2.5.2 第1课时 椭圆的几何性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）
2．5.2 椭圆的几何性质
新课导入 | 学习目标 |
很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆．如神舟十九号在进入太空后，先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道．那么在椭圆轨道中，近地点高度、远地点高度是如何计算的呢？首先，我们要认识椭圆的一些几何性质． | 1.掌握椭圆的几何性质． 2.了解椭圆标准方程中，a，b，c的几何意义并能正确地画出方程所对应的图形． 3.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 4.进一步掌握椭圆的方程及其几何性质的应用． 5.能解决生活中的实际问题． |
第1课时 椭圆的几何性质
思考1 根据方程
＋
＝1(a＞b＞0)画出椭圆，你能确定椭圆的边界吗？
[提示] 由方程＋＝1(a＞b＞0)得＝1－≥0，得－a≤x≤a，同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形内．
思考2 根据上面所画的图形，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？
[提示] 既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称．若(x，y)满足椭
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圆方程，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足．
思考3 根据上面所画的图形，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？
[提示] 令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a.故(±a，0)，(0，±b)为特殊点．
[知识梳理]
类别 | 焦点在x轴上 | 焦点在y轴上 |
图形 |
|
|
标准方程 |
|
|
范围 | －a≤x≤a且－b≤y≤b | －b≤x≤b且－a≤y≤a |
顶点 | A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) | A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) |
轴长 | 短轴长为2b，长轴长为2a | |
焦点 | F1(－c，0)，F2(c，0) | F1(0，－c)，F2(0，c) |
焦距 | |F1F2|＝2c | |
对称性 | 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 | |
离心率 | e＝ | |
[例1] (对接教材例1)求椭圆x2＋9y2＝36的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它的草图．
【解】 将x2＋9y2＝36化为标准方程为
＋
＝1，所以a＝6，b＝2，
则c＝
＝
＝4
，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为8，
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顶点坐标为(－6，0)，(6，0)，(0，2)，(0，－2)，焦点坐标为(－4，0)和(4，0)，
离心率为e＝
＝
，椭圆草图如图．
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟踪训练1] (1)(多选)(2026·中山期中)已知椭圆C：
＋
＝1，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为6
B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的短轴长为6
D．椭圆C的一个焦点坐标为(3，0)
解析：选AC.由椭圆方程＋＝1可得a＝3，b＝3，c＝＝3，且焦点在y轴上，则椭圆C的长轴长为2a＝6，故A正确；
椭圆C的离心率为e＝＝
＝
，故B错误；
椭圆C的短轴长为2b＝6，故C正确；
椭圆C的焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，故D错误．
(2)若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________，焦点坐标为 .
解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题意可得2a＝2×2b，则a2＝4b2，
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