2.5.2 椭圆的几何性质（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从椭圆基本性质到综合应用再到创新情境，适配新授课差异化巩固需求，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|椭圆几何性质（长轴、焦距、焦点坐标）、标准方程、离心率基础计算|基础题型为主，如直接求焦点坐标，强化概念理解与运算能力| |B组能力进阶|椭圆性质综合应用（方程与离心率结合、焦点三角形）|综合题型，如结合焦点与离心率求方程，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|创新情境（西湖绸伞影子）、多知识点综合（焦点三角形与圆结合）、开放探究（多选、填空题）|情境化与探究性问题，如实际问题转化椭圆模型，培养数学应用意识与创新思维|

分层作业 2.5.2　椭圆的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆的几何性质 题型02 利用椭圆的几何性质求标准方程 题型03 椭圆的离心率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高  椭圆的几何性质题型01 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）椭圆的焦距为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 3．（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C：的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 利用椭圆的几何性质求标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 椭圆的离心率问题题型03 7．（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆，则其离心率（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山东东营·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 8．（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 9．（25-26高二上·四川宜宾·期末）（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 10．（25-26高三上·青海海南·期末）（多选）已知椭圆C：（）的离心率为，若点P在椭圆C上，点、分别是椭圆C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．满足是直角三角形的点P有4个 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 12．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.5.2椭圆的几何性质 A组 巩固过关 题型01 椭圆的几何性质 【答案】A : 【答案】B 3. 【答案】B 颗型02 利用椭圆的几何性质求标准方程 4. 【答案】B 5. 【答案】D 6 【答案】D 颗型03 椭圆的离心率问题 7. 【答案】B 8. 【答案】C 9. 【答案】C 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D D B B D D C组 思维拔高 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 A B D B ABC AD ACD BC 11. V6 3 12. § 3 212 分层作业 2.5.2　椭圆的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆的几何性质 题型02 利用椭圆的几何性质求标准方程 题型03 椭圆的离心率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高  椭圆的几何性质题型01 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，得到，得到长轴长 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）椭圆的焦距为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】直接由求椭圆焦距. 【详解】因为椭圆，所以，则， 所以椭圆的焦距为. 故选：B 3．（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C：的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题知，，所以， 所以C的焦点坐标为. 故选：B. 利用椭圆的几何性质求标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意得到基本量，进而求出椭圆的方程即可. 【详解】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据离心率及求出椭圆方程，然后利用椭圆性质即可求解. 【详解】已知椭圆，离心率，则， 因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得，联立上述方程解得， 因为点在该椭圆上，椭圆的左、右焦点分别为， 根据椭圆的定义得， 所以的周长为. 故选：D. 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解方程求即可判断. 【详解】由题意焦点在轴上的椭圆离心率为， 所以，，，， 故，， 可得＝，解得． 故选：D. 椭圆的离心率问题题型03 7．（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直）， 所以， 因为当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， ，显然， 所以椭圆的离心率. 故选：B 8．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆，则其离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率公式计算. 【详解】因为，， 所以离心率. 故选：C. 9．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用通径长公式计算. 【详解】由题意得，，则通径长为. 故选：D 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以.    5．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面积关系得到，从而确定关系，再逐项分析即可. 【详解】将代入椭圆方程中，解得：， 因为在第一象限，所以，所以坐标为：， 由，又，因此， 由，的边的长为，高为的横坐标，故， 代入中得：，从而可得：， 又因为，所以， 即， 对于A，由，满足，故A正确； 对于B，由 ，不满足，故B错误； 对于C，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故C正确； 对于D，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故D正确.    6．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件得出，利用余弦定理构造方程得出，联立得出，进而求出离心率． 【详解】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点，则 ， 是椭圆上的点，由椭圆定义， 故， 直线斜率为，故倾斜角为，在中，， ， 代入可得，解得， 故，解得， 故． 7．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助椭圆上的点到焦点的距离的最小值及椭圆定义可得周长的取值范围，即可得、间关系，即可得离心率. 【详解】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. 8．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题化为的最大值不小于，椭圆的性质知为椭圆短轴的端点时最大，结合已知求得椭圆的标准方程为，再由椭圆的定义转化求最大值. 【详解】若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可， 在中，余弦定理得， 当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大， 如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大， 设，则，所以， 因此当椭圆的离心率取得最小值时，， 故椭圆的标准方程为， 连接，则， 所以只需研究的最大值即可， 连接， 当且仅当三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号， 所以的最大值，故的最大值是． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可求得点的坐标，由，从而可得答案 【详解】依题意，设，则，， ， 又，，， ，即， ． 设该椭圆的离心率为e，则， 椭圆的离心率． 4．（25-26高二上·湖北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，所以可设焦点，利用向量的坐标关系，用表示出点、的坐标，利用，建立关于、、的方程，根据的关系，结合离心率公式，求解离心率. 【详解】椭圆焦点，其中，离心率， 设在轴上，故， 由得：解得，即， 由， 故，因在第四象限，，故，得， 在椭圆上，代入，化简得：， 代入，整理得：， 令，解二次方程得（舍去），故. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 6．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 7．（25-26高二下·山东东营·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】ABC 【详解】，则， 椭圆C的离心率为，故A正确； 周长为，故B正确； 点P到焦点的距离取值范围为，即，故C正确； 当点位于短轴顶点时最大，此时，则， 此时，故D错误. 8．（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】先由椭圆方程求出，依托椭圆的定义逐一分析，选项A：利用椭圆的定义拆分三角形周长得；选项B：由焦点三角形面积公式结合纵坐标最大值求面积极值；选项C：通过短轴顶点处顶角最大，算出最大角为判定无直角；选项D：设焦半径，结合定义表示另一焦半径，构造函数，利用单调性求取值范围，最终确定正确选项． 【详解】由题可知，，， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，当为上下顶点时，最大值为，B错误； 对于C，当为上下顶点时，最大，此时，故这样的点不存在，C错误； 对于D，设（，即），则，所以， 是增函数， 因为，，所以的值域为， 即的取值范围为，D正确. 9．（25-26高二上·四川宜宾·期末）（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】对A、B和C，利用椭圆的定义、性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可求解. 【详解】A，由题知，则的周长为，故A正确； B，因为椭圆的离心率为，故B错误， C，易知，即，当且仅当为椭圆长轴顶点时取等号，所以C正确， D，在中，由余弦定理得， 所以，得到， 所以的面积为，故D正确. 10．（25-26高三上·青海海南·期末）（多选）已知椭圆C：（）的离心率为，若点P在椭圆C上，点、分别是椭圆C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】BC 【分析】对于A，结合离心率求出a即可；对于B，直接根据椭圆定义即可求得；对于C，结合椭圆性质求出、的值，再结合余弦定理求出即可；对于D，将问题转化为以为直径的圆与椭圆C的交点问题，以及、的问题即可． 【详解】对于A，因为，则，又，，则， 解得，，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可得，故B正确； 对于C，因为①，又②，由①②可得，， 在中，由余弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，，则，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有4个交点， 所以椭圆上有4个点，使，如图所示， 又当即，或即时，满足条件的点P各有2个， 所以满足是直角三角形的点P有8个，故D错误． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 12．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 试卷第2页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $