2.3.2 圆的一般方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开推导，系统梳理一般方程形式、特点及表示圆的条件，通过例题与跟踪训练掌握待定系数法求方程及轨迹方程应用，构建完整学习支架。 该资料以问题链导入激发数学眼光，通过方程转化与轨迹推导培养数学思维，用实例训练数学语言表达。如例1用待定系数法求过已知点的圆方程，例3结合几何性质推导中点轨迹，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识查漏补缺。

2．3.2　圆的一般方程 新课导入 学习目标 　　给出如下方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，常数A，B，C，D，E，F适当取值，能表示直线吗？能表示二次函数对应的抛物线吗？能表示圆吗？圆的标准方程与上述方程有何关系？这就是这节我们需要解决的问题． 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小． 3.会运用待定系数法确定圆的方程． 思考　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可否化为二元二次方程的一般形式？ [提示]　可以，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式． [知识梳理] 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　①的形式，其中D，E，F都是常数，形如①式的圆的方程称为圆的一般方程． [例1] 求满足下列条件的圆的一般方程． (1)圆心在直线y＝x上，与x轴相交于(－1，0)，(3，0)两点； (2)(对接教材例1)经过△ABC的三个顶点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0). 【解】　(1)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为. 因为圆心在直线y＝x上，且圆过(－1，0)，(3，0)两点， 所以解得 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. (2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，C在所求的圆上， 所以 解得 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解此方程组，求出D，E，F的值； (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求圆的一般方程． [跟踪训练1] (1)(2026·苏州期中)若四点(2，2)，(3，－1)，(5，3)，(6，m)(m＞0)在同一个圆上，则实数m的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选D.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0， 又点(2，2)，(3，－1)，(5，3)在圆上， 则 解得即圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 又点(6，m)(m＞0)在圆上，则36＋m2－48－2m＋12＝0，解得m＝2或m＝0(舍去). (2)已知圆C的一般方程为x2＋y2－2ax－4ay＋4a2＋2a－3＝0，则该圆的半径的最小值为________. 解析：圆C的方程x2＋y2－2ax－4ay＋4a2＋2a－3＝0可化为(x－a)2＋(y－2a)2＝(a－1)2＋2，半径为，当a＝1时，圆C的半径取得最小值. 答案： 知识点二　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的图形 思考　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． [提示]　不一定，如x2＋y2＝0表示坐标原点O(0，0)；如x2＋y2＋1＝0不能表示任何曲线． [知识梳理] 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心， 以为半径的圆 [例2] (对接教材例2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2－4x＝0. (2)x2＋y2－4x－2y＋5＝0. (3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0. 【解】　(1)方法一：由方程x2＋y2－4x＝0，可转化为(x－2)2＋y2＝4，所以方程表示圆，其圆心为(2，0)，半径r＝2. 方法二：由方程可知D＝－4，E＝F＝0，因为D2＋E2－4F＝16>0， 所以方程表示圆， 又－＝2，－＝0， 所以圆心为(2，0)， 圆的半径r＝＝2. (2)由方程可知D＝－4，E＝－2，F＝5，因为D2＋E2－4F＝16＋4－20＝0， 所以方程表示点，又－＝2，－＝1， 所以方程表示的点的坐标是(2，1). (3)原方程可化为x2＋y2－x＋2y＋3＝0， 由方程可知D＝－，E＝2，F＝3， 因为D2＋E2－4F＝＋4－12<0， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形． 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 是否表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆． 注意　在利用D2＋E2－4F来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2与y2的系数． [跟踪训练2] (1)(2026·宿州期中)圆x2＋y2＋4x＋2y＝0的圆心坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(2，1) 解析：选B.圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y＝0，所以圆心坐标为(－2，－1). (2)若点P(1，2)在圆：x2＋y2－6x＋4y－2a－1＝0的外部，则a的取值范围为________． 解析：由题意得 解得－7＜a＜3. 答案：(－7，3) [例3] 已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P为圆上异于点A的一个动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 【解】　(1)设线段AP的中点M(x，y)(0≤x<2)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤x<2). (2)设T(x，y).因为点T是弦的中点， 所以OT⊥BT(O为坐标原点). 方法一：当OT，BT斜率都存在时，有kOT·kBT＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或x＝1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都满足方程．故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 方法二：易得⊥，·＝(x，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－x－y＝0. 方法三：由圆的几何性质可知，点T一定在以线段OB为直径的圆上，此时圆心坐标为(，)，半径为|OB|＝，所以点T的轨迹方程为(x－)2＋(y－)2＝()2，整理得x2＋y2－x－y＝0. 母题探究　本例条件不变，若Q也是圆x2＋y2＝4上的动点，且∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，OP(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求轨迹方程的三种常用方法 [跟踪训练3] (2026·徐州月考)已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为(　　) A．＋(y－2)2＝ B．(x－1)2＋(y－8)2＝9 C．(x－5)2＋(y＋8)2＝81 D．(x－8)2＋(y－1)2＝9 解析：选B.设M(x，y)，D(m，n)，因为E(2，4)，则＝(x－m，y－n)，＝(2－m，4－n)， 由＝2，可得(x－m，y－n)＝2(2－m，4－n)， 即故(*) 因为D是圆C上的动点， 故(m－3)2＋n2＝9， 将(*)代入上式， 可得(4－x－3)2＋(8－y)2＝9， 整理得(x－1)2＋(y－8)2＝9， 即为点M的轨迹方程． 1．(2026·南通月考)圆x2＋y2＋6x＝0的半径为(　　) A．3 B．6 C．9 D．36 解析：选A.x2＋y2＋6x＝0可化为(x＋3)2＋y2＝9，所以圆的半径为3. 2．(多选)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：选AB.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＝－3a2－4a＋4>0，解得－2<a<， 结合选项可知A，B正确，C，D错误． 3．(教材P110T4改编)若原点O在方程x2＋y2－x＋y＋m＝0所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意得(－1)2＋12－4m>0，解得m<，又因为点O(0，0)在圆的外部，则0＋0－0＋0＋m>0，解得m>0，所以实数m的取值范围为. 答案： 4．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心坐标和半径； (2)求证：不论m为何实数，方程所表示的圆为圆心在同一直线上的等圆． 解：(1)圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0， 可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， 所以圆心坐标为(1－m，2m)，半径为3. (2)证明：设圆心为(x，y)，由(1)可知，则2x＋y＝2， 所以不论m为何实数，该圆的圆心恒在直线2x＋y－2＝0上， 又圆的半径为定值3， 故不论m为何实数，方程所表示的圆为圆心在同一直线上的等圆． 1．已学习：圆的一般方程． 2．须贯通：待定系数法求圆的一般方程，圆的一般方程的综合应用． 3．应注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时，要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 学科网（北京）股份有限公司 $