培优点5 离心率的求法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

　离心率的求法

离心率是椭圆的一个重要几何性质，它的变化直接影响椭圆的扁平程度．椭圆的离心率问题主要有两类：一类是求离心率的值，另一类是求离心率的取值范围．

 

 

[例1] 已知椭圆的左、右焦点分别为(－7，0)，(7，0)，点(2，12)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为(　　)

A． B．

C． D．

【解析】　依题意，椭圆的焦距2c＝14，

长轴长2a＝＋＝15＋13＝28，

所以该椭圆的离心率e＝＝.

【答案】　A

根据已知条件求出a，c的值，代入e＝，即可求出离心率．

 

 

[例2] (1)若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是(　　)

A． B．

C． D．

(2)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若

F到直线AB的距离为b，则椭圆C的离心率为________．

【解析】　(1)设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，依题意，2a＝3·2c，即a＝3c，

所以该椭圆的离心率e＝＝.

(2)易知A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，则直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0，又F到直线AB的距离为b，则＝b，整理得到c2＋2ac＝b2＝a2－c2，

所以2c2＋2ac－a2＝0，则2e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去).

【答案】　(1)B　(2)

若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

 

 

[例3] (1)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|.若OD∥AB2，则C的离心率为(　　)