2.5.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

第2课时　椭圆方程及性质的应用

[例1] 如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

【解】　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0).

其中，c＝，设B(x，y).

由＝2得，(c，－b)＝2(x－c，y)，

解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＋＝1，

得＋＝1，即＋＝1，

解得a2＝3c2，①

又由·＝(－c，－b)·＝，

所以b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

求椭圆的离心率或求椭圆的方程都是由所给的条件并结合椭圆的有关性质找出a，b，c所应满足的关系式，求出a与b.要注意椭圆上的点隐含的条件：①该点在椭圆上；②该点到两焦点距离之和为定值．

[跟踪训练1] (多选)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则下列结论正确的是(　　)

A．b2＝

B．|AF2|＝

C．点B坐标为(－，－)

D．椭圆的方程为x2＋y2＝1

解析：选ACD.

由题意，设A点位于第一象限，且横坐标为c，如图，

所以c2＋＝1.

又b2＋c2＝1，所以y2＝b4，

所以|AF2|＝b2，A(c，b2)，F1(－c，0)，

又因为|AF1|＝3|F1B|，

可得＝3，

所以B点坐标为，

代入椭圆方程得

解得|AF2|＝，

所以B点坐标为，椭圆方程为x2＋y2＝1.

[例2] (1)已知A为椭圆＋y2＝1的上顶点，P为椭圆上一点，则|PA|的最大值为(　　)

A．2 B．   

C．3 D．

(2)

已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上一动点，若A(1，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．

【解析】　(1)由题意可知A(0，1)，设P(x，y)，－1≤y≤1，

由＋y2＝1可得x2＝7－7y2，