专题01 空间向量及其运算（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算 （题型突破·举一反三） 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的数乘运算 题型04 空间向量基本定理及其应用 题型05 空间向量共线、共面的问题 题型06 空间向量的数量积 题型07 空间向量运算的坐标表示 题型08 空间向量平行(共线)和垂直的条件 题型09 空间向量模长的坐标表示 题型10 空间向量夹角余弦的坐标表示 ▌题型01 空间向量的有关概念 空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 【变式1-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. ▌题型02 空间向量的加减运算 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 【典例2】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 【变式2-2】（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中线向量公式，再结合向量的减法，即可求解. 【详解】    由是的中点，可知， 故选：B 【变式2-3】（25-26高二上·广西河池·期末）在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】如图，取的中点，连接， 所以． 故选：A． ▌题型03 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 【典例3】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的运算法则和中点性质求解目标向量即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    因为是线段的中点，所以， 由空间向量的加法法则得， 且， 可得. 故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【变式3-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. ▌题型04 空间向量基本定理及其应用 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 【典例4】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 【变式4-2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. ▌题型05 空间向量共线、共面的问题 空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 【典例5】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 【变式5-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【变式5-2】（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 【变式5-3】（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】D 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；利用共面定理的推论可判断B；假设共面，利用共面定理可否定假设，从而可判断C；考虑共线反向可判断D. 【详解】对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，所以，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以， 显然上述方程组无实数解，所以向量不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，向量有可能反向，此时若，不是钝角，错误. 故选：D ▌题型06 空间向量的数量积 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 【典例6】（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    【变式6-1】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 【变式6-2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 【变式6-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . ▌题型07 空间向量运算的坐标表示 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 【典例7】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 【变式7-1】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 【变式7-2】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 【变式7-3】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. ▌题型08 空间向量平行(共线)和垂直的条件 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 【典例8】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 【变式8-1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 【变式8-2】（2026高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 【变式8-3】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. ▌题型09 空间向量模长的坐标表示 【典例9】（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 【变式9-1】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式9-2】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. ▌题型10 空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例10】（25-26高二下·河南许昌·期中）已知向量，，，，. (1)求x，y，z的值； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可. （2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）∵，，， ， 因为，设存在实数，使得， 所以，则. 因为，，则. ∴所以. （2）由（1）知，，， ∴，， ∴， ，， ∴. ∴向量与所成角的余弦值为. 【变式10-1】（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 【变式10-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（   ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】对于A选项，根据空间向量的模的坐标表示判断即可；对于B选项，由空间向量夹角公式判断即可；对于C选项，结合空间向量平行根据线面关系判断即可；对于D选项，根据投影向量的求法判断即可. 【详解】对于选项A，，，所以，所以，故A正确； 对于选项B，，，，，，设，夹角为，则，故B错误； 对于选项C，因为，所以，所以，所以，故C错误； 对于D选项，在上的投影向量公式为，计算得到，故D正确. 故选：AD. 【变式10-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线与直线夹角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意作出相关图象，如下图， 以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，    则，，，， 连接，易得与相似，又由正方体性质， 所以，从而可得， 故，， 所以， 设直线与直线夹角为，则，故A正确. 故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 （题型突破·举一反三） 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的数乘运算 题型04 空间向量基本定理及其应用 题型05 空间向量共线、共面的问题 题型06 空间向量的数量积 题型07 空间向量运算的坐标表示 题型08 空间向量平行(共线)和垂直的条件 题型09 空间向量模长的坐标表示 题型10 空间向量夹角余弦的坐标表示 ▌题型01 空间向量的有关概念 空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 ▌题型02 空间向量的加减运算 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 【典例2】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·广西河池·期末）在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． ▌题型03 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 【典例3】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． ▌题型04 空间向量基本定理及其应用 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 【典例4】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. ▌题型05 空间向量共线、共面的问题 空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 【典例5】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式5-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【变式5-2】（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【变式5-3】（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 ▌题型06 空间向量的数量积 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 【典例6】（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【变式6-2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式6-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. ▌题型07 空间向量运算的坐标表示 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 【典例7】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【变式7-2】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． ▌题型08 空间向量平行(共线)和垂直的条件 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 【典例8】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【变式8-2】（2026高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【变式8-3】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 ▌题型09 空间向量模长的坐标表示 【典例9】（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【变式9-1】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 ▌题型10 空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例10】（25-26高二下·河南许昌·期中）已知向量，，，，. (1)求x，y，z的值； (2)求向量与所成角的余弦值． 【变式10-1】（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（   ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【变式10-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $