周周测01 1.1.1-1.1.3空间向量及其运算（数学人教B版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量及其运算核心内容，通过单选、多选、填空、解答题梯度设计，结合三棱柱、正方体等几何体情境，考查共面判定、线性表示、数量积等，体现空间观念与运算能力，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|共面判定、向量线性表示、投影向量|基础题为主，如第1题共面条件，直接考查概念理解| |多项选择|3/18|向量模长计算、共线共面判定|如第9题结合平行六面体，考查向量表示与模长，体现综合性| |填空题|3/15|数量积运算、重心向量表示|第13题三棱锥重心向量化简，考查空间向量基本运算| |解答题|5/77|模长、夹角、垂直与共面条件|第16题正方体中动点问题，第19题四棱锥向量应用，考查空间观念与推理能力|

2026-2027学年高二上学期数学周周测01 1.1.1-1.1.3空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 5．已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 8．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 10．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测01 1.1.1-1.1.3空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 3．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 4．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 5．已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 6．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 8．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 10．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测01 1.1.1-1.1.3空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 3．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 4．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 5．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 6．已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 7．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意得与不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数，使，然后将坐标代入化简可求出的值. 【详解】因为 所以与不共线， 所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：B 8．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 13．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 14．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，先求出，，然后计算数量积； （2）根据空间向量的运算，先求出，，根据垂直关系可知它们数量积为，据此计算. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 （2）因为，， 所以，由（1）， 因为，所以， 所以，解得 16．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 17．已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，，根据向量垂直得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且， 即的取值范围为且. 18．已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由空间向量的模长公式求出，然后根据空间向量垂直的坐标公式即可求解； （2）根据空间向量共面的条件即可求解. 【详解】（1）因为，所以 且 因为向量与垂直， 所以，即或， 解得或，所以或. （2）因为向量与向量，共面，所以设， 因为， 即，解得， 所以实数的值为. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测01 1.1.1-1.1.3空间向量及其运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 6．已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 11．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 13．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 14．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 16．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 17．已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 18．已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 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