值．(8分) 解：(1)证明：因为E，F分别是AD，BC的中点，AB∥DC，所以EF∥AB. 因为在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，所以EF⊥AE，EF⊥DE. 因为AE∩DE＝E，AE⊂平面AED，DE⊂平面AED，所以EF⊥平面AED. 因为AD⊂平面AED，所以EF⊥AD. (2)因为EF⊥DE，BF⊥DE，EF∩BF＝F，且EF⊂平面ABFE，BF⊂平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE. 因为AE⊂平面ABFE，所以DE⊥AE. 以E为原点，ED，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则E(0，0，0)，B(0，2，4)，C(4，5，0). 设＝t＝t(0，2，4)，t∈[0，1]，则Q(0，2t，4t)， ||2＝16＋(2t－5)2＋16t2＝20＋36≥36，当且仅当t＝时取等号．所以CQ的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $